6.1-6.2 計(jì)數(shù)原理與排列組合 -(選擇性必修第二、三冊) (教師版)

計(jì)數(shù)原理與排列組合1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理①分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn②分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn③分類計(jì)數(shù)原、理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事.分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件．Eg小芳要去party，衣柜里有3件連衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少種搭配的方式去party呢？顯然是3+4×5=23種方式.2排列①排列概念從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.②排列數(shù)從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號AnA或A③階乘n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘規(guī)定0!=1．3組合①組合概念一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.②組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號CnC③排列與組合的區(qū)別(1)排列是講“順序”，而組合不講“順序”，比如(Ⅰ(Ⅱ顯然問題Ⅰ，Ⅱ的答案是C50(2)從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列(排列數(shù)An可以理解為分為兩步：第一步從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組合，得到組合數(shù)Cn第二步再對m個(gè)元素進(jìn)行排列，得到排列數(shù)AmA③組合數(shù)的性質(zhì)①規(guī)定:C②C(比如C10③C(從n+1個(gè)中抽出m個(gè)Cn+1m=抽不到元素A的組合數(shù)Cnm④r(rCnrPS若能理解每個(gè)公式是怎么推導(dǎo)的，有助于你靈活運(yùn)用它們！【題型一】計(jì)數(shù)原理【典題1】18本不同的書，任選3本分給3個(gè)學(xué)生，每人一本有多少種不同的分法？(2)將4封信投入3個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？35名運(yùn)動(dòng)員爭奪345名運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加3【解析】(1)“8本不同的書，任選3本分給3個(gè)學(xué)生”的意思等價(jià)于“三位學(xué)生在8本不同的書上選3本書”，(可想象下：你是老師，要完成一件事情：安排三個(gè)學(xué)生A,B,先讓學(xué)生A去拿書，從8本書中任選一本有8種選法，再讓學(xué)生B去拿書，從余下的7本書中任選一本有7種選法，最后讓學(xué)生C去拿書，從剩下6本書供選擇有6種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知：共有8×7×6=336種選法.(2)(想象你是個(gè)郵差，你要把四封信a,b,完成這件事分四步進(jìn)行，每一步投一封信，每一封信都有3種選擇，即每一封信都有3種投法.由分步計(jì)數(shù)原理知：共有3×3×3×3=3(3)(現(xiàn)在你是頒獎(jiǎng)嘉賓，拿著3個(gè)冠軍獎(jiǎng)牌給5個(gè)運(yùn)動(dòng)員)完成這件事分3步進(jìn)行，每一步頒一個(gè)獎(jiǎng)，都有5種不同的可能.由分步計(jì)數(shù)原理知：共有5×5×5=5(4)(這次你是教練，你帶著運(yùn)動(dòng)員去報(bào)名)完成這件事分5步進(jìn)行，每一步是運(yùn)動(dòng)員去報(bào)名，都有3種不同的可能.由分步計(jì)數(shù)原理知：共有3×3×3×3×3=3(不可假設(shè)讓比賽項(xiàng)目去挑運(yùn)動(dòng)員，否則同一運(yùn)動(dòng)員會出現(xiàn)報(bào)名多個(gè)比賽，53【點(diǎn)撥】①利用計(jì)數(shù)原理，要先明確你是要分類還是分步；②作類似題目可通過想象，想象自己是某個(gè)角色去“完成對應(yīng)的事項(xiàng)”，同時(shí)給到對應(yīng)事物“名稱”有助于你的思考.③問題一用到排列組合其實(shí)就是A83或C8【典題2】某廣場中心建造一個(gè)花圃，花圃分成5個(gè)部分(如圖)，現(xiàn)有4種不同顏色的花可以栽種，若要求每部分必須栽種一種顏色的花且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有________種．(用數(shù)字作答)【解析】你想象自己是園丁，現(xiàn)在去按要求栽種花，先給不同部分標(biāo)數(shù)字，按照①--⑤順序栽種，由于②④是否同色會影響到⑤的顏色選擇，故要分類討論，分兩類：一②、④同色第一步：①可用4種顏色；第二步：②可用剩下的3種顏色；第三步：③可用剩下的2種顏色；第四步：④與②同色，則1種顏色選擇；第五步：①、②、④使用了兩種顏色，則⑤還有2種顏色選擇，即4×3×2×1×2=48種方法；二②、④不同色第一步：①可用4種顏色；第二步：②可用剩下的3種顏色；第三步：③可用剩下的2種顏色；第四步：④與②不同色，則1種顏色選擇；第五步：①、②、④使用了三種顏色，則⑤還有1種顏色選擇；即4×3×2×1×1=24種方法；所以一共栽種的方法有48+24=72.故答案為72.【點(diǎn)撥】該類型“涂色問題”，要注意②與④是否同色的情況，因?yàn)樗鼤绊憿莸倪x擇個(gè)數(shù).鞏固練習(xí)1(★)有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報(bào)一科，有多少種不同的報(bào)名方法？