蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一教師版講義

-1-編號(hào)：030課題:§4數(shù)列復(fù)習(xí)課目標(biāo)要求1、理解并掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算．2、理解并掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．3、理解并掌握數(shù)列的通項(xiàng)與求和．4、理解并掌握等差、等比數(shù)列的判定.5、理解與掌握數(shù)列與函數(shù).學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)在數(shù)學(xué)中，數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級(jí)數(shù)等，它實(shí)際上是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁．由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應(yīng)用性，以及數(shù)列在今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性，奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位．本章教材的設(shè)計(jì)，注意體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體的思想．在給出大量的生活實(shí)例之后，給學(xué)生一定的思考和探索空間，促使教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改變．讓學(xué)生通過觀察、操作、歸納、猜想、驗(yàn)證、推理、討論和交流體驗(yàn)數(shù)學(xué)；在習(xí)題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目，為學(xué)有余力的學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，拓寬視野，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容，為學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的判定；難點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)．教學(xué)過程思維結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖基礎(chǔ)知識(shí)積累1.數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列項(xiàng)數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)首項(xiàng)數(shù)列的第1項(xiàng)稱為首項(xiàng)2.數(shù)列的表示①一般形式：；②字母表示：上面數(shù)列通常記為．3．?dāng)?shù)列的分類類別含義按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式一般地，如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，})解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法6.遞推公式(1)概念：如果已知一個(gè)數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式．(2)作用：利用遞推公式通過賦值逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出數(shù)列的任何一項(xiàng)．7．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有通項(xiàng)公式法、圖象法、列表法、遞推公式法，以數(shù)列2，4，6，8，10，12，…為例，表示如下：①通項(xiàng)公式法：an＝2n.②遞推公式法：③列表法：n123…k…an246…2k…④圖象法：8．?dāng)?shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式．9.等差數(shù)列的定義(1)條件：①?gòu)牡?項(xiàng)起．②每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)．(2)結(jié)論：這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(3)相關(guān)概念：這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，常用d表示．10．等差中項(xiàng)(1)前提：三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：A叫作a與b的等差中項(xiàng)．(3)滿足的關(guān)系式：2A＝a＋b．11．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式遞推公式通項(xiàng)公式__an＋1－an＝d(n∈N*)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d在等差數(shù)列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.涉及a1，d，n，an及Sn五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)和前n項(xiàng)和．依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”．13．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d整理成關(guān)于n的函數(shù)可得Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.14.等比數(shù)列一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示．15．等比中項(xiàng)在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)．16．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1．17.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn＝Sn＝18．錯(cuò)位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫錯(cuò)位相減法．(2)該方法一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和，即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列，{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn·cn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，可以用這種方法．【課堂題組訓(xùn)練】題組訓(xùn)練一等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算題1．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為17，則S6＝()A．eq\f(63,4)B．16 C．15 D．eq\f(61,4)【解析】選A.設(shè){an}的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a2a3＝a1a4＝2a1，則a4＝2；由a4與2a7的等差中項(xiàng)為17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.所以q3＝eq\f(a7,a4)＝8，即q＝2，所以a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(1,4)，則S6＝eq\f(\f(1,4)（1－26）,1－2)＝eq\f(63,4).題2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，則a7＝________．【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13，S7＝eq\f(7（a1＋a1＋6d）,2)＝35.聯(lián)立兩式，解得a1＝2，d＝1，所以a7＝a1＋6d＝8.答案：8題3．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d.由題意，得aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(11))＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d).