2021屆人教a版（理科數(shù)學）不等式推理與證明單元測試

專題13不等式、推理與證明

1.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是避二!.（避二!.M.618,

22

稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍

的長度之比也是史二L若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長

2

度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

答案B

方法一：如下圖所示.

依題意可知：

AC_75-1AB_V5-1

~CD~2'~BC~2

①腿長為105cm得，即C￡?105,

AC=避二!■CD>64.89,

2

AD=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以A8169.89.

②頭頂至脖子下端長度為26cm,

即AB<26,

Afi

BC=-i=—<42.07,

6-1

2

AC=AB+BC<6S.Q7,

Ar

CD=1—<110.15,

V5-1

2

AC+CCX68.07+110.15=178.22,

所以AD<178.22.

綜上，169.89<A￡X178.22.

Ai-頭頂

B-咽喉

c-肚臍

DL足底

故選B.

方法二：設人體脖子下端至肚臍的長為Xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則竺=至土土=避二1,得

xy+1052

xa42.07cm,y*5.15cm.又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm,所以其身高約為

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

名師點評本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想

解題.

2.2020年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重

大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問

題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.&點是平衡點，位

于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為地月距離為凡人點到月球的距離為r,

MMMr

根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，「滿足方程：/n\,+三=(衣+〃)得.設「=_,由于a的值

(R+r)rRR

3a34-3a4+a，

很小，因此在近似計算中——:_A-則/■的近似值為

(1+?)-

答案D

由a=二，得r=aR

R

M、M

因為M+言2=()請，

(H+r)2

M.M,“

所以^~!~7+,D，=(+a

/?2(l+a)2a'R-

a5+3a4+3a3

即土四…)一備1=?3a3,

(l+?)2

名師點評由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜

式子的變形出錯.

3.若a>b,則

A.ln(?-Z>)>0B.39

C.蘇田〉。D.\a\>\b\

答案C

取a=2,b=l,滿足a>b，ln(a-6)=0,如A錯，排除A；因為9=3">3A=3，知B錯，排除B；

取4=1,力=-2,滿足。>力，1=同<網(wǎng)=2,知D錯，排除D,因為耗函數(shù)y=/是增函數(shù)，a>b,

所以故選c.

名師點評本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、募函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運

算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

4.若羽y滿足|x|Kl-%且宏-1,則3x+y的最大值為

A.-7B.1

C.5D.7

答案C

—1<y

由題意〈/?，作出可行域如圖陰影部分所示.

y-1<x<l-y

設z=3x+y,y=z—3%,

當直線4：y=Z-3x經(jīng)過點（2,-1）時,Z取最大值5.故選C.

名師點評本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大，注重「基礎

知識、基本技能的考查.

5E,

5.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足“2-如=-lgU，其

2七2

中星等為，心的星的亮度為雙（上1,2）.已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與

天狼星的亮度的比值為

A.1O10-1B.10.1

C.IglO.lD.10J°i

答案A

兩顆星的星等-與亮度滿足嗎一肛=5尼務令?=-1.45,町=-26.7.

101

Ig^I-=|.(w2-/n])=|(-1.45+26.7)=10.1,^-=1O.

故選：A.

名師點評本題以天文學問題為背景，考查考生的數(shù)學應用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對

數(shù)運算.

x+y-2<0,

x—y+220,

6.〃設變量MV滿足約束條件v二，則目標函數(shù)z=-4x+y的最大值為

工…一1,

y…-1,

A.2B.3

C.5D.6

答案D

已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.

目標函數(shù)的幾何意義是直線y=4x+z在y軸上的截距，-

故目標函數(shù)在點A處取得最大值.

x-y+2=0,

由\得4

尤=-1

所以Zmax=-4x(-l)+l=5.

故選C.

X=-1

名師點評線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實線還是虛線，其

次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離

等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值或范圍.即：一畫，二移，三求.

7.設xeR,則“爐一5%<0”是的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

化簡不等式，可知0<x<5推不出卜―1|<1,

由,一1|<1能推出0<x<5,

故"X2-5X<()”是“IxT1<1"的必要不充分條件，

故選B.