【答案】812(★)有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？【答案】643(★)將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是【答案】180【解析】方法一：由題意，由于規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，A，D不同色，D有3種，C有2種涂法，有5×4×3×2=120種，A，D同色，D有4種涂法，C有3種涂法，有5×4×3=60種，∴共有180種不同的涂色方案．方法二：分步，比如先排BCD，兩兩不同色，有5×4×3=60種，再排A，只要與BC不同，有3種，故共180種4(★★)如圖，用4種不同的顏色給三棱柱ABC?A1B1C【答案】264【解析】∵圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，∴可以根據(jù)所涂得顏色的種類來分類，B，C1，A，B，C1，A，B，C1，A，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有24+192+48=264種不同的涂色方法．故選故答案為：264．5(★★)如圖，用四種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有【答案】600【解析】E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種方法，①當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有2種，(1)C若與F相同有C有1種方法，同時(shí)D有3種方法，(2)若C與F不同，則此時(shí)D有2種方法，故此時(shí)共有：4×3×2×1×2×(1×3+1×2)=240種方法；②當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有3種方法，(1)若C與F相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法，(2)若C與F不同，則D有1種方法，故此時(shí)共有：4×3×2×1×3×(1×2+1×1)=216種方法；③當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種方法，(1)若B與F相同，則C必須與A相同，同時(shí)D有2種方法；(2)若B不同于F，則B有1種方法，(Ⅰ)若C與F相同則C有1種方法同時(shí)D有2種方法；(Ⅱ)若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法；故此時(shí)共有：4×3×2×1×[1×1×2+1×(1×2+1×2)]=144種方法；綜上共有240+216+144=600種方法．【題型二】排列組合數(shù)的性質(zhì)【典題1】解方程(1)C9x【解析】(1)根據(jù)題意，若C9則有x=2x?3或x+(2x?3)=9，解得x=3或4；(2)根據(jù)題意，A8x=6A8x?2，則則有8!(8?x)!=6×8!(10?x)!，化簡可得：x2又由x≤8，且x∈N，則x=7，則方程的解為x=7【點(diǎn)撥】注意x的取值范圍.【典題2】化簡Am【解析】A=(?mm=(Cm+1m+1+====A【點(diǎn)撥】掌握組合數(shù)Cnm和排列數(shù)鞏固練習(xí)1(★)[多選題]下列等式正確的是()A．(n+1)AnmC．Cnm=A【答案】ABD【解析】∵(n+1)AAn+1m+1=∵n!n(n?1)=∵CAnmn!=n(n?1)(n?2)??(n?m+1)∵1n?m?An故選：ABD．2(★★)求證：kn?k【證明】k3(★★★)設(shè)m,n∈N(m+1)C【證明】對任意m∈①當(dāng)n=m時(shí)，左邊=(m+1)右邊=(m+1)C②假設(shè)n=k(k≥m)時(shí)命題成立，即(m+1)C當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(k+2)C右邊=(m+1)∵(m+1)Ck+3【題型三】排列組合解題策略方法1特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略遇到有特殊要求的元素或位置，可以先優(yōu)先考慮處理他們.【典題1】由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).【解析】由于個(gè)位必須是奇數(shù)，首位(十萬位)不能為0，有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排.(個(gè)位、首位屬于特殊位置，0屬于特殊元素)方法1從位置的角度入手，作法如下：先排個(gè)位有?31，然后排首位有?41，最后排其它位置有方法2從元素的角度入手，分2類，作法如下：(1)若五位奇數(shù)含0的，先排0有?31，再選個(gè)奇數(shù)排個(gè)位有?31，最后從4個(gè)數(shù)字中選3個(gè)排列(2)若五位奇數(shù)不含0的，選個(gè)奇數(shù)排個(gè)位有?31，再全排列剩下4個(gè)數(shù)有理得C31A4【典題2】有七名學(xué)生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？【解析】方法1(視學(xué)生甲為特殊元素，優(yōu)先處理)分兩步，先安排甲就位，有A51種可能，再安排其他6名學(xué)生，有A6方法2(視首位與末位為特殊位置，優(yōu)先處理)分兩步，先從其他6名學(xué)生中抽出2名學(xué)生在首位與末位就位(此時(shí)甲不可能坐在首位或末位)，有A62種可能，再安排剩下的5名學(xué)生就位，有A5【練習(xí)】6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法.【答案】504方法2相鄰元素捆綁策略若某幾個(gè)元素要求相鄰，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并一起視為一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意復(fù)合元素內(nèi)部也必須排列.【典題1】7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？