2021屆人教a版（理科數(shù)學(xué)）不等式推理與證明單元測(cè)試

專題13不等式、推理與證明

1.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是避二!.（避二!.M.618,

22

稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍

的長(zhǎng)度之比也是史二L若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)

2

度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

答案B

方法一：如下圖所示.

依題意可知：

AC_75-1AB_V5-1

~CD~2'~BC~2

①腿長(zhǎng)為105cm得，即C￡?105,

AC=避二!■CD>64.89,

2

AD=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以A8169.89.

②頭頂至脖子下端長(zhǎng)度為26cm,

即AB<26,

Afi

BC=-i=—<42.07,

6-1

2

AC=AB+BC<6S.Q7,

Ar

CD=1—<110.15,

V5-1

2

AC+CCX68.07+110.15=178.22,

所以AD<178.22.

綜上，169.89<A￡X178.22.

Ai-頭頂

B-咽喉

c-肚臍

DL足底

故選B.

方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長(zhǎng)為Xcm,肚臍至腿根的長(zhǎng)為ycm,則竺=至土土=避二1,得

xy+1052

xa42.07cm,y*5.15cm.又其腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,所以其身高約為

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想

解題.

2.2020年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重

大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)

題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.&點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位

于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為地月距離為凡人點(diǎn)到月球的距離為r,

MMMr

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，「滿足方程：/n\,+三=(衣+〃)得.設(shè)「=_,由于a的值

(R+r)rRR

3a34-3a4+a，

很小，因此在近似計(jì)算中——:_A-則/■的近似值為

(1+?)-

答案D

由a=二，得r=aR

R

M、M

因?yàn)镸+言2=()請(qǐng)，

(H+r)2

M.M,“

所以^~!~7+,D，=(+a

/?2(l+a)2a'R-

a5+3a4+3a3

即土四…)一備1=?3a3,

(l+?)2

名師點(diǎn)評(píng)由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是復(fù)雜

式子的變形出錯(cuò).

3.若a>b,則

A.ln(?-Z>)>0B.39

C.蘇田〉。D.\a\>\b\

答案C

取a=2,b=l,滿足a>b，ln(a-6)=0,如A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?=3">3A=3，知B錯(cuò)，排除B；

取4=1,力=-2,滿足。>力，1=同<網(wǎng)=2,知D錯(cuò)，排除D,因?yàn)楹暮瘮?shù)y=/是增函數(shù)，a>b,

所以故選c.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、募函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)

算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

4.若羽y滿足|x|Kl-%且宏-1,則3x+y的最大值為

A.-7B.1

C.5D.7

答案C

—1<y

由題意〈/?，作出可行域如圖陰影部分所示.

y-1<x<l-y

設(shè)z=3x+y,y=z—3%,

當(dāng)直線4：y=Z-3x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-1）時(shí),Z取最大值5.故選C.

名師點(diǎn)評(píng)本題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大，注重「基礎(chǔ)

知識(shí)、基本技能的考查.

5E,

5.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足“2-如=-lgU，其

2七2

中星等為，心的星的亮度為雙（上1,2）.已知太陽(yáng)的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽(yáng)與

天狼星的亮度的比值為

A.1O10-1B.10.1

C.IglO.lD.10J°i

答案A

兩顆星的星等-與亮度滿足嗎一肛=5尼務(wù)令?=-1.45,町=-26.7.

101

Ig^I-=|.(w2-/n])=|(-1.45+26.7)=10.1,^-=1O.

故選：A.

名師點(diǎn)評(píng)本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)

數(shù)運(yùn)算.

x+y-2<0,

x—y+220,

6.〃設(shè)變量MV滿足約束條件v二，則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值為

工…一1,

y…-1,

A.2B.3

C.5D.6

答案D

已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.

目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線y=4x+z在y軸上的截距，-

故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值.

x-y+2=0,

由\得4

尤=-1

所以Zmax=-4x(-l)+l=5.

故選C.

X=-1

名師點(diǎn)評(píng)線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其

次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離

等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍.即：一畫，二移，三求.

7.設(shè)xeR,則“爐一5%<0”是的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

化簡(jiǎn)不等式，可知0<x<5推不出卜―1|<1,

由,一1|<1能推出0<x<5,

故"X2-5X<()”是“IxT1<1"的必要不充分條件，

故選B.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來(lái)判斷條件.

x-3y+4>0

8.若實(shí)數(shù)滿足約束條件(3x—y—4K0,則z=3x+2)，的最大值是

x+y20

A.-1B.1

C.10D.12

答案C

畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。

31

平移直線），=--x+-z可知，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.