于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去).故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝eq\f(n,2)(a1＋a3n－2)＝eq\f(n,2)(－6n＋56)＝－3n2＋28n.【解題策略提醒】等差與等比數(shù)列的基本量計(jì)算方法在等差(或等比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1與公差d(或公比q)是兩個(gè)基本量，一般的等差(或等比)數(shù)列的計(jì)算問題，都可以設(shè)出這兩個(gè)量求解．在等差數(shù)列中的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn或等比數(shù)列中的五個(gè)量a1，q，n，an，Sn中，可通過列方程組的方法，知三求二．在利用Sn求an時(shí)，要注意驗(yàn)證n＝1是否成立．題組訓(xùn)練二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用題4.已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn取得最大值的n是()A．21B．20C．19D．18【解析】選B.由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，所以a3＝35.同理可得a4＝33，所以d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))得n＝20.所以使Sn達(dá)到最大值的n是20.題5.等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列的前13項(xiàng)和為()A．13B．26C．52D．156【解析】選B.3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，所以6a4＋6a10＝24，所以a4＋a10＝4，所以S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝eq\f(13（a4＋a10）,2)＝eq\f(13×4,2)＝26.題6.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2【解析】選C.因?yàn)閍5·a2n－5＝aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(n))＝22n，且an>0，所以an＝2n，因?yàn)閍2n－1＝，所以log2a2n－1＝2n－1，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝eq\f(n[1＋（2n－1）],2)＝n2.【解題策略提醒】等差與等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)、利用性質(zhì)求數(shù)列中某一項(xiàng)等，關(guān)于等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用問題，可以直接構(gòu)造關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d(公比q)的方程或方程組來求解，再根據(jù)等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求其值，此解思路簡(jiǎn)單，但運(yùn)算過程復(fù)雜．題組訓(xùn)練三數(shù)列的通項(xiàng)與求和題7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1－nan＋1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(n2－n＋2,2)B．a(chǎn)n＝eq\f(n2－n＋1,2)C．a(chǎn)n＝eq\f(2,n2－n＋1)D．a(chǎn)n＝eq\f(2,n2－n＋2)【解析】選D.原數(shù)列遞推公式可化為eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝n，令bn＝eq\f(1,an)，則bn＋1－bn＝n，因此bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝eq\f(n2－n＋2,2).從而an＝eq\f(2,n2－n＋2).題8.已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足：a1＝eq\f(1,2)，，用eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))表示不超過x的最大整數(shù)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1＋1)＋\f(1,a2＋1)＋…＋\f(1,a2020＋1)＋\f(1,a2021＋1)))的值等于()A．1B．2C．3D．4【解析】選A.由，得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)，所以eq\f(1,a1＋1)＋eq\f(1,a2＋1)＋…＋eq\f(1,a2021＋1)＝eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2)－eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a2021)－eq\f(1,a2022)＝eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2022)＝2－eq\f(1,a2022)，由a1＝eq\f(1,2)，得a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(21,16)>1知從a3以后都大于1，所以eq\f(1,a2022)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，所以2－eq\f(1,a2022)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1＋1)＋\f(1,a2＋1)＋…＋\f(1,a2021＋1)))＝1.題9．談祥柏先生是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)(稱為埃及分?jǐn)?shù)).則下列埃及分?jǐn)?shù)eq\f(1,1×3)，eq\f(1,3×5)，eq\f(1,5×7)，…，eq\f(1,2019×2021)的和是()A．eq\f(2020,2021) B．eq\f(1010,2021)C．eq\f(1009,2019) D．eq\f(2018,2019)【解析】選B.因?yàn)閑q\f(1,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，所以eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2019×2021)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2019)－\f(1,2021)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2021)))＝eq\f(1010,2021).題10.已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．【解析】令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，則Sn＝9－6n，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)·an＝Sn－Sn－1＝－6，所以an＝－.所以通項(xiàng)公式an＝答案：an＝【解題策略提醒】通項(xiàng)與和的求法1．由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，一是要注意判別類型與方法．二是要注意an的完整表達(dá)式，易忽視n＝1的情況．常用的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法有：(1)定義法，即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目．(2)若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可用公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求解．(3)對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列．2．?dāng)?shù)列求和時(shí)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式特征選擇求和法，尤其是涉及等比數(shù)列求和時(shí)要注意公比q對(duì)Sn的影響．一般常見的求和方法有：(1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；(2)分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列；(3)裂項(xiàng)相消法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和；(4)錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和；(5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．