【解析】由于甲乙相鄰、丙丁相鄰，可先將甲乙捆綁看成一個(gè)復(fù)合元素，丙丁捆綁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素共5個(gè)元素進(jìn)行全排列A55，同時(shí)對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A5【練習(xí)】小明跟父母、爺爺和奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐一排．若小明的父母都與他相鄰，則不同坐法的種數(shù)為.【答案】12方法3不相鄰問題插空策略若某些元素要求不能相鄰，則采取插空法.即先把沒有要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端.【典題1】一個(gè)晚會的節(jié)目有4個(gè)舞蹈，2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？【解析】分兩步進(jìn)行，第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A5第二步將4個(gè)舞蹈插入第一步排好的6個(gè)空檔(包括元素之間空檔和首尾兩個(gè)空檔)排列，共有種A6由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有A5【練習(xí)】七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是【答案】3600方法4元素相同問題隔板策略將n個(gè)相同的元素分成m份(n,m為正整數(shù))，每份至少一個(gè)元素，可以用m?1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n?1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為C【典題1】有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？【解析】題中說“10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額”，說明他們是沒有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個(gè)空隙.在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個(gè)班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有?91班1班2班5班6班7班3班4班【練習(xí)】將12個(gè)相同的小球分給甲、乙、丙三個(gè)人，其中甲至少1個(gè)，乙至少2個(gè)，丙至少3個(gè)，則共有多少種不同的分法？【答案】28方法5定序問題倍縮或空位插入策略對某些元素的順序要求是固定的，可用倍縮法或者空位法.【典題1】7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？【解析】(倍縮法)對7人全排列有A7甲乙丙三人排列一共有A3假設(shè)“7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人按甲乙丙順序”有x種排法，則后5種情況同理也是有x種排法，所以A3其實(shí)n個(gè)元素排列，其中m元素固定順序，則共有不同排法種數(shù)是An(空位法)設(shè)想7人坐在7把椅子上照相，那先讓除甲乙丙以外的4人就坐，共有A74種方法；其余的三個(gè)位置再安排甲乙丙就坐，由于他們順序一定，即只有1種坐法，則共有【練習(xí)】停車場劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種？【答案】C方法6排列組合混合問題先選后排策略【典題1】有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不同的裝法.【解析】第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C52種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有A解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?【練習(xí)】一個(gè)班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有種【答案】192方法7平均分組問題除法策略【典題1】將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會的四個(gè)不同場館服務(wù)，則有多少種不同的分配方案？【解析】①分組分組的時(shí)候，分四步取書得?6不妨給6位志愿者起名字a1我們先看兩組都是2人的情況，若第一步是a1a2，第二步是a它與(a3a4,那兩組1人的分法有?22C②分配再將4組人員分到4個(gè)不同場館去，共有A4故所有分配方案有：C6【點(diǎn)撥】①對于這些分組問題，一般思路是先分組再分配，由于4個(gè)場館是強(qiáng)調(diào)不一樣的，故后面要有分配A4②在遇到平均分組的時(shí)候，要注意“重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象”，采取“除法策略”，因?yàn)樗恰爸貜?fù)了倍數(shù)計(jì)數(shù)”，采取起名字的方法能讓你更好理解其中緣由！【練習(xí)1】將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則有多少種不同的分配方案？【答案】36【練習(xí)2】6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？【答案】15方法8環(huán)排問題線排策略一般地，n個(gè)不同元素作圓形排列，共有(n?1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有Cm【典題1】7【解析】圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余6人共有7?1！