22

x-3y+4=0x=2

聯(lián)立兩宜線方程可得<解得《

3x—y-4=0y=2

即點(diǎn)A坐標(biāo)為A（2,2）,

所以Zmax=3x2+2x2=10.故選C.

名師點(diǎn)評(píng)解答此類問(wèn)題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，

也有可能在解方程組的過(guò)程中出錯(cuò).

9.若。>0,/?>0,則是"出?W4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

當(dāng)a>0,b>0時(shí)，4+822必當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)a+/?W4時(shí)，有2旅4“+644,

解得"W4,充分性成立：

當(dāng)。=1,匕=4時(shí)，滿足原W4,但此時(shí)。+匕=5>4,必要性不成立，綜上所述，是

的充分不必要條件.

名師點(diǎn)評(píng)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷-失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”,

通過(guò)特取6的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

10.已知集合4={%卜2_%_2>0},則44=

A.1%|—1<x<21B.|x|-1<x<21

C.{x|x<-l}U{x|x>2}D.{x|xW-l}U{x|x22}

答案B

解不等式--x-2>0得x<-l或x>2,所以4={x[x<-l或x>2},所以可以求得

條4={x|—lWxW2},故選B.

11.2020年高考全國(guó)卬理數(shù)設(shè)a=k>go2（）.3,。=log,0.3,則

A.a-\-h<ab<0B.ab<a-vh<0

C.a+b<O<abD.ab<O<a+b

答案B

,:a=log（）20.3,b=log,0.3,二,=log030.2,—=log032,=log030.4,

abab

...°V，；V1,即0<v1，又?.,Q>0,bV0，??.Qb<0，即abVa+bV0，故選B.

x+yK5,

2x-y<4,

12.設(shè)變量尤,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為

-x+y<L

y20,

A.6B.19

C.21D.45

答案C

x+y<5,

2x-y<4,“,

繪制不等式組《表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A

一1+y<L

y>0

處取得最大值，聯(lián)立直線方程得可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（2,3）,據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大

值為：znux=3x+5y=3*2+5x3=21.本題選擇C選項(xiàng)?

名師點(diǎn)評(píng)求線性目標(biāo)函數(shù)z="x+勿3厚0）的最值，當(dāng)b>0時(shí)，直線過(guò)可行域且在），軸上截距最大時(shí),

z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最?。寒?dāng)/7<0時(shí)，，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小,

在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

13.設(shè)xeR,則“|x—L|<L”是<1”的

22

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

絕對(duì)值不等式卜一3<；<=>-\<x-\<\o0<x<l,

由/<1QX<1,

據(jù)此可知卜-1|<:是/<1的充分而不必要條件.

故選A.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法、充分不必要條件的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能

力和計(jì)算求解能力.

14.設(shè)集合A={（x,y）|x—y21,奴+y>4,x—dy42},則

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,（2,1）eAB.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,（2,1）eA

3

C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2,1）gAD.當(dāng)且僅當(dāng)二時(shí)，（2,1）任A

答案D

點(diǎn)（2,1）在直線x—y=1上，ax+y=4表示過(guò)定點(diǎn)（0,4）,斜率為-a的直線，當(dāng)awO時(shí)，x—ay=2

表示過(guò)定點(diǎn)（2,0）,斜率為工的直線，不等式x-ay<2表示的區(qū)域包含原點(diǎn)，不等式ax+y>4表

a

示的區(qū)域不包含原點(diǎn).宜線ax+y=4與直線1-紗=2互相垂直.顯然當(dāng)直線ax+y=4的斜率

一。>0時(shí)，不等式ax+y>4表示.的區(qū)域不包含點(diǎn)（2,1）,故排除A；點(diǎn)（2,1）與點(diǎn)（0,4）連

333

線的斜率為——，當(dāng)一。<——,即—時(shí)，ax+y>4表小的區(qū)域包含點(diǎn)（2,1）,此時(shí)％-ayv2

33

表示的區(qū)域也包含點(diǎn)（2,1）,故排除B；當(dāng)直線依+y=4的斜率一。二一/，即。=/時(shí)，依+y>4

表示的區(qū)域不包含點(diǎn)（2,1）,故排除C,故選D.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及邏輯推理能力

和運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

15.設(shè)小y、z為正數(shù)，且2"=3，v=5z,貝ij

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

答案D

令2*=3'=5、=/(無(wú)>1),則x=log2女，y-log3k,z-log5k

.2x21gAlg3lg97

則2x>3y,

3ylg231gzlg8

2x21gklg51g25,,..__j,

一=—----=——<1,則2x<5z,故選D.

