3.5.4 恒成立和存在性問題 -(必修第一冊) (教師版)

恒成立和存在性問題1恒成立和存在性問題(1)單變量的恒成立問題①?x∈D,fx<a恒成立，則②?x∈D,fx>a恒成立，則③?x∈D,fx<g(x)恒成立，則④?x∈D,fx>g(x)恒成立，則(2)單變量的存在性問題①?x0∈D，②?x0∈D，③?x0∈D，使得f④?x0∈D，(3)雙變量的恒成立與存在性問題①?x1∈D,?x②?x1∈D,?x2③?x1∈D,?④?x1∈D，?x(4)相等問題①?x1∈D,?x2∈E②?x1∈D,?x2∈E2解題方法恒成立和存在性問題最終可轉(zhuǎn)化為最值問題，具體的方法有直接最值法分類參數(shù)法變換主元法數(shù)形結(jié)合法【題型一】恒成立和存在性問題的解題方法1直接構(gòu)造函數(shù)最值法【典題1】設(shè)函數(shù)f(x)=3|x|x2+9的最大值是a，若對于任意的x∈[0,2)，a>x2?x+b恒成立，則【解析】當(dāng)x=0時，f(x)=0；當(dāng)x≠0時，f(x)=3|x|則fxmax=12，即a=即x2?x+b?12＜(把不等式中12移到右邊，使得右邊為0，從而構(gòu)造函數(shù)y=g令gx=x2?x+b?12，則問題在x∈[0,2)上，gx∴32+b≤0【點撥】①直接構(gòu)造函數(shù)最值法：遇到類似不等式fx<g(x)恒成立問題，可把不等式變形為fx?g②在求函數(shù)的最值時，一定要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域;③題目中y=g(x)在x∈[0,2)上是取不到最大值，gx<g2=32+b，而要使得gx<02分離參數(shù)法【典題1】已知函數(shù)f(x)=3x+8x+a關(guān)于點(0,?12)k?2x?f(2x【解析】由y=3x+8x為奇函數(shù)，可得其圖象關(guān)于可得f(x)的圖象關(guān)于(0,a)對稱，函數(shù)f(x)=3x+8x+a關(guān)于點(0,－12)對任意的x∈?1,1??x∈[?1,1],k?2【思考：此時若利用最值法，求函數(shù)fx即k?2x≥3?所以k≥8(使得不等式一邊是參數(shù)k，另一邊不含k關(guān)于x的式子，達到分離參數(shù)的目的)令t=12x，由x∈[?1,1]設(shè)?t當(dāng)t=2時，?(t)取得最大值11，則k的取值范圍是k≥11，【點撥】①分離參數(shù)法：遇到類似k?fx≥gx或k+fx≥g②恒成立問題最終轉(zhuǎn)化為最值問題，而分離參數(shù)法，最好之處就是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)不含參，避免了麻煩的分離討論.【典題2】已知fx=log2(1?a?2x(1)當(dāng)f1?f(0)=2時，求(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時，關(guān)于x的不等式fx≥x?1恒成立，試求【解析】(1)f1?f(0)=2?log2(5?2a)=(2)lo?1?a?2令t=2∵x∈1,+∞設(shè)?(t)=t+1t∵?(t)在[2,+∞)上為增函數(shù)?t=2時，?(t)=t+1∴a≤2.【點撥】在整個解題的過程中不斷的利用等價轉(zhuǎn)化，把問題慢慢變得更簡單些.3變換主元法【典題1】對任意a∈[?1,1]，不等式x2+(a?4)x?2a>0恒成立，求思考痕跡見到本題中“x2+(a?4)x?2a>0恒成立”潛意識中認(rèn)為x是變量，a是參數(shù)，這樣會構(gòu)造函數(shù)fx=x2【解析】因為不等式x2?不等式(x?2)a+x2?4x>0令f(a)=(x?2)a+若要使得①成立，只需要f(?1)>0解得x>5+172或x<3?【點撥】變換主元法，就是要分辨好誰做函數(shù)的自變量，誰做參數(shù)，方法是以已知范圍的字母為自變量.4數(shù)形結(jié)合法【典題1】已知a>0,f(x)=x2?ax,當(dāng)思考痕跡本題若用直接最值法，去求函數(shù)fx【解析】不等式x2等價于x2?1令f(x)=x若①成立，則當(dāng)x∈(?1,1)時，f(x)=x2?12則需要g(1)>f(1)g(?1)>f(?1)?(不要漏了a=1，因為a>0，gx=又a>0,a≠1，解得a即實數(shù)a的取值范圍為[【點撥】①數(shù)形結(jié)合法：?x∈D,fx<gx恒成立?