量子力學(xué)03近獨(dú)立粒子的最概然分布特點(diǎn)分析

第三章近獨(dú)立粒子的最概然分布§3.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述1.粒子的狀態(tài)描述粒子是指組成物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。粒子的狀態(tài)是指它的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。如果粒子遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為量子描述。一、自由粒子自由度：3能量:μ空間(q1,q2,q3,p1,p2,p3),維數(shù)：6

μ空間中任何一點(diǎn)代表力學(xué)體系中一個(gè)粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在μ空間中移動(dòng)，描畫出一條軌跡。

軌跡：

以一維自由粒子為例，以為直角坐標(biāo)，構(gòu)成二維的空間，設(shè)一維容器的長度為。粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用空間在一定范圍內(nèi)的一點(diǎn)代表。能量：二、線性諧振子自由度：1μ空間維數(shù)：2能量橢圓質(zhì)量為的粒子在彈性力作用下,將在原點(diǎn)附近作圓頻率為的簡諧振動(dòng)，稱為線性諧振子?！?.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述微觀粒子普遍具有波粒二象性（粒子性與波動(dòng)性）德布羅意關(guān)系：測不準(zhǔn)關(guān)系其中

微觀粒子不可能同時(shí)有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)，這生動(dòng)地說明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng)。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。微觀粒子的能量是不連續(xù)的,稱為能級.如果一個(gè)能級的量子態(tài)不止一個(gè)，該能級就稱為簡并的。一個(gè)能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度。如果一個(gè)能級只有量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。一、線性諧振子圓頻率為的線性諧振子的能量可能值為所有能級等間距，均為。能級為非簡并。二、自由粒子一維自由粒子

考慮處于長度為的一維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。周期性邊界條件要求粒子可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其德布羅意波長滿足因此，一維自由粒子的量子數(shù)：1個(gè)基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為二度簡并。三維自由粒子

考慮處于長度為的三維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。假設(shè)此粒子限制在一個(gè)邊長為L的方盒子中運(yùn)動(dòng)，仿照一維粒子的情形，該粒子在三個(gè)方向動(dòng)量的可能值為量子數(shù)：3個(gè)基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為6度簡并。能量的可能值為（1）在微觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值的分離性很顯著，粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由三個(gè)量子數(shù)表征。

對于，有有六個(gè)量子態(tài)與之對應(yīng)，所以該能級為六度簡并，而基態(tài)為非簡并。能量值決定于

（2）在宏觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值是準(zhǔn)連續(xù)的，這時(shí)往往考慮在體積內(nèi)，在一定的動(dòng)量范圍內(nèi)的自由粒子量子態(tài)數(shù)。

求內(nèi)在

到，到，到間的自由粒子的量子態(tài)數(shù):在內(nèi)，符合上式的量子態(tài)數(shù)：這里稱相格。

微觀粒子的運(yùn)動(dòng)必須遵守測不準(zhǔn)關(guān)系，不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)，所以量子態(tài)不能用

空間的一點(diǎn)來描述，如果硬要沿用坐標(biāo)和動(dòng)量來描述量子態(tài)，那么一個(gè)狀態(tài)必然對應(yīng)于

空間中的一個(gè)體積元，而不是一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)體積元稱為量子相格。自由度為1的粒子，相格大小為普朗克常數(shù)

如果自由度為：

相格大小為：§3.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一.全同粒子與近獨(dú)立粒子1）全同粒子2）近獨(dú)立粒子（弱相互作用）

全同粒子是可以分辨的（因?yàn)榻?jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。二.經(jīng)典物理中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述1）可分辨（可跟蹤的經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)）2）描述方式：

單個(gè)粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由個(gè)坐標(biāo)和個(gè)動(dòng)量來描述，當(dāng)組成系統(tǒng)的個(gè)粒子在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都確定時(shí)，也就確定了整個(gè)系統(tǒng)的在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此確定系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要這個(gè)變量來確定。用μ

空間中N個(gè)點(diǎn)描述

一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在μ空間中用一個(gè)點(diǎn)表示，由N個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在μ空間中用N個(gè)點(diǎn)表示，那么如果交換兩個(gè)代表點(diǎn)在μ空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。3）玻色子與費(fèi)米子b)玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子或復(fù)合粒子。如：光子、Л介子等。a)費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子或復(fù)合粒子。如：電子、質(zhì)子、中子等。c）復(fù)合粒子的分類：凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費(fèi)米子。如，原子、核、核、原子為玻色子原子、核、核、原子為費(fèi)米子d）泡利不相容原理：

對于含有多個(gè)全同近獨(dú)立的費(fèi)米子的系統(tǒng)中，一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多能容納一個(gè)費(fèi)米子。

費(fèi)米子遵從泡利不相容原理，即在含有多個(gè)全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的費(fèi)米子不可能超過一個(gè)，而玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費(fèi)米子和玻色子遵從不同的統(tǒng)計(jì)。4）玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng):由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。玻色系統(tǒng):把由不可分辨的全同近獨(dú)立的玻色粒子組成，不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。費(fèi)米系統(tǒng):

把由不可分辨的全同近獨(dú)立的費(fèi)米粒子組成，受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個(gè)粒子的系統(tǒng)稱作費(fèi)米系統(tǒng)。