名師點評本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件.

x-3y+4>0

8.若實數(shù)滿足約束條件(3x—y—4K0,則z=3x+2)，的最大值是

x+y20

A.-1B.1

C.10D.12

答案C

畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。

31

平移直線），=--x+-z可知，當該直線經(jīng)過點A時，z取得最大值.

22

x-3y+4=0x=2

聯(lián)立兩宜線方程可得<解得《

3x—y-4=0y=2

即點A坐標為A（2,2）,

所以Zmax=3x2+2x2=10.故選C.

名師點評解答此類問題，要求作圖要準確，觀察要仔細.往往由于由于作圖欠準確而影響答案的準確程度，

也有可能在解方程組的過程中出錯.

9.若。>0,/?>0,則是"出?W4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

當a>0,b>0時，4+822必當且僅當a=〃時取等號，則當a+/?W4時，有2旅4“+644,

解得"W4,充分性成立：

當。=1,匕=4時，滿足原W4,但此時。+匕=5>4,必要性不成立，綜上所述，是

的充分不必要條件.

名師點評易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷-失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”,

通過特取6的值，從假設情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

10.已知集合4={%卜2_%_2>0},則44=

A.1%|—1<x<21B.|x|-1<x<21

C.{x|x<-l}U{x|x>2}D.{x|xW-l}U{x|x22}

答案B

解不等式--x-2>0得x<-l或x>2,所以4={x[x<-l或x>2},所以可以求得

條4={x|—lWxW2},故選B.

11.2020年高考全國卬理數(shù)設a=k>go2（）.3,。=log,0.3,則

A.a-\-h<ab<0B.ab<a-vh<0

C.a+b<O<abD.ab<O<a+b

答案B

,:a=log（）20.3,b=log,0.3,二,=log030.2,—=log032,=log030.4,

abab

...°V，；V1,即0<v1，又?.,Q>0,bV0，??.Qb<0，即abVa+bV0，故選B.

x+yK5,

2x-y<4,

12.設變量尤,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x+5y的最大值為

-x+y<L

y20,

A.6B.19

C.21D.45

答案C

x+y<5,

2x-y<4,“,

繪制不等式組《表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A

一1+y<L

y>0

處取得最大值，聯(lián)立直線方程得可得點A的坐標為A（2,3）,據(jù)此可知目標函數(shù)的最大

值為：znux=3x+5y=3*2+5x3=21.本題選擇C選項?

名師點評求線性目標函數(shù)z="x+勿3厚0）的最值，當b>0時，直線過可行域且在），軸上截距最大時,

z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。寒?7<0時，，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小,

在y軸上截距最小時，z值最大.

13.設xeR,則“|x—L|<L”是<1”的

22

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

絕對值不等式卜一3<；<=>-\<x-\<\o0<x<l,

由/<1QX<1,

據(jù)此可知卜-1|<:是/<1的充分而不必要條件.

故選A.

名師點評本題主要考查絕對值不等式的解法、充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能

力和計算求解能力.

14.設集合A={（x,y）|x—y21,奴+y>4,x—dy42},則

A.對任意實數(shù)a,（2,1）eAB.對任意實數(shù)a,（2,1）eA

3

C.當且僅當a<0時，（2,1）gAD.當且僅當二時，（2,1）任A

答案D

點（2,1）在直線x—y=1上，ax+y=4表示過定點（0,4）,斜率為-a的直線，當awO時，x—ay=2

表示過定點（2,0）,斜率為工的直線，不等式x-ay<2表示的區(qū)域包含原點，不等式ax+y>4表

a

示的區(qū)域不包含原點.宜線ax+y=4與直線1-紗=2互相垂直.顯然當直線ax+y=4的斜率

一。>0時，不等式ax+y>4表示.的區(qū)域不包含點（2,1）,故排除A；點（2,1）與點（0,4）連

333

線的斜率為——，當一。<——,即—時，ax+y>4表小的區(qū)域包含點（2,1）,此時％-ayv2

33

表示的區(qū)域也包含點（2,1）,故排除B；當直線依+y=4的斜率一。二一/，即。=/時，依+y>4

表示的區(qū)域不包含點（2,1）,故排除C,故選D.

名師點評本題主要考查線性規(guī)劃問題，考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及邏輯推理能力

和運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學運算.