題組訓(xùn)練四等差、等比數(shù)列的判定題11．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．(2)設(shè)cn＝eq\f(an,2n－2)，求證：{cn}是等差數(shù)列．【證明】(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以＝3.所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為2.題12．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝eq\f(bn－1,1＋bn－1)(n≥2，n∈N*).(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)(n≥2，n∈N*).所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.(2)因?yàn)閍1＝1，所以b1＝2a1＝2.因?yàn)閎n＝eq\f(bn－1,1＋bn－1)，所以eq\f(1,bn)＝eq\f(1,bn－1)＋1，即eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn－1)＝1(n≥2).所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為1的等差數(shù)列．所以eq\f(1,bn)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·1＝eq\f(2n－1,2)，故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝eq\f(2,2n－1).【解題策略提醒】等差、等比數(shù)列的判斷與證明方法(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)，q≠0)?{an}是等比數(shù)列；(2)中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差數(shù)列；aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(n＋1))＝an·an＋2(an≠0)?{an}是等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．提醒：①前兩種方法是判定等差、等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定．②若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差(比)數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等差(比)即可．題組訓(xùn)練五數(shù)列與函數(shù)題13．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(3,2)n2－eq\f(29,2)n(n＝1，2，3，…)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________；數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第________項(xiàng)．【解析】利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求得an＝3n－16.則nan＝3n2－16n＝3，所以n＝3時(shí)，nan的值最?。鸢福篴n＝3n－163題14．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋λn，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．【解析】方法一：an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ，由于{an}是遞增數(shù)列，故2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－2n－1，又n∈N*，－2n－1≤－3，故λ＞－3.方法二：由于函數(shù)y＝x2＋λx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，結(jié)合其圖象可知，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則a2＞a1，即22＋2λ＞1＋λ，即λ＞－3.答案：(－3，＋∞)題15.設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，若{an＋1－an}是等差數(shù)列，{bn＋1－bn}是等比數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}中最小項(xiàng)及最小項(xiàng)的值．【解析】(1)a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，由{an＋1－an}成等差數(shù)列知其公差為1，故an＋1－an＝－2＋(n－1)·1＝n－3；b2－b1＝－2，b3－b2＝－1，由{bn＋1－bn}成等比數(shù)列知，其公比為eq\f(1,2)，故bn＋1－bn＝－2·，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)·(－2)＋eq\f(（n－1）（n－2）,2)·1＋6＝eq\f(n2－3n＋2,2)－2n＋8＝eq\f(n2－7n＋18,2)，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋(bn－2－bn－3)＋…＋(b2－b1)＋b1＝＋6＝2＋23－n.(2)因?yàn)閍n＝eq\f(n2－7n＋18,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2)))2＋eq\f(23,8)，所以n＝3或n＝4時(shí)，an取到最小值，最小值為a3＝a4＝3.【解題策略提醒】函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或其有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函數(shù)．運(yùn)用函數(shù)思想去研究數(shù)列，就是要借助于函數(shù)的單調(diào)性、圖象和最值等知識(shí)解決與數(shù)列相關(guān)的問題．等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)有密切關(guān)系，故可用函數(shù)的思想來解決數(shù)列問題．1-PAGE編號(hào)：031課題:§5.1.1平均變化率目標(biāo)要求1、通過實(shí)例分析，感受平均變化率的實(shí)際意義．2、求具體函數(shù)的平均變化率．3、平均變化率實(shí)際意義的理解．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)通過具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：具體函數(shù)的平均變化率的求法；難點(diǎn)：平均變化率實(shí)際意義的理解．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)積累1.平均變化率(1)表示：函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)．(2)意義：平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”．【注意】函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率也可為eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)，要注意分子、分母的匹配．【課前預(yù)習(xí)思考】(1)平均變化率只能是正數(shù)嗎？提示：不一定．平均變化率可正、可負(fù)、可以為0.(2)平均變化率不能準(zhǔn)確量化一段曲線的陡峭程度嗎？提示：平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但當(dāng)Δx很小時(shí)，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”．【課前小題演練】題1.（多選）下列說法正確的是()A.平均變化率只能是正數(shù).B.在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的變化量Δx可取任意實(shí)數(shù)．C.利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢(shì)和快慢程度，效果是“粗糙不精確的”．D.平均變化率的絕對(duì)值越大，曲線y＝f(x)在相應(yīng)區(qū)間上越“陡峭”，反之亦然．【答案】CD【解析】A.×.不一定．平均變化率可正、可負(fù)、可以為0.B.×.