5zlg251g%lg32

名師點(diǎn)評(píng)對(duì)于連等問(wèn)題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個(gè)常數(shù)，再用這個(gè)常數(shù)表示出對(duì)應(yīng)的x,y,z,

通過(guò)作差或作商進(jìn)行比較大小.對(duì)數(shù)運(yùn)算要記住對(duì)數(shù)運(yùn)算中常見(jiàn)的運(yùn)算法則，尤其是換底公式以及0與

I的對(duì)數(shù)表示.

2x+3y-3<0

16.設(shè)x,y滿足約束條件，2x-3y+320,則z=2x+y的最小值是

y+3>0

A.-15B.-9

C.1D.9

答案A

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)即：y=-2x+z,其中z表示斜率為

%=—2的直線系與可行域有交點(diǎn)時(shí)直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)5(-6,-3)處取得最小

值，Z*=2x(-6)+(-3)=-15,故選A.

名師點(diǎn)評(píng)求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+外("#))的最值，當(dāng)h>0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí),

z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)〃<0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小,

在)，軸上截距最小時(shí)，z值最大.

17.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位

良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知

道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則

A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

答案D

由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀?人良好，則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的成績(jī)則知道自

己的.成績(jī)，丁看到甲的成績(jī)則知道自己的成績(jī)，即乙、丁可以知道自己的成績(jī).故選D.

名師點(diǎn)評(píng)合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助

猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合

乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確（前提和推理形式都正確

的前提下）.

x<3,

18.若x,y滿足+則x+2）?的最大值為

,Wx,

A.1B.3

C.5D.9

答案D

如圖，畫出可行域，

z=x+2y表示斜率為一上的一組平行線，當(dāng)z=x+2y過(guò)點(diǎn)C（3,3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值

=3+2x3=91故選D.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將

目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義.求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫、二移、三求.常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)類型有:

(1)截距型：形如Z=◎+勿.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)常將函數(shù)Z=?+切轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：

H77

y=--x+-,通過(guò)求直線的截距三的最值間接求出z的最值：(2)距離型：形如

'bbb

z=(x—a)2+(y—媾；⑶斜率型：形如z=￡^,而本題屬于截距形式.

X—CL

2x+y>0,

x+2y—2>0,

19.設(shè)變量滿足約束條件〈八則目標(biāo)函數(shù)z=x+>的最大值為

x<0,

y?3,

2

A.—B.1

3

3

C.-D.3

2

答案D

作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，由2=%+>得y=-x+z,作出直線〉=-X,平移

使之經(jīng)過(guò)可行域，觀察可知，最優(yōu)解在5(0,3)處取得，故Zmax=0+3=3,選D.

名師點(diǎn)評(píng)線性規(guī)劃問(wèn)題有三類：①簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標(biāo)函數(shù)的最值，有

時(shí)考查斜率型或距離型目標(biāo)函數(shù)；②線性規(guī)劃逆向思維問(wèn)題，給出最值或最優(yōu)解個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍:

③線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用.

x>0

20.若x,y滿足約束條件,x+y—3N0,則z=x+2y的取值范圍是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]

C.16,+oo)D.[4,+oo)

答案D

如圖，可行域?yàn)橐婚_(kāi)放區(qū)域，所以直線過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí)取最小值4,無(wú)最大值，選D.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，首先由不等式組作出相應(yīng).的可行域，作圖時(shí)，可將不等式

Ax+By+CNO轉(zhuǎn)化為y〈履+人(或yN"+匕)，“W”取下方，“之”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的

是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、

兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、

值域范圍.

21.2020年高考山東理數(shù)若a>b>0,且制?=1,則下列不等式成立的是

1bb

A.a+—<一<log2(o+Z?)B.log2(?+/?)<a+—

brT

1b1b

log(a+/7)

C.Q4—<log2(<7+/?)<—2<a+—<一

bTbT

答案B

因?yàn)閍>匕>0,且劭=1,所以a>l,0<b<l,；.，<l,log2(a+8)>log22?^=l,

“+■!■11

2">〃+—>a+0=>〃+—>log2(a+。)，所以選B.

hb

名師點(diǎn)評(píng)比較幕或?qū)?shù)值的大小,若幕的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單

調(diào)性進(jìn)行比較，若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識(shí)點(diǎn)較多，需靈活利用

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.

22.已知奇函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若。=g(—log25.1),b=g(2。",c=g⑶，則a,b,

c的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.c<b<a

C.h<a<cD.b<c<a

答案c

因?yàn)?(X)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí)，/W>o,

08

從而g(x)=對(duì)(x)是R上的偶函數(shù),且在［0,+8)上是增函數(shù)，。=g(-log25.1)=g(log25.1),2-<2，

又4<5.1<8,則2<log25.1<3,

所?以0<208<log,5.1<3,g(2°$)<g(k)g25.1)<g(3),

所以Z?<a<c,故選C.