15.設小y、z為正數(shù)，且2"=3，v=5z,貝ij

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

答案D

令2*=3'=5、=/(無>1),則x=log2女，y-log3k,z-log5k

.2x21gAlg3lg97

則2x>3y,

3ylg231gzlg8

2x21gklg51g25,,..__j,

一=—----=——<1,則2x<5z,故選D.

5zlg251g%lg32

名師點評對于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù)，再用這個常數(shù)表示出對應的x,y,z,

通過作差或作商進行比較大小.對數(shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則，尤其是換底公式以及0與

I的對數(shù)表示.

2x+3y-3<0

16.設x,y滿足約束條件，2x-3y+320,則z=2x+y的最小值是

y+3>0

A.-15B.-9

C.1D.9

答案A

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，目標函數(shù)即：y=-2x+z,其中z表示斜率為

%=—2的直線系與可行域有交點時直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合可得目標函數(shù)在點5(-6,-3)處取得最小

值，Z*=2x(-6)+(-3)=-15,故選A.

名師點評求線性目標函數(shù)z=ax+外("#))的最值，當h>0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時,

z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當〃<0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小,

在)，軸上截距最小時，z值最大.

17.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位

良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知

道我的成績.根據(jù)以上信息，則

A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績

答案D

由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀?人良好，則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的成績則知道自

己的.成績，丁看到甲的成績則知道自己的成績，即乙、丁可以知道自己的成績.故選D.

名師點評合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助

猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合

乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確（前提和推理形式都正確

的前提下）.

x<3,

18.若x,y滿足+則x+2）?的最大值為

,Wx,

A.1B.3

C.5D.9

答案D

如圖，畫出可行域，

z=x+2y表示斜率為一上的一組平行線，當z=x+2y過點C（3,3）時，目標函數(shù)取得最大值

=3+2x3=91故選D.

名師點評本題主要考查簡單的線性規(guī)劃.解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將

目標函數(shù)賦予幾何意義.求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫、二移、三求.常見的目標函數(shù)類型有:

(1)截距型：形如Z=◎+勿.求這類目標函數(shù)的最值時常將函數(shù)Z=?+切轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：

H77

y=--x+-,通過求直線的截距三的最值間接求出z的最值：(2)距離型：形如

'bbb

z=(x—a)2+(y—媾；⑶斜率型：形如z=￡^,而本題屬于截距形式.

X—CL

2x+y>0,

x+2y—2>0,

19.設變量滿足約束條件〈八則目標函數(shù)z=x+>的最大值為

x<0,

y?3,

2

A.—B.1

3

3

C.-D.3

2

答案D

作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，由2=%+>得y=-x+z,作出直線〉=-X,平移

使之經(jīng)過可行域，觀察可知，最優(yōu)解在5(0,3)處取得，故Zmax=0+3=3,選D.

名師點評線性規(guī)劃問題有三類：①簡單的線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標函數(shù)的最值，有

時考查斜率型或距離型目標函數(shù)；②線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個數(shù)求參數(shù)的取值范圍:

③線性規(guī)劃的實際應用.

x>0

20.若x,y滿足約束條件,x+y—3N0,則z=x+2y的取值范圍是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]

C.16,+oo)D.[4,+oo)

答案D

如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點(2,1)時取最小值4,無最大值，選D.

名師點評本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應.的可行域，作圖時，可將不等式

Ax+By+CNO轉(zhuǎn)化為y〈履+人(或yN"+匕)，“W”取下方，“之”取上方，并明確可行域?qū)?/p>

是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、

兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法、

值域范圍.

21.2020年高考山東理數(shù)若a>b>0,且制?=1,則下列不等式成立的是

1bb

A.a+—<一<log2(o+Z?)B.log2(?+/?)<a+—

brT

1b1b

log(a+/7)

C.Q4—<log2(<7+/?)<—2<a+—<一

bTbT

答案B

因為a>匕>0,且劭=1,所以a>l,0<b<l,；.，<l,log2(a+8)>log22?^=l,

“+■!■11

2">〃+—>a+0=>〃+—>log2(a+。)，所以選B.

hb

名師點評比較幕或?qū)?shù)值的大小,若幕的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單

調(diào)性進行比較，若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.