在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的變化量Δx可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，但不為0.C.√D.√題2．自變量x從2變到3時(shí)，函數(shù)f(x)＝3x－1的函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比等于()A．－1B．1C．2D．3【解析】選D.自變量x從2變到3時(shí)，函數(shù)f(x)＝3x－1的函數(shù)值的增量為8－5＝3，故增量之比等于3.題3．某物體的位移公式為s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)下列理解正確的是()A．(t0＋Δt)－t0稱為函數(shù)值增量B．t0稱為函數(shù)值增量C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)稱為函數(shù)值增D．eq\f(Δs,Δt)稱為函數(shù)值增量【解析】選C.由自變量的變化量、函數(shù)值的變化量、平均變化率的概念易得C正確．題4．若函數(shù)f(x)＝x2－c在區(qū)間[1，m]上的平均變化率為3，則m等于________.【解析】平均變化率為eq\f(f（m）－f（1）,m－1)＝eq\f(m2－c－（12－c）,m－1)＝eq\f(m2－1,m－1)＝m＋1，令m＋1＝3，得m＝2.答案：2【課堂題組訓(xùn)練】類型一求函數(shù)的平均變化率(數(shù)學(xué)運(yùn)算)題5．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在[2，6]上的平均變化率為________．【解析】因?yàn)棣＝f(6)－f(2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（6）－f（2）,6－2)＝eq\f(\f(1,6)－\f(1,2),6－2)＝－eq\f(1,12).答案：－eq\f(1,12)題6．求y＝f(x)＝2x2＋1在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率，并求當(dāng)x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時(shí)平均變化率的值．【解析】Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以函數(shù)f(x)＝2x2＋1在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4x0·Δx＋2（Δx）2,Δx)＝4x0＋2Δx，當(dāng)x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時(shí)，平均變化率為4×1＋2×eq\f(1,2)＝5.【解題策略提醒】1．求函數(shù)y＝f(x)從x0到x的平均變化率的步驟(1)求自變量的改變量Δx＝x－x0.(2)求函數(shù)值的改變量Δy＝y(tǒng)－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).(3)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).2．求平均變化率的注意點(diǎn)(1)要注意Δx，Δy的值可正、可負(fù)，但Δx≠0，Δy可為零，若函數(shù)f(x)為常數(shù)函數(shù)，則Δy＝0.(2)求點(diǎn)x0附近的平均變化率可用eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)表示．提醒：平均變化率一定是相對(duì)某一區(qū)間而言的，一般地，區(qū)間不同，平均變化率也不同．題7.已知一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是m，t的單位是s，那么物體在時(shí)間[3，3＋Δt]內(nèi)的平均速度是()A．(5＋Δt)(m/s)B．[5＋(Δt)2](m/s)C．[5(Δt)2＋Δt](m/s) D．5(Δt)2(m/s)【解析】選A.因?yàn)棣＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)＝(Δt)2＋5Δt，所以物體在時(shí)間[3，3＋Δt]內(nèi)的平均速度是eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(（Δt）2＋5Δt,Δt)＝(Δt＋5)(m/s).類型二函數(shù)平均變化率的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例】題8.在山地自行車比賽中，運(yùn)動(dòng)員的位移s與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s(t)＝t＋t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s).則10s后的0.1s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員的平均速度為________.【思路導(dǎo)引】eq\x\to(v)?eq\f(Δs,Δt)?Δs＝s(10.1)－s(10)，Δt＝0.1.【解析】Δs＝(10＋0.1)＋(10＋0.1)2－10－102＝2.11，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2.11,0.1)＝21.1(m/s).故10s后的0.1s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員的平均速度為21.1m/s.答案：21.1m/s題9．已知?dú)馇虻捏w積為V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.(1)求半徑r關(guān)于體積V的函數(shù)r(V).(2)求體積V從0L增加到1L和從1L增加到2L時(shí)，半徑r的平均變化率(精確到0.01).(3)由(2)的求解結(jié)果可說明什么意義？【思路導(dǎo)引】(1)求半徑r關(guān)于體積V的函數(shù)r(V)?V＝eq\f(4,3)πr3.(2)半徑r(V)的平均變化率?eq\f(Δr,ΔV)?Δr，ΔV.【解析】(1)因?yàn)閂＝eq\f(4,3)πr3，所以r3＝eq\f(3V,4π)，r＝eq\r(3,\f(3V,4π))，所以r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π)).(2)函數(shù)r(V)在區(qū)間[0，1]上的平均變化率為eq\f(Δr,ΔV)＝eq\f(r（1）－r（0）,1－0)＝eq\f(\r(3,\f(3×1,4π))－0,1)≈0.62(dm/L)，函數(shù)r(V)在區(qū)間[1，2]上的平均變化率為eq\f(Δr,ΔV)＝eq\f(r（2）－r（1）,2－1)＝eq\r(3,\f(3×2,4π))－eq\r(3,\f(3×1,4π))≈0.16(dm/L).(3)顯然體積V從0L增加到1L時(shí)，半徑變化快，這說明隨著氣球體積的增加，氣球的半徑增加得越來越慢．題10．已知?dú)馇虻捏w積為V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.求氣球半徑r關(guān)于表面積S的函數(shù)r(S).【解析】因?yàn)镾＝4πr2，所以r＝eq\r(\f(S,4π))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(S,π)).所以r(S)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(S,π)).【解題策略提醒】平均變化率的應(yīng)用提醒：解決問題仍需抓住本質(zhì)，利用平均變化率的概念解題．題11.正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))內(nèi)的平均變化率較大的是________．【解析】Δy1＝sineq\f(π,6)－sin0＝eq\f(1,2)，所以正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上的平均變化率為eq\f(\f(1,2),\f(π,6))＝eq\f(3,π)，又因?yàn)棣2＝sineq\f(π,2)－sineq\f(π,3)＝1－eq\f(\r(3),2)，所以正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的平均變化率為eq\f(1－\f(\r(3),2),\f(π,6))＝eq\f(6－3\r(3),π)＝eq\f(3,π)(2－eq\r(3))，因?yàn)?>2－eq\r(3)，故eq\f(3,π)>eq\f(3,π)(2－eq\r(3))，所以前者大．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))【課堂檢測(cè)達(dá)標(biāo)】題12．函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0＋Δx時(shí)，Δy＝()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)【解析】選D.Δy看作相對(duì)于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．