設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成，粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè)，如果這兩個(gè)粒子分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)時(shí)，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA對于玻耳茲曼系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA對于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)。量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA對于費(fèi)米系統(tǒng)，可以有3個(gè)不同的微觀狀態(tài)。粒子類別量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3玻耳茲曼系統(tǒng)ABABABABBAABBAABBA玻色系統(tǒng)AAAAAAAAAAAA費(fèi)米系統(tǒng)AAAAAA玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的的微觀狀態(tài)數(shù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。量子經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。兩者在原理上相同，區(qū)別在于微觀狀態(tài)的描述。宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)的區(qū)別宏觀狀態(tài)：平衡狀態(tài)下由一組參量表示，如N、E、V。微觀狀態(tài)：由坐標(biāo)和動(dòng)量或一組量子數(shù)表示。

為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒必要也不可能追究微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化，只要知道各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計(jì)方法求微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理的根本問題?！?.4等概率原理等概率原理：

對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件，沒有理由認(rèn)為哪一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。

等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)合理的基本假設(shè)。該原理不能從更基本的原理推出，也不能直接從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實(shí)際相符而得到肯定?！?.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一.分布設(shè)一個(gè)系統(tǒng)，有大量全同近獨(dú)立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)、能量和體積.能級：簡并度：粒子數(shù)：分布必須滿足：

給定了一個(gè)分布，只能確定處在每一個(gè)能級上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個(gè)性質(zhì)不同的概念。

微觀狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運(yùn)動(dòng)特征。例如：在某一能級上，假設(shè)有3個(gè)粒子，這三個(gè)粒子是如何占據(jù)該能級的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)。

三種統(tǒng)計(jì)的微觀狀態(tài)數(shù)同一個(gè)分布對于玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài)數(shù)顯然是不同的，下面分別加以討論.

1.玻耳茲曼系統(tǒng)

粒子可以分辨，若對粒子加以編號，則個(gè)粒子占據(jù)能級上的個(gè)量子態(tài)時(shí)，是彼此獨(dú)立、互不關(guān)聯(lián)的。分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：得到：

2.玻色系統(tǒng)

粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)能容納的粒子個(gè)數(shù)不受限制。首先個(gè)粒子占據(jù)能級上的個(gè)量子態(tài)有種

可能方式。將各種能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

3.費(fèi)米系統(tǒng)：

粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。個(gè)粒子占據(jù)能級上的個(gè)量子態(tài)，相當(dāng)于從個(gè)量子態(tài)中挑出個(gè)來為粒子所占據(jù)，有種可能的方式

將各能級的結(jié)果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：經(jīng)典極限條件

如果在玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中，任一能級上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即

（對所有能級）

稱為滿足經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件。經(jīng)典極限條件表示，在所有的能級，粒子數(shù)都遠(yuǎn)小于量子態(tài)數(shù)。

此時(shí)有：

在玻色和費(fèi)米系統(tǒng)中，個(gè)粒子占據(jù)能級上的個(gè)量子態(tài)時(shí)本來是存在關(guān)聯(lián)的，但在滿足經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)遠(yuǎn)小于1，粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略。這時(shí)，全同性的影響只表現(xiàn)在因子上。

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)

對于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對坐標(biāo)和動(dòng)量的測量總存在一定的誤差，假設(shè)，這時(shí)經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用一個(gè)點(diǎn)表示，而必須用一個(gè)體積元表示，該體積元的大小

表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里由測量精度決定，最小值為普朗克常量?，F(xiàn)將空間劃分為許多體積元，以表示運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在內(nèi)的粒子所具有的能量，內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為:這樣，個(gè)粒子處在各的分布可表示為能級：簡并度：粒子數(shù)：體積元:由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個(gè)相格內(nèi)的粒子個(gè)數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以與分布相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：玻耳茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng)經(jīng)典系統(tǒng)微觀狀態(tài)§6.6玻耳茲曼分布在上一講中，我們得到了與一個(gè)分布相對應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù),而且舉例說明了對于一個(gè)孤立系統(tǒng)的約束條件不變的條件下，即E、N、V=const,對于不同的分布系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的?？赡艽嬖谶@樣一個(gè)分布,它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。

根據(jù)等幾率原理，對處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個(gè)可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾率是相等的。因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布——玻耳茲曼分布。三種分布的推導(dǎo)斯特令（Stirling）公式：

當(dāng)足夠大時(shí),第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比可以忽略.這時(shí)玻耳茲曼分布兩邊取對數(shù)得：對若假設(shè)N>>1，al>>1，ωl>>1,可得到：兩邊關(guān)于求變分，但這些不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束條件：則必須滿足：

求在此約束條件下的最大值:則有：即，考慮使用拉格朗日乘數(shù)法，取未定因子為a和β分別乘以前面約束條件兩式，有玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻耳茲曼分布。a和b分別由下面條件決定說明：（1）取極大值的條件不僅要求同時(shí)要求證明：對關(guān)于再求變分，有所以滿足取極大值的條件。（2）一個(gè)處在宏觀平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)可能給出的微觀狀態(tài)數(shù)為各種分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)的總和，其中最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)比其他分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)大得多，因此可以用最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)來近似系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)?，F(xiàn)將玻耳茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)與對玻耳茲曼分布有偏離

的一個(gè)分布的微觀狀態(tài)數(shù)加以比較。對

作泰勒展開，假設(shè)對玻耳茲曼分布的相對偏離為則對于的宏觀系統(tǒng)，

這個(gè)估計(jì)說明，即使對最概然分布僅有極小偏離的分布，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)相比也接近于零。（3）斯特令公式要求，實(shí)際情況往往