22.已知奇函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若。=g(—log25.1),b=g(2。",c=g⑶，則a,b,

c的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.c<b<a

C.h<a<cD.b<c<a

答案c

因為/(X)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，所以當x>0時，/W>o,

08

從而g(x)=對(x)是R上的偶函數(shù),且在［0,+8)上是增函數(shù)，。=g(-log25.1)=g(log25.1),2-<2，

又4<5.1<8,則2<log25.1<3,

所?以0<208<log,5.1<3,g(2°$)<g(k)g25.1)<g(3),

所以Z?<a<c,故選C.

名師點評比較大小是高考的常見題型，指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等進行.大小比較，要特別關(guān)注靈活利用函數(shù)

的奇偶性和單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合進行大小比較或解不等式.

23.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但

南北朝時期的官員獨孤信的卬信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多

邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有

頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱

長為.(本題第一空2分，第二空3分.)

答案26,V2-1

由圖可知第一層(包括上底面)與第三層(包括下底面)各有9個面，計18個面，第二層共有8個面,

所以該半正多面體共有18+8=26個面.

如圖，設該半正多面體的棱長為％,則43=3E=x,延為CB與EE交于點G,延長交正方體棱

于H，由半正多面體對稱性可知，△BGE為等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,:.GH=2x^x+x=^+l)x=I.

22

1

X--j=——=A/2-1,

V2+1

即該半正多面體棱長為血-1.

名師點評本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡

單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形.

24.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元

/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達

至U120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當尸10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則%的最大值為

答案①130；②15.

（1）x=10.顧客一次購買草壽和西瓜各一盒，需要支付（60+80）—10=130元.

（2）設顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，

y<120元時，李明得到的金額為yx80%，符合要求.

y>120元時，有（j-x）x80%>yx70%恒成立，即8（y—x）N7y,x4卷即｛=15元.

8\0/min

所以X的最大值為15.

名師點評本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學的應用意識、數(shù)學式子變形與運算求解能力，以實際生

活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身功的數(shù)學，考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

(x+l)(2y+l)

25.設尤>0,y>0,x+2y=5,則而的最小值為.

答案4百

(x+l)(2y+1)_2孫+2y+x+l_2肛+6

方法一:

\fxyy[xyy[xy

因為x>O,y>0,x+2y=5,

所以x+2y=5N2y/x?2y,

即J而42,0<肛〈竺，當且僅當x=2y=3時取等號成立.

282

又因為2而+—5=222而?二=46，當且僅當2而=搭，即9=3時取等號，結(jié)合

g\y/xyE

25(x+l)(2y+l)

孫《不可知，孫可以取至U3,故----笈----的最小值為46.

方法二：；x>0,y>0,x+2y=5,

.3〉0,生畢他=皿第左1=半^2而+名上2/=4技

yjxygV-ryg

當且僅當取=3時等號成立，

(x+l)(2y+l),廣

故~Sxy的最小值為4V5.

名師點評使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立.

x—2y—2<0

26.若x,y滿足約束條件■x-y+120,則z=3x+2y的最大值為

”0

答案6

x-2y-2<0

根據(jù)題中所給的約束條件<x-y+120，畫出其對應的可行域，如圖所示：

y<0

當直線過點3時，z取得最大值，

x-2v-2=0

由，解得3（2,0）,此時Zmax=3X2+0=6,故答案為6.

名師點評該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可

行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷Z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷咖個點是

最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種：斜

率型、截距型、距離型，根據(jù)不同的形式，應用相應的方法求解.

x+2y-5>0,

27.若％,y滿足約束條件〈元一2y+320，則2=%+、的最大值為.

%—540,

答案9

x+2y-5>0,

不等式組卜—2y+3Z0,表示的可行域是以A（5,4）,B（1,2）,C（5,0）為頂點的三角形區(qū)域，如下圖

x—540

所示，目標函數(shù)2=1+丁的最大值必在頂點處取得，易知當X=5,y=4時，Zmax=9.

名師點評線性規(guī)劃問題是高考中?？伎键c，主要以選擇或填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件

求目標函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.

x-y>Q,

28.若滿足約束條件,2x+y46,則z=x+3y的最小值是,最大值是.

x+y>2,

答案28

由題可得，該約束條件表示的平面區(qū)域是以（2,2）,（1,1）,（4,-2）為頂點的三角形及其內(nèi)部

區(qū)域，如圖所示.由線性規(guī)劃的知識可知，目標函數(shù)z=x+3y在點（2,2）處取得最大值，在點（4,

-2）處取得最小值，則最小值z而n=4—6=—2,最大值Zm”=2+6=8.