題13．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s＝2t2＋5，則在時(shí)間[3，3＋Δt]中，相應(yīng)的平均速度等于()A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．12＋2ΔtD．12【解析】選C.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([2（3＋Δt）2＋5]－（2×32＋5）,Δt)＝12＋2Δt.題14．向半徑為r的球內(nèi)吹氣，如果球的半徑增加Δr，那么球的體積增量ΔV等于多少？【解析】由球的體積計(jì)算公式得ΔV＝eq\f(4π,3)[(r＋Δr)3－r3]＝eq\f(4π,3)·[3r2＋3r·Δr＋(Δr)2]Δr.題15．某商戶2019年上半年的銷售收入如圖所示，試說明該商戶1月到2月和2月到6月的經(jīng)營(yíng)情況．【解題指南】求解此類問題，學(xué)會(huì)識(shí)圖是關(guān)鍵．【解析】1月到2月，銷售收入的平均變化率為eq\f(6－2,2－1)＝4(萬元/月)，2月到6月，銷售收入的平均變化率為eq\f(12－6,6－2)＝1.5(萬元/月).因?yàn)?＞1.5，故可說明該商戶1月到2月的銷售情況較好，2月到6月銷售遲緩．1-PAGE編號(hào)：032課題:§5.1.2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)目標(biāo)要求1、通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程．2、理解導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義．3、準(zhǔn)確理解函數(shù)在某點(diǎn)處與過某點(diǎn)的切線方程．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)通過具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義；難點(diǎn)：理解函數(shù)在某點(diǎn)處與過某點(diǎn)的切線方程．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)積累1.曲線上某點(diǎn)處的割線與切線名稱割線切線定義設(shè)點(diǎn)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，則直線PQ稱為曲線的割線當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線在點(diǎn)P處的切線斜率設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x，f(x))，另一點(diǎn)Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，則割線PQ的斜率為kPQ＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，并無限靠近點(diǎn)P時(shí)，割線PQ逼近點(diǎn)P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)無限趨近于點(diǎn)P(x，f(x))處的切線的斜率【友情提醒注意】經(jīng)歷割線逼近切線的過程，體會(huì)“局部以直代曲”和“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想．2．瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度(1)瞬時(shí)速度如果當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移S(t)的平均變化率eq\f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度；(2)瞬時(shí)加速度：如果當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度v(t)的平均變化率eq\f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)加速度．【友情提醒注意】瞬時(shí)速度就是位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率；瞬時(shí)加速度就是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率．3．導(dǎo)數(shù)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)．可用符號(hào)“→”表示“無限趨近于”幾何意義導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率【友情提醒注意】(1)f′(x0)是一種新的記號(hào)，表示函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．(2)瞬時(shí)速度：運(yùn)動(dòng)物體的位移S(t)對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)＝S′(t).(3)瞬時(shí)加速度：運(yùn)動(dòng)物體的速度v(t)對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即a(t)＝v′(t).4．導(dǎo)函數(shù)(1)導(dǎo)函數(shù)的定義若f(x)對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f′(x)．在不引起混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)也簡(jiǎn)稱為f(x)的導(dǎo)數(shù)．(2)f′(x0)的意義f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．【友情提醒注意】f′(x)也是一個(gè)函數(shù)，稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．【課前預(yù)習(xí)思考】(1)曲線在某一點(diǎn)處的切線與曲線只能有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？提示：不是．如y＝x3在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)．(2)求f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的一般步驟是什么？提示：①求Δy；②求eq\f(Δy,Δx)；③當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)→A(常數(shù))，則常數(shù)A即為f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．(3)如何理解f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)?提示：f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，而不是f(x0)的導(dǎo)數(shù)．【課前小題演練】題1．（多選）下列說法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值．B.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值．C.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．D.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是點(diǎn)(x0，f(x0))與點(diǎn)(0，0)連線的斜率．【答案】ABD【解析】A.×.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值．B.×.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線傾斜角的正切值．C.√.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．D.×.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，不是點(diǎn)(x0，f(x0))與點(diǎn)(0，0)連線的斜率．題2．一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s＝2t3運(yùn)動(dòng)，則其在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度等于()A．2 B．8 C．16 D．24【解析】選D.Δs＝2×(2＋Δt)3－2×23＝24Δt＋12(Δt)2＋2(Δt)3，所以eq\f(Δs,Δt)＝24＋12Δt＋2(Δt)2，當(dāng)Δt→0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)→24.題3．如果曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在【解析】選B.