上海市靜安區(qū)彭浦高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

彭浦高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上10月月考數(shù)學(xué)試卷2024.10學(xué)校：________姓名：__________班級(jí)：________考號(hào)：___________一、填空題（本組每小題4分，滿(mǎn)分40分）1.等比數(shù)列中，且，則公比為_(kāi)________.2.已知a，b為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，且，，則直線a與b的位置關(guān)系是_________.3.若，則_________.（計(jì)算出結(jié)果）4.已知等差數(shù)列中，，則的值是_________.5.在直觀圖中，四邊形為菱形且邊長(zhǎng)為2cm，則在坐標(biāo)系中原四邊形為（填形狀），面積為_(kāi)________.6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則_________.7.已知平面外兩點(diǎn)A，B到平面的距離分別是2和4，則的中點(diǎn)P到平面的距離是_________.8.無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和是，且，則首項(xiàng)的取值范圍是_________.9.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，G為棱靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體，則截面圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)________.10.已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿(mǎn)足，則下列結(jié)論中正確的是_________.（填序號(hào)）①為等差數(shù)列；②為嚴(yán)格增數(shù)列；③的前n項(xiàng)和；④的前n項(xiàng)和.二、填空題（本組每小題3分，滿(mǎn)分12分）11.已知是兩條異面直線，，那么與的位置關(guān)系（）A.一定是異面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能垂直12.如果命題對(duì)于時(shí)成立，那么它對(duì)也成立.若對(duì)于時(shí)成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.對(duì)所有正整數(shù)n成立 B.對(duì)所有正偶數(shù)n成立C.對(duì)所有正奇數(shù)n成立 D.對(duì)所有大于1的正整數(shù)n成立13.如圖1，直線將矩形紙分為兩個(gè)直角梯形和，將梯形沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過(guò)程中（平面和平面不重合）下面說(shuō)法正確的是（）A.存在某一位置，使得平面B.存在某一位置，使得平面C.在翻折的過(guò)程中，平面恒成立D.在翻折的過(guò)程中，平面恒成立三、判斷題（本組每小題1分，滿(mǎn)分6分）14.判斷下列命題對(duì)錯(cuò)，對(duì)打“√”，錯(cuò)打“×”.（1）若，，則（）（2）三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面（）（3）若，，，則（）（4）過(guò)直線外一點(diǎn)只能做一條線與該直線垂直（）（5）過(guò)直線外一點(diǎn)只能做一條線與該直線平行（）（6）若兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么兩個(gè)角相等（）四、解答題（本組共有4小題，滿(mǎn)分42分）15.（滿(mǎn)分10分，每小題5分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，（正整數(shù)）.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.（滿(mǎn)分10分，每小題5分）已知正方體中，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn).（1）連接，求證直線與直線是異面直線；（2）求異面直線與所成的角.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）17.（滿(mǎn)分10分，第1小題4分，第2小題6分）如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M、N是線段、上的點(diǎn)，滿(mǎn)足.（1）若，求證：直線平面；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線？如果有請(qǐng)求出的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由.18.（本題滿(mǎn)分12分，第1小題滿(mǎn)分3分，第2小題滿(mǎn)分4分，第3小題滿(mǎn)分5分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的最小整數(shù)；（3）若，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

彭浦高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上10月月考數(shù)學(xué)試卷解析2024.10學(xué)校：________姓名：__________班級(jí)：________考號(hào)：___________一、填空題（本組每小題4分，滿(mǎn)分40分）1.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，推得，再結(jié)合，即可求解.【詳解】等比數(shù)列中，，則，解得，，則.故答案為：-2.2.【分析】根據(jù)線面，線線關(guān)系判斷即可.【詳解】∵，，∴a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，∴a，b平行或異面.故答案為：平行或異面.3.【詳解】根據(jù)題意，，右式中的分式的分母是從到，所以，當(dāng)時(shí)，.4.15.5.【分析】根據(jù)題意，由斜二測(cè)畫(huà)法還原四邊形，據(jù)此分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在坐標(biāo)系中，四邊形如圖：則原四邊形為矩形，其中，，則其面積為，故答案為：矩形；8.6.【分析】根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和，由，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列前n項(xiàng)和為且，，當(dāng)時(shí)，；又不滿(mǎn)足上式，所以，.故答案為：，.7.