【練習(xí)】6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？【答案】240方法9分類討論策略【典題1】6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的分法？【解析】分三種情況討論：①三人每人2本，有C6(由于分組數(shù)目一樣，可先讓甲從6本書里拿2本C62，再讓乙在剩下的4本里拿2本C42，最后丙拿剩下的②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有C6(先給書“分組C61C52③三人中一人4本，其余2人各1本，有C6(先從6本書中抽出4本C64，再把它給甲乙丙其中1人C31，最后把剩下2本給剩下則有90+360+90=540種不同的分法.點(diǎn)評該題6本書是不一樣的，不能用“隔板法”，要分類討論.有點(diǎn)像處理定序問題的倍縮法.若題目只改一個(gè)字“6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有種不同的分法.”則就用“隔板法”得到答案為C5【典題2】已知a1,a2,…,a5為1,2,3,4,5的任意一個(gè)排列．則滿足：對于任意n∈{1,2,3,4,5}，都有【解析】根據(jù)題意，a1,a則a1若a1+a當(dāng)a1=5時(shí)，任意排列都符合題意，此時(shí)有當(dāng)a1=4時(shí)，只要a2當(dāng)a1=3時(shí)，a2=131524，共7個(gè)排列符合題意，則有24+18+7=49個(gè)滿足題意的排列．【練習(xí)】某學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門學(xué)科中選三門參加等級考，要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數(shù)是．【答案】18方法10正難則反總體淘汰策略若題目從其正面入手比較麻煩，可能分類太多或不確定，或不清楚是否出現(xiàn)“重復(fù)計(jì)數(shù)”，則可考慮從反面入手用“淘汰法”.【典題1】從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種？【解析】這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法.三個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)有兩種可能，所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有?53，只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有?5符合條件的取法共有?【典題2】6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法【解析】方法一分類討論①甲在最右端，有A5②乙在最左端，甲不在最右端，有A4③甲乙均在中間，有A4則一共有120+96+288=504種方法.(本題有兩個(gè)特殊元素，若采取分類討論的方法，則比較麻煩.)方法二淘汰法6人全排列，有A6甲在最左端，有A55種方法；乙在最右端，有甲在最左端且乙在最右端，有A4則一共有A66?A(利用集合中的veen圖，更便于理解.)【點(diǎn)撥】遇到這種由于限制條件有些多，導(dǎo)致分類太多或者不能很明確分類的時(shí)候，可以采取淘汰法！鞏固練習(xí)以下每題盡量用多種方法求解.1(★★)【多選題】為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周．則()A．某學(xué)生從中選3門，共有30種選法 B．課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法 C．課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法 D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法【答案】CD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，某學(xué)生從中選3門，6門中選3門共有C63=20對于B，課程“射”“御”排在不相鄰兩周，先排好其他的4門課程，有5個(gè)空位可選，在其中任選2個(gè)，安排“射”“御”，共有A44A對于C，課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，由捆綁法分析：將“禮”“書”“數(shù)”看成一個(gè)整體，與其他3門課程全排列，共有A33A對于D，課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，分2種情況討論，若課程“樂”排在最后一周，有A55種排法，若課程“樂”不排在最后一周，有C41C41A44種排法，則共有A55+故選：CD．2(★★)將6個(gè)數(shù)2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)(首位不為0)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．546 B．498 C．516 D．534【答案】B【解析】根據(jù)題意，將6個(gè)數(shù)2，0，1，9，20，19將任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)，由于0不能在首位，則有5×A55=600個(gè)8位數(shù)，其中“20”出現(xiàn)2次，即“2”與“0”相鄰且“2”在“0”之前的排法有A5“19”出現(xiàn)2次，即“1”與“9”相鄰且“1”在“9”之前的排法有4A“20”和“19”都出現(xiàn)2次的排法有A4則滿足題意的8位數(shù)有600－60－48+6=498個(gè)，故選：B．3(★★)A,B,C,D,E,F六名同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，決出第一到第六的名次．A,B,C三人去詢問比賽結(jié)果，裁判對A說：“你和B都不是第一名”；對B說：“你不是最差的”；對C說：“你比A,B的成績都好”，據(jù)此回答分析：六人的名次有種不同情況．