切線x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，即f′(x0)＝－eq\f(1,2)＜0.題4．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)滿足速度方程v(t)＝4t2＋2t－3(速度單位：m/s，時(shí)間單位：s)，且v′(5)＝42m/s2，其實(shí)際意義是________________________．【解析】物體在5s時(shí)的瞬時(shí)加速度為42m/s2，即此刻每經(jīng)過1s，物體運(yùn)動(dòng)的速度增加42m/s.答案：物體在5s時(shí)的瞬時(shí)加速度是42m/s2題5．函數(shù)y＝x2＋1在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為________．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2＋Δx）2＋1－（22＋1）,Δx)＝eq\f(4＋（Δx）2＋4Δx＋1－5,Δx)＝Δx＋4，當(dāng)Δx→0時(shí)，Δx＋4→4，所以y＝x2＋1在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為4.答案：4【課堂題組訓(xùn)練】類型一利用定義求導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題6.已知點(diǎn)P(2，8)是曲線y＝2x2上一點(diǎn)，則P處的瞬時(shí)變化率為________．【思路導(dǎo)引】瞬時(shí)變化率?eq\f(Δy,Δx)，Δx→0?Δy，Δx.【解析】Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(8Δx＋2（Δx）2,Δx)＝8＋2Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)無限趨近于常數(shù)8.答案：8題7．已知函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11，則當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)→________．【思路導(dǎo)引】(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11?f′(x0)＝11.【解析】當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,－2Δx)·(－2)→－2·f′(x0)，又f′(x0)＝11，所以eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)→－22.答案：－22題8．求函數(shù)y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．【思路導(dǎo)引】導(dǎo)數(shù)?eq\f(Δy,Δx)，Δx→0?Δx，Δy.【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－（－1＋Δx）2＋（－1＋Δx）－（－2）,Δx)＝3－Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→3.【解題策略提醒】求導(dǎo)時(shí)應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)技巧(1)寫出函數(shù)，確定x0的值．(2)分析Δx趨于0時(shí)，在eq\f(Δy,Δx)中，只要eq\f(Δy,Δx)有意義，就可以把“Δx趨于0”看作“Δx＝0”以確定eq\f(Δy,Δx)的值．提醒：函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是其在點(diǎn)(x0，f(x0))處的瞬時(shí)變化率．題9.求函數(shù)y＝f(x)＝3x－eq\f(2,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1).【解析】因?yàn)棣＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－eq\f(2,1＋Δx)－1＝2＋3Δx－eq\f(2,1＋Δx)＝3Δx＋eq\f(2Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx＋\f(2Δx,1＋Δx),Δx)＝3＋eq\f(2,1＋Δx)，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→5，所以f′(1)＝5.類型二曲線上一點(diǎn)處的切線方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題10.已知拋物線y＝ax2＋bx－7過點(diǎn)(1，1)，且在點(diǎn)(1，1)處的拋物線的切線方程為y＝4x－3，求a，b的值．【思路導(dǎo)引】切線方程?切點(diǎn)的坐標(biāo)，斜率?橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)?eq\f(Δy,Δx)，Δx→0.【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a（x＋Δx）2＋b（x＋Δx）－7－ax2－bx＋7,Δx)＝eq\f(a·2x·Δx＋a（Δx）2＋bΔx,Δx)＝2ax＋b＋a·Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→2ax＋b，所以f′(x)＝2ax＋b，所以f′(1)＝2a＋b，依據(jù)題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－7＝1，,2a＋b＝4，))解得a＝－4，b＝12.題11．求曲線y＝f(x)＝x2＋1在點(diǎn)P(1，2)處的切線方程．【思路導(dǎo)引】先求函數(shù)值的增量Δy，再求eq\f(Δy,Δx)，當(dāng)Δx→0時(shí)，得f′(x).【解析】因?yàn)棣＝f(1＋Δx)－f(1)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，f′(1)＝2.所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.【解題策略提醒】求曲線上一點(diǎn)處切線方程的三個(gè)步驟提醒：注意問題是求在某一點(diǎn)處的切線方程還是求過某一點(diǎn)處的切線方程．求過曲線y＝f(x)外一點(diǎn)P(x1，y1)的切線方程的六個(gè)步驟(1)設(shè)切點(diǎn)(x0，f(x0)).(2)利用所設(shè)切點(diǎn)求斜率k＝f′(x0).(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．(4)根據(jù)斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程．(6)將切線方程化為一般式．題12.已知拋物線y＝2x2，則拋物線在x＝1處的切線方程為________．【解析】因?yàn)閑q\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(2（1＋Δx）2－2×12,Δx)＝4＋2Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.因?yàn)閤＝1，所以f(1)＝2，切點(diǎn)為(1，2)，所以切線方程為y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.答案：4x－y－2＝0類型三求切點(diǎn)的坐標(biāo)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題13.已知曲線y＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線y＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值．【思路導(dǎo)引】切線互相平行?斜率相等?在x0處的導(dǎo)數(shù)相等?eq\f(Δy,Δx)，Δx→0?檢驗(yàn)．【解析】對(duì)于曲線y＝x2－1在x＝x0處，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([（x0＋Δx）2－1]－（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1）,Δx)＝eq\f(2x0·Δx＋（Δx）2,Δx)＝2x0＋Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→2x0.即y＝x2－1在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)y′＝2x0.