在x∈D上，函數(shù)②遇到不等式?x<0恒成立，可以把不等式化為fx<g(x)用數(shù)形結(jié)合法，而函數(shù)y=f(x)與y=g(x)最好是熟悉的函數(shù)類型，比如本題中構(gòu)造出【題型二】恒成立與存在性問題混合題型【典題1】已知函數(shù)fx(1)若對任意x1∈[?1,3]，任意x2∈[0,2]都有(2)若對任意x2∈[0,2]，總存在x1∈[?1,3]使得【解析】(1)由題設(shè)函數(shù)fx=x對任意x1∈[?1,3]，任意x2知：fx∵f(x)在[?1,3]上遞增，∴f又∵g(x)在[0,2]上遞減，∴g∴有0≥2?m，m的范圍為[2,+∞)(2)由題設(shè)函數(shù)f(x)=x3+1對任意x2∈[0,2]，總存在x1知fx∴有f(3)≥g(0)，即28≥2?m，∴M的范圍為[?26,+∞)．【點撥】對于雙變量的恒成立--存在性問題，比如第二問中怎么確定fx具體如下思考如下，先把g(x2)看成定值m，那?x1再把fx1看成定值n，那?x2∈[0,2]故問題轉(zhuǎn)化為fx其他形式的雙變量成立問題同理，要理解切記不要死背..【典題2】設(shè)f(x)=x2x+1，gx=ax+3?2a(a>0)，若對于任意x1∈[0,1]，總存在x【解析】∵f(x)=x當(dāng)x=0時，f(x)=0，當(dāng)x≠0時，f(x)=1由0<x≤1，即1x≥1，1x故0≤f(x)≤1又因為gx=ax+3?2a(a>0)，且由g(x)遞增，可得3－2a≤gx對于任意x1∈[0,1]，總存在x0可得[0,1可得3?2a≤03?a≥12鞏固練習(xí)1(★★)已知1+2x+a?4x>0對一切x∈(?∞【答案】(?3【解析】1+2x+令t＝2－x，由x∈(－∞，1]則a>－t－t2－t=?(t+12)2+3所以a>?3故答案為：(?2(★★)若不等式2x?1>m(x2?1)對滿足|m|≤2的所有m【答案】7?1【解析】令；不等式對滿足的所有都成立對任意，恒成立，解得7?12<x<3(★★)若不等式3x2?logax<0在x∈(0,【答案】127【解析】不等式3x2?不等式3x2<log令fx=3當(dāng)x∈(0,13)時，y=f顯然當(dāng)a>1時，是不能滿足題意的；當(dāng)0<a<1時，則需要loga4(★★★)已知函數(shù)fx=x2?3x，gx=x2?2mx+m，若對任意x1【答案】m≤?1或m≥3【解析】對任意x1∈[－1，1]，總存在x2∈當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)=x2－3x當(dāng)x∈[－1，1]時，g(x)=x①當(dāng)m≤－1時，g(x)在[－1，1]上遞增，所以gx∴－2≥1+3m，解得m≤－1；②當(dāng)m≥1時，g(x)在[－1，1]上遞減，所以gx∴－2≥1－m，解得：m≥3；③當(dāng)－1<m<1時，gx∴－2≥－m2+m，解得：m≤－1或m≥2綜上所述：m≤－1或m≥3。5(★★★)已知a>0且a≠1，函數(shù)fx=a(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)若對于任意x1∈[?1,1]，總存在x0∈[?1,1]，使得(3)若對于任意x0∈[?1,1]，任意x1∈[?1,1]，都有【答案】(1)[2,a+1a](2)a>1【解析】(1)∵f(x)=a則f(－x)=a設(shè)t=ax，則函數(shù)f(x)等價為若a>1，當(dāng)0≤x≤1時，t=ax單調(diào)遞增，且t≥1，此時函數(shù)y=t+1t在t≥1上單調(diào)遞增，若0<a<1，當(dāng)0≤x≤1時，t=ax單調(diào)遞減，且0<t≤1，此時函數(shù)y=t+1t在0<t≤1上單調(diào)遞減，綜上當(dāng)x≥0時，函數(shù)單調(diào)遞增，∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)－1≤x≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減．故函數(shù)的遞增區(qū)間為[0，1]，遞減區(qū)間為[－1，0]．∴函數(shù)的值域為[2，a+1a]．(2)∵a>0且a≠1，∴gx=ax∴函數(shù)g(x)在x∈∴g(1)=2a+4，