【答案】180【解析】根據(jù)題意，B不是第一名，也不是最后一名，則B可以為第二、三、四、五名，據(jù)此分4種情況討論：①B為第二名，C必須為第一名，剩下4人，安排在第三、四、五、六名，有A4②B為第三名，若C為第一名，A有4種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有4×6=24種情況，若C為第二名，A有3種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有3×6=18種情況，此時(shí)有24+18=42種情況，③B為第四名，若C為第一名，A有4種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有4×6=24種情況，若C為第二名，A有3種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有3×6=18種情況，若C為第三名，A有2種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有2×6=12種情況，此時(shí)有24+18+12=54種情況，④B為第五名，若C為第一名，A有4種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有4×6=24種情況，若C為第二名，A有3種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有3×6=18種情況，若C為第三名，A有2種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有2×6=12種情況，若C為第四名，A有1種情況，剩下3人有A33=6種情況，此時(shí)有1×6=6種情況，此時(shí)有24+18+12+6=60種情況，則一共有24+42+54+60=180種情況；故答案為：180．4(★★★)設(shè)集合A={(x1,x2,x【答案】130【解析】由xi∈{－1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，由于|xi|只能取0或1，因此5個(gè)數(shù)值中有2個(gè)是0，3個(gè)是0和4個(gè)是0三種情況：①xi中有2個(gè)取值為0，另外3個(gè)從－1，1中取，共有方法數(shù)：?5②xi中有3個(gè)取值為0，另外2個(gè)從－1，1中取，共有方法數(shù)：?5③xi中有4個(gè)取值為0，另外1個(gè)從－1，1中取，共有方法數(shù)：?5∴總共方法數(shù)是：?5故答案為：130．5(★★★)一個(gè)含有6項(xiàng)的數(shù)列{an}滿足a且a6∈{4,6,8,10}，則符合這樣條件的數(shù)列{a【答案】496【解析】由題意，3=a1≤由于問題中的ai構(gòu)造數(shù)列bk則可將原問題看作4=b1＜b2此問題相當(dāng)于在4和q中間(共q－4－1=q－5個(gè)數(shù))取4個(gè)數(shù)從大到小構(gòu)成數(shù)列，共有Cq?5考慮到q－5∈{5，7，9，11}，故共有故答案為：496．6(★★★)在班級活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：(寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答)(1)三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？(2)四名男生相鄰有多少種不同的排法？(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？(4)甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？(甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等)(5)從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色朗誦，有多少種選派方法？(6)現(xiàn)在有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)男生就坐，恰好有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法共有多少種？【答案】（1）1440（2）3720（3）（4）840（5）432（6）480【解析】(1)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生全排列，有A4②，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，有A5則三名女生不能相鄰的排法有24×60=1440種；(2)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生看成一個(gè)整體，考慮4人間的順序，有A4②，將這個(gè)整體與三名女生全排列，有A4則四名男生相鄰的排法有24×24=576種；(3)根據(jù)題意，分2種情況討論：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A6②，女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A5則此時(shí)有5×5×120=3000種站法，則一共有720+3000=3720種站法；(4)根據(jù)題意，首先把7名同學(xué)全排列，共有A7甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A3要使得甲乙丙三個(gè)人按照一個(gè)高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有A77A3(5)根據(jù)題意，首先將4名男生和3名女生中各選出2人，有C42?C32=(6)根據(jù)題意，恰好有兩個(gè)空座位相鄰分2種情況：①，兩個(gè)相鄰空座位在兩邊，12或67上，第三個(gè)空座4種選擇；②，兩個(gè)相鄰空座位在中間，可能是23，34，45，56中的一個(gè)，第三個(gè)空位有3種選擇，4個(gè)男生全排列有A44=24種坐法，共(2×4+4×3)×24=4807