對(duì)于曲線y＝1－x3在x＝x0處，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([1－（x0＋Δx）3]－（1－xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))）,Δx)＝eq\f(－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))Δx－3x0（Δx）2－（Δx）3,Δx)＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))－3x0·Δx－(Δx)2，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，即y＝1－x3在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)y′＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，又y＝1－x3與y＝x2－1在x＝x0處的切線互相平行，所以2x0＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，解得x0＝0或x0＝－eq\f(2,3).當(dāng)x0＝0時(shí)，兩條切線的斜率k＝0，當(dāng)x0＝－eq\f(2,3)時(shí)，兩條切線的斜率k＝－eq\f(4,3)，均符合題意，所以x0＝0或－eq\f(2,3).【解題策略提醒】切點(diǎn)問題的處理方法(1)借斜率先求橫坐標(biāo)：由條件得到直線的傾斜角或斜率，由這些信息得知函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)與幾何知識(shí)相聯(lián)系：解決這些問題要注意和解析幾何的知識(shí)聯(lián)系起來，如直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，兩直線平行或垂直與斜率的關(guān)系等．提醒：函數(shù)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率就是函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．題14.已知曲線y＝x2上某一點(diǎn)的切線滿足下列條件，求此點(diǎn)坐標(biāo)．(1)平行于直線y＝4x－5.(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0.(3)與x軸正半軸成135°的傾斜角．【解析】設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)．eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),Δx)＝2x0＋Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，2x0＋Δx→2x0.(1)因?yàn)榍芯€與直線y＝4x－5平行，所以2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，即P(2，4).(2)因?yàn)榍芯€與直線2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4))).(3)因?yàn)榍芯€與x軸正半軸成135°的傾斜角，所以k＝－1，則2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).【課堂檢測(cè)達(dá)標(biāo)】題15.已知曲線y＝－eq\f(1,2)x2－2上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))，則在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為()A．30°B．45°C．135°D．165°【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))在曲線y＝f(x)＝－eq\f(1,2)x2－2上，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（1＋Δx）2－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)×12－2)),Δx)＝－eq\f(1,2)Δx－1，當(dāng)Δx→0時(shí)，－eq\f(1,2)Δx－1→－1.所以在點(diǎn)P處的切線斜率為k＝f′(1)＝－1，所以在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為135°.題16.曲線f(x)＝eq\f(2,x)在點(diǎn)(－2，－1)處的切線方程為________．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（－2＋Δx）－f（－2）,Δx)＝eq\f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq\f(1,－2＋Δx)，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→－eq\f(1,2).所以切線方程為y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.答案：x＋2y＋4＝0題17．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，且f′(x0)＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【解析】因?yàn)棣＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝6x0＋3Δx＋6，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→6x0＋6，故6x0＋6＝0，所以x0＝－1，y0＝－2.答案：(－1，－2)題18．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－eq\f(2,3)x＋7，則f(6)＋f′(6)＝__________.【解題指南】f′(6)即在點(diǎn)P處切線的斜率，f(6)可利用直線方程求值．【解析】f(6)＋f′(6)＝－eq\f(2,3)×6＋7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)1-PAGE編號(hào)：033課題:§5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)目標(biāo)要求1、通過實(shí)例分析，了解利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并會(huì)利用公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3、能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問題．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)通過具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：利用公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；難點(diǎn)：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問題．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)積累1.幾個(gè)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)kx＋bC(C為常數(shù))xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)k012x－eq\f(1,x2)3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0.2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(xα)′＝αxα－1(α為常數(shù))(lnx)′＝eq\f(1,x)(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝cosx(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝－sinx(ex)′＝ex【課前預(yù)習(xí)思考】(1)函數(shù)f(x)＝ax的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)f(x)＝ex的導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系？提示：f(x)＝ex是底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)，是特殊的指數(shù)函數(shù)，所以其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna當(dāng)a＝e時(shí)的特殊情況．(2)函數(shù)f(x)＝logax與f(x)＝lnx的導(dǎo)數(shù)之間有何關(guān)系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一個(gè)特例，f(x)＝lnx的導(dǎo)數(shù)也是f(x)＝logax的導(dǎo)數(shù)的特例．(3)若f′(x)＝ex，則f(x)＝ex這種說法正確嗎？提示：不正確．由導(dǎo)數(shù)定義可知f(x)＝ex＋C(其中C為任意實(shí)數(shù))，都有f′(x)＝ex.