名師點評本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、運算求解能力，考查的數(shù)學核心

素養(yǎng)是數(shù)學運算、直觀想象.

29.若%,y滿足x+則2y-x的最小值是.

答案3

作出可行域，如圖，則直線z=2y—x過點41,2）時，z取最小值3.

名師點評線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：

一、準確無.誤地作出可行域；

二、畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;

三、?般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.

解本題時，先作出可行域，再根據(jù)目標函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.

30.已知a,0eR,且。一3萬+6=0,則2"+、■的最小值為.

答案；

由a-3b+6=0可知a-3b=-6,且2a+^=2a+2~3b,

因為對于任意X，2*>0恒成立，結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得：

2。+2-3b22X，2。乂2-3〃=2xk=不當且僅當卜-3b=6，即位=-1時等號成立.

c11

綜上可得2。+誕的最小值為了

名師點評利用基本不等式求最值時，要靈活運用以下兩個公式：

①a,0€&/+〃22而，當且僅當時取等號；

②a,b€R+，a+b>2y/ab，當且僅當a=。時取等號.解題時要注意公式的適用條件、等號成立的

條件，同時求最值時注意“1的妙用”.

31.在小、/記。中，角4,民。所對的邊分別為4反0,ZABC=\20°,Z4BC的平分線交AC于點。，且比>=1,

則4a+c的最小值為.

答案9

由題意可知，S“ABC=S&ABD+SABC。,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得

|acsinl20°=x1xsin60°+x1xsin60°,化簡得ac=Q+c.+；=1,

fl1\c4alc_4a

因此4a+c=（4a+c比+。=5+公+工25+24?工=9,

當且僅當c=2a=3時取等號，則4a+c的最小值為9.

名師點評在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即

條件要求字母為正數(shù)）、“定”不等式的另一邊必須為定值）、”等（等號取得的條件）的條件才能應用,

否則會出現(xiàn)錯誤.

x+2y<1,

32.設x,y滿足約束條件（2x+yN—l,則z=3x-2y的最小值為.

x-y<0,

答案一5

不等式組表示的可行域如圖所示,

3z

由z=3x—2y得y=jx—：在y軸上的截距越大，z就越小，

所以，當直線z=3x-2y過點A時，z取得最小值，

所以z的最小值為3x(—1)—2x1=—5.

名師點評本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有：①直線型，轉(zhuǎn)化成斜截式比較

截距，要注意z前面的系數(shù)為負時，截距越大，z值越?。虎诜质叫?，其幾何意義是已知點與未知點

的斜率；③平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應該是距離的平方；④絕對值型，

轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點到直線的距離.

X-j>0

33.2020年高考全國HI理數(shù)若x,y滿足約束條件，x+y-2<0,則z=3x-4y的最小值為.

y>0

答案—1

作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.

目標函數(shù)即y=3-士1z,易知直線y=3i在y軸上的截距最大時，目標函數(shù)z=3x-4y取得

4444

最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標函數(shù)z=3x—4y在點4（1,1）處取得最小值，為Zmin=3xl—4xl=—l.

名師點評求線性目標函數(shù)z=or+〃y（a厚0）的最值，當6>0時，直線過可行域且在y軸上的截距最大時,

z值最大，在y軸上的截距最小時，z值最??；當〃<0時，直線過可行域且在y軸上的截距最大時，z

值最小，在y軸上的截距最小時，z值最大.

a4+4/>4+1

34.若a,bwR,ab>。,則的最小值為.

ab

答案4_______

上叫12.4"力:1=4仍+_；_?242，=4,（前一個等號成立的條件是4=2〃，后一

ababab\ab

個等號成立的條件是=兩個等號可以同時成立，當且僅當/=也22=立時取等號）

224

名師點評利用均值不等式求最值時要靈活運用以下兩個公式：①。/€氏。2+82當且僅當

時取等號；②q/eR+,a+b>2y^b.當且僅當。=b時取等號.解題時要注意公式的適用

條件、等號成立的條件，同時求最值時注意“I的妙用”.

35.三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點A,的橫、縱坐標分別為第i名

工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點