上海市靜安區(qū)彭浦高級中學2024-2025學年高二上學期10月月考數學試卷

彭浦高級中學2024-2025學年高二上10月月考數學試卷2024.10學校：________姓名：__________班級：________考號：___________一、填空題（本組每小題4分，滿分40分）1.等比數列中，且，則公比為_________.2.已知a，b為兩條不同的直線，為一個平面，且，，則直線a與b的位置關系是_________.3.若，則_________.（計算出結果）4.已知等差數列中，，則的值是_________.5.在直觀圖中，四邊形為菱形且邊長為2cm，則在坐標系中原四邊形為（填形狀），面積為_________.6.已知數列的前n項和為，且，，則_________.7.已知平面外兩點A，B到平面的距離分別是2和4，則的中點P到平面的距離是_________.8.無窮等比數列的前n項的和是，且，則首項的取值范圍是_________.9.在棱長為1的正方體中，E，F分別為棱，的中點，G為棱靠近C點的三等分點，用過點E，F，G的平面截正方體，則截面圖形的周長為_________.10.已知數列的首項為4，且滿足，則下列結論中正確的是_________.（填序號）①為等差數列；②為嚴格增數列；③的前n項和；④的前n項和.二、填空題（本組每小題3分，滿分12分）11.已知是兩條異面直線，，那么與的位置關系（）A.一定是異面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能垂直12.如果命題對于時成立，那么它對也成立.若對于時成立，則下列結論正確的是（）A.對所有正整數n成立 B.對所有正偶數n成立C.對所有正奇數n成立 D.對所有大于1的正整數n成立13.如圖1，直線將矩形紙分為兩個直角梯形和，將梯形沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過程中（平面和平面不重合）下面說法正確的是（）A.存在某一位置，使得平面B.存在某一位置，使得平面C.在翻折的過程中，平面恒成立D.在翻折的過程中，平面恒成立三、判斷題（本組每小題1分，滿分6分）14.判斷下列命題對錯，對打“√”，錯打“×”.（1）若，，則（）（2）三個點確定一個平面（）（3）若，，，則（）（4）過直線外一點只能做一條線與該直線垂直（）（5）過直線外一點只能做一條線與該直線平行（）（6）若兩個角的兩邊分別對應平行，那么兩個角相等（）四、解答題（本組共有4小題，滿分42分）15.（滿分10分，每小題5分）已知各項均為正數的數列滿足，（正整數）.（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和.16.（滿分10分，每小題5分）已知正方體中，棱長為2，點E是棱的中點.（1）連接，求證直線與直線是異面直線；（2）求異面直線與所成的角.（結果用反三角函數表示）17.（滿分10分，第1小題4分，第2小題6分）如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M、N是線段、上的點，滿足.（1）若，求證：直線平面；（2）是否存在實數，使直線同時垂直于直線，直線？如果有請求出的值，否則請說明理由.18.（本題滿分12分，第1小題滿分3分，第2小題滿分4分，第3小題滿分5分）在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）對任意，將數列中落入區(qū)間內的項的個數記為，記數列的前項和，求使得的最小整數；（3）若，使不等式成立，求實數的取值范圍.

彭浦高級中學2024-2025學年高二上10月月考數學試卷解析2024.10學校：________姓名：__________班級：________考號：___________一、填空題（本組每小題4分，滿分40分）1.【分析】根據已知條件，結合等比數列的性質，推得，再結合，即可求解.【詳解】等比數列中，，則，解得，，則.故答案為：-2.2.【分析】根據線面，線線關系判斷即可.【詳解】∵，，∴a和b沒有公共點，∴a，b平行或異面.故答案為：平行或異面.3.【詳解】根據題意，，右式中的分式的分母是從到，所以，當時，.4.15.5.【分析】根據題意，由斜二測畫法還原四邊形，據此分析可得答案.【詳解】根據題意，在坐標系中，四邊形如圖：則原四邊形為矩形，其中，，則其面積為，故答案為：矩形；8.6.【分析】根據數列的前n項和，由，即可求出結果.【詳解】因為數列前n項和為且，，當時，；又不滿足上式，所以，.故答案為：，.7.【分析】分A，B在α同側和A，B在異側兩種情況求解即可.【詳解】設點A、B在平面的投影分別為點，，則由題意可得，，若A，B在同側，如圖1，設點P在平面的投影為點P，則P到的距離為；若A，B在異側，如圖2，設點P在平面的投影為點O，過A作，交的延長線于點C，延長交于點，則P到的距離為，故的中點P到平面的距離為3或1.