【分析】分A，B在α同側(cè)和A，B在異側(cè)兩種情況求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A、B在平面的投影分別為點(diǎn)，，則由題意可得，，若A，B在同側(cè)，如圖1，設(shè)點(diǎn)P在平面的投影為點(diǎn)P，則P到的距離為；若A，B在異側(cè)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P在平面的投影為點(diǎn)O，過(guò)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則P到的距離為，故的中點(diǎn)P到平面的距離為3或1.故答案為：3或1.8.【分析】利用無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合公比的范圍，即可求得首項(xiàng)的范圍.【詳解】∵無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和是，且，∴∴，∵，且，∴，且，∴，且∴首項(xiàng)的取值范圍是.故答案為：9.【分析】關(guān)鍵是作出截面六邊形，求解不難.【詳解】根據(jù)題意作出截面如圖，利用勾股定理和對(duì)邊相等易得周長(zhǎng)為.10.②④【分析】對(duì)于①，利用遞推式得到，即是等比數(shù)列，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，求得，即可判斷為嚴(yán)格增數(shù)列，故②正確，對(duì)于③，利用錯(cuò)位相減法可求得，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，易得，故，故④正確.【詳解】由，兩邊都除以，可得，即，又，故，所以是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，故①錯(cuò)誤；所以，解得，所以為嚴(yán)格遞增數(shù)列，故②正確；的前n項(xiàng)和，，兩式相減得，所以，故③錯(cuò)誤；由可得，所以的前n項(xiàng)和，故④正確.故答案為：②④.二、填空題（本組每小題4分，滿(mǎn)分12分）11.C【分析】由平行公理，若，因?yàn)?，所以，與、是兩條異面直線矛盾，異面和相交均有可能.【詳解】、是兩條異面直線，，那么與異面和相交均有可能，但不會(huì)平行.因?yàn)槿?，因?yàn)?，由平行公理得，與、是兩條異面直線矛盾.故選C.12.B【分析】利用假設(shè)，，即有n為正偶數(shù)均成立，即可得結(jié)論.【詳解】命題對(duì)于時(shí)成立，那么它對(duì)也成立.若對(duì)于時(shí)成立，則對(duì)也成立，即為對(duì)對(duì)所有正偶數(shù)n成立，故選：B.13.C【分析】在A中，與相交，從而與平面相交；在B中，與不垂直，從而不存在某一位置，使得平面；在C中，，從而在翻折的過(guò)程中，平面恒成立；在D中，與不垂直，在翻折的過(guò)程中，平面不一定成立.【詳解】在A中，∵四邊形是梯形，，∴與相交，∴與平面相交，故A錯(cuò)誤；在B中，∵四邊形是梯形，，∴與不垂直，∴不存在某一位置，使得平面，故B錯(cuò)誤；在C中，∵四邊形是梯形，，平面，平面，∴在翻折的過(guò)程中，平面恒成立，故C正確；在D中，∵四邊形是梯形，，∴與不垂直，在翻折的過(guò)程中，平面不一定成立，故D錯(cuò)誤.故選：C.三、判斷題（本組每小題1分，滿(mǎn)分6分）14.（1）（×）【詳解】在同一平面內(nèi)，利用垂線的性質(zhì)可知，但是不在同一平面內(nèi)，不一定成立，故答案為：×.（2）（×）【詳解】由題可知，任意三點(diǎn)確定無(wú)數(shù)個(gè)平面，只有不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以說(shuō)法錯(cuò)誤；故答案為：×.（3）（√）【詳解】若，，，由線面平行的性質(zhì)定理可得：，所以說(shuō)法正確；故答案為：√.（4）（√）【詳解】反證法證明：假設(shè)過(guò)直線外一點(diǎn)有兩條直線a和b垂直于同一直線c，我們有已知定理：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，這與這兩條直線過(guò)同一點(diǎn)相矛盾，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的，所以在同一平面內(nèi)過(guò)直線外一點(diǎn)只能做一條直線與已知直線垂直，所以說(shuō)法正確；故答案為：√.（5）（√）【詳解】根據(jù)平行公理可知：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條，所以說(shuō)法正確；故答案為：√.（6）（×）【詳解】空間中，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，當(dāng)它們的方向都相同或都相反，則這兩個(gè)角相等；當(dāng)它們的方向一邊相同，另一邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)；所以這兩個(gè)角可能相等或互補(bǔ).所以說(shuō)法錯(cuò)誤；故答案為：×.四、解答題（本組共有4小題，滿(mǎn)分42分）15.（滿(mǎn)分10分，每小題5分）【詳解】（1）證明：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，（正整數(shù)），則，又，即數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，即，則.16.（滿(mǎn)分10分，每小題5分）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由題意確定各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量得到和不平行，和不共面，可證得結(jié)論；（2）直接根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）證明：如圖所示：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，故與不平行，即和不平行，B，C，確定平面，若和共面，則平面，不成立，故和不共面，故直線與直線是異面直線；（2）由（1）可得，，，所以，設(shè)異面直線與直線所成的角為，，所以.故異面直線與所成的角為.17.（滿(mǎn)分10分，第1小題4分，第2小題6分）【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線線的位置有關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)Q，連接，，∵，∴M是線段上的中點(diǎn)，∴，，∴，，∵四邊形是矩形，N是線段上的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形是矩形，N是線段上的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，而平面，平面，∴直線平面；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得同時(shí)垂直于直線，直線，∵四邊形是矩形，∴，即，，而，