【課前小題演練】題1．（多選）下列命題錯(cuò)誤的是()A.f(x)＝0，則f′(x)＝0.B.若f(x)＝lnx，則f′(e)＝1.C.若(3x)′＝x·3x－1.D.(x4)′＝x4ln4.【答案】BCD【解析】A√.因?yàn)閒(x)＝0是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，所以f′(x)＝0.B×.f(x)＝lnx時(shí)，f′(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(e)＝eq\f(1,e)≠1.C×.函數(shù)y＝3x是指數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為(3x)′＝3xln3.D×.函數(shù)y＝x4是冪函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為(x4)′＝4x3.題2．若函數(shù)y＝10x，則y′|x＝1等于()A．eq\f(1,10)B．10C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)【解析】選C.因?yàn)閥′＝10xln10，所以y′|x＝1＝10ln10.題3．曲線f(x)＝x3在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為________．【解析】k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（1＋Δx）3－13,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(13＋3Δx＋3（Δx）2＋（Δx）3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.答案：3【課堂題組訓(xùn)練】類型一利用導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)題4．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，則f′(2)＝()A．8 B．12 C．8ln3 D．0【解析】選D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常數(shù)函數(shù)，所以f′(x)＝0，所以f′(2)＝0.題5．已知f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(1)＝()A．1 B．－1 C．3 D．－3【解析】選D.f(x)＝eq\f(1,x3)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3.題6．(多選題)下列結(jié)論正確的為()A．y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)B．y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C．y＝2x，則y′＝2x·ln2D．y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2)【解析】選BCD.由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式可知，有y＝ln2，則y′＝0，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，其他選項(xiàng)均正確．【解題策略提醒】運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)的注意事項(xiàng)(1)對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)，直接套用公式；(2)對(duì)于較為復(fù)雜，不能直接套用公式的，可先把題中函數(shù)恒等變形為基本初等函數(shù)，再求導(dǎo)．題7.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，則α等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)【解析】選D.因?yàn)閒(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，所以f′(1)＝α＝eq\f(1,4).題8．函數(shù)f(x)＝sinx，則f′(6π)＝________．【解析】f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.答案：1類型二導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題9.求過曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．四步內(nèi)容理解題意條件：①曲線y＝sinx；②曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))結(jié)論：求與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程思路探求先求切線的斜率，再求垂線的斜率，最后求出垂線的方程書寫表達(dá)因?yàn)閥＝sinx，所以y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率是：y′|x＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，所以過點(diǎn)P且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r(3))，故所求的直線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.題后反思導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵【解題策略提醒】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．題10．函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1【解析】選B.因?yàn)閒(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切線的方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.題11．曲線y＝eq\f(9,x)在點(diǎn)M(3，3)處的切線方程是________．【解析】因?yàn)閥′＝－eq\f(9,x2)，所以y′|x＝3＝－1，所以過點(diǎn)(3，3)的斜率為－1的切線方程為y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.答案：x＋y－6＝0題12．水波的半徑以0.5m/s的速度向外擴(kuò)張，當(dāng)半徑為25m時(shí)，水波面積的膨脹率是________．【解析】因?yàn)樗ǖ陌霃綌U(kuò)張速度為0.5m/s，故水波面積為S＝πr2＝π(vt)2＝eq\f(1,4)πt2，故水波面積的膨脹率為S′＝eq\f(1,2)πt.當(dāng)水波的半徑為25m時(shí)，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝eq\f(1,2)π×50＝25π.答案：25π類型三與切線方程有關(guān)的問題(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求切點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù)值【典例】題13.若直線y＝x＋b與曲線y＝ex相切于點(diǎn)P，求切點(diǎn)坐標(biāo)及b的值．【思路導(dǎo)引】由切線的斜率即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)；由切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出b的值．【解析】設(shè)P(x0，y0)，由題意可知y′|x＝x0＝ex0，所以ex0＝1，即x0＝0，所以點(diǎn)P(0，1).由點(diǎn)P(0，1)在直線y＝x＋b上可知b＝1.題14.若點(diǎn)P是曲線y＝ex上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離．【解析】如圖，當(dāng)曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x的距離最近，則曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為eq\f(\r(2),2).角度2與切線有關(guān)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例】題15.曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為________．【解析】因?yàn)閥′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2，所以曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，所以切線與坐標(biāo)軸所