故答案為：3或1.8.【分析】利用無窮等比數列的求和公式，結合公比的范圍，即可求得首項的范圍.【詳解】∵無窮等比數列的前n項的和是，且，∴∴，∵，且，∴，且，∴，且∴首項的取值范圍是.故答案為：9.【分析】關鍵是作出截面六邊形，求解不難.【詳解】根據題意作出截面如圖，利用勾股定理和對邊相等易得周長為.10.②④【分析】對于①，利用遞推式得到，即是等比數列，故①錯誤；對于②，求得，即可判斷為嚴格增數列，故②正確，對于③，利用錯位相減法可求得，故③錯誤；對于④，易得，故，故④正確.【詳解】由，兩邊都除以，可得，即，又，故，所以是首項為4公比為2的等比數列，故①錯誤；所以，解得，所以為嚴格遞增數列，故②正確；的前n項和，，兩式相減得，所以，故③錯誤；由可得，所以的前n項和，故④正確.故答案為：②④.二、填空題（本組每小題4分，滿分12分）11.C【分析】由平行公理，若，因為，所以，與、是兩條異面直線矛盾，異面和相交均有可能.【詳解】、是兩條異面直線，，那么與異面和相交均有可能，但不會平行.因為若，因為，由平行公理得，與、是兩條異面直線矛盾.故選C.12.B【分析】利用假設，，即有n為正偶數均成立，即可得結論.【詳解】命題對于時成立，那么它對也成立.若對于時成立，則對也成立，即為對對所有正偶數n成立，故選：B.13.C【分析】在A中，與相交，從而與平面相交；在B中，與不垂直，從而不存在某一位置，使得平面；在C中，，從而在翻折的過程中，平面恒成立；在D中，與不垂直，在翻折的過程中，平面不一定成立.【詳解】在A中，∵四邊形是梯形，，∴與相交，∴與平面相交，故A錯誤；在B中，∵四邊形是梯形，，∴與不垂直，∴不存在某一位置，使得平面，故B錯誤；在C中，∵四邊形是梯形，，平面，平面，∴在翻折的過程中，平面恒成立，故C正確；在D中，∵四邊形是梯形，，∴與不垂直，在翻折的過程中，平面不一定成立，故D錯誤.故選：C.三、判斷題（本組每小題1分，滿分6分）14.（1）（×）【詳解】在同一平面內，利用垂線的性質可知，但是不在同一平面內，不一定成立，故答案為：×.（2）（×）【詳解】由題可知，任意三點確定無數個平面，只有不共線的三個點確定一個平面，所以說法錯誤；故答案為：×.（3）（√）【詳解】若，，，由線面平行的性質定理可得：，所以說法正確；故答案為：√.（4）（√）【詳解】反證法證明：假設過直線外一點有兩條直線a和b垂直于同一直線c，我們有已知定理：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，這與這兩條直線過同一點相矛盾，所以假設是錯誤的，所以在同一平面內過直線外一點只能做一條直線與已知直線垂直，所以說法正確；故答案為：√.（5）（√）【詳解】根據平行公理可知：過直線外一點作已知直線的平行線，能作且只能作一條，所以說法正確；故答案為：√.（6）（×）【詳解】空間中，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，當它們的方向都相同或都相反，則這兩個角相等；當它們的方向一邊相同，另一邊相反，則這兩個角互補；所以這兩個角可能相等或互補.所以說法錯誤；故答案為：×.四、解答題（本組共有4小題，滿分42分）15.（滿分10分，每小題5分）【詳解】（1）證明：已知各項均為正數的數列滿足，（正整數），則，又，即數列是以4為首項，2為公比的等比數列；（2）由（1）可得，即，則.16.（滿分10分，每小題5分）【分析】（1）建立空間直角坐標系，由題意確定各點坐標，根據向量得到和不平行，和不共面，可證得結論；（2）直接根據向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）證明：如圖所示：以D為坐標原點，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，故，，故與不平行，即和不平行，B，C，確定平面，若和共面，則平面，不成立，故和不共面，故直線與直線是異面直線；（2）由（1）可得，，，所以，設異面直線與直線所成的角為，，所以.故異面直線與所成的角為.17.（滿分10分，第1小題4分，第2小題6分）【分析】（1）根據三角形中位線定理，結合平行四邊形的判定定理和性質、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據線面垂直的判定定理和性質，結合線線的位置有關系進行判斷即可.【詳解】（1）證明：取中點Q，連接，，∵，∴M是線段上的中點，∴，，∴，，∵四邊形是矩形，N是線段上的中點，∴，，∵四邊形是矩形，N是線段上的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，而平面，平面，∴直線平面；（2）假設存在實數λ，使得同時垂直于直線，直線，∵四邊形是矩形，∴，即，，而，