名師點(diǎn)評(píng)比較大小是高考的常見(jiàn)題型，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小比較要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等進(jìn)行.大小比較，要特別關(guān)注靈活利用函數(shù)

的奇偶性和單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行大小比較或解不等式.

23.中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但

南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的卬信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多

邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有

頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱

長(zhǎng)為.(本題第一空2分，第二空3分.)

答案26,V2-1

由圖可知第一層(包括上底面)與第三層(包括下底面)各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面,

所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.

如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為％,則43=3E=x,延為CB與EE交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)交正方體棱

于H，由半正多面體對(duì)稱性可知，△BGE為等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,:.GH=2x^x+x=^+l)x=I.

22

1

X--j=——=A/2-1,

V2+1

即該半正多面體棱長(zhǎng)為血-1.

名師點(diǎn)評(píng)本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)

單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵.立體幾何平面化，無(wú)論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形.

24.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元

/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)

至U120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)尸10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則%的最大值為

答案①130；②15.

（1）x=10.顧客一次購(gòu)買草壽和西瓜各一盒，需要支付（60+80）—10=130元.

（2）設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為y元，

y<120元時(shí)，李明得到的金額為yx80%，符合要求.

y>120元時(shí)，有（j-x）x80%>yx70%恒成立，即8（y—x）N7y,x4卷即｛=15元.

8\0/min

所以X的最大值為15.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力，以實(shí)際生

活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身功的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

(x+l)(2y+l)

25.設(shè)尤>0,y>0,x+2y=5,則而的最小值為.

答案4百

(x+l)(2y+1)_2孫+2y+x+l_2肛+6

方法一:

\fxyy[xyy[xy

因?yàn)閤>O,y>0,x+2y=5,

所以x+2y=5N2y/x?2y,

即J而42,0<肛〈竺，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3時(shí)取等號(hào)成立.

282

又因?yàn)?而+—5=222而?二=46，當(dāng)且僅當(dāng)2而=搭，即9=3時(shí)取等號(hào)，結(jié)合

g\y/xyE

25(x+l)(2y+l)

孫《不可知，孫可以取至U3,故----笈----的最小值為46.

方法二：；x>0,y>0,x+2y=5,

.3〉0,生畢他=皿第左1=半^2而+名上2/=4技

yjxygV-ryg

當(dāng)且僅當(dāng)取=3時(shí)等號(hào)成立，

(x+l)(2y+l),廣

故~Sxy的最小值為4V5.

名師點(diǎn)評(píng)使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立.

x—2y—2<0

26.若x,y滿足約束條件■x-y+120,則z=3x+2y的最大值為

”0

答案6

x-2y-2<0

根據(jù)題中所給的約束條件<x-y+120，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：

y<0

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)3時(shí)，z取得最大值，

x-2v-2=0

由，解得3（2,0）,此時(shí)Zmax=3X2+0=6,故答案為6.

名師點(diǎn)評(píng)該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可

行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷Z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷咖個(gè)點(diǎn)是

最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜

率型、截距型、距離型，根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.

x+2y-5>0,

27.若％,y滿足約束條件〈元一2y+320，則2=%+、的最大值為.

%—540,

答案9

x+2y-5>0,

不等式組卜—2y+3Z0,表示的可行域是以A（5,4）,B（1,2）,C（5,0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如下圖

x—540

所示，目標(biāo)函數(shù)2=1+丁的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng)X=5,y=4時(shí)，Zmax=9.

名師點(diǎn)評(píng)線性規(guī)劃問(wèn)題是高考中?？伎键c(diǎn)，主要以選擇或填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件

求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.

x-y>Q,

28.若滿足約束條件,2x+y46,則z=x+3y的最小值是,最大值是.

x+y>2,

答案28

由題可得，該約束條件表示的平面區(qū)域是以（2,2）,（1,1）,（4,-2）為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部

區(qū)域，如圖所示.由線性規(guī)劃的知識(shí)可知，目標(biāo)函數(shù)z=x+3y在點(diǎn)（2,2）處取得最大值，在點(diǎn)（4,

-2）處取得最小值，則最小值z(mì)而n=4—6=—2,最大值Zm”=2+6=8.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心

素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.

29.若%,y滿足x+則2y-x的最小值是.

答案3

作出可行域，如圖，則直線z=2y—x過(guò)點(diǎn)41,2）時(shí)，z取最小值3.

名師點(diǎn)評(píng)線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：

一、準(zhǔn)確無(wú).誤地作出可行域；

二、畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò);

三、?般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.

解本題時(shí)，先作出可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.

30.已知a,0eR,且。一3萬(wàn)+6=0,則2"+、■的最小值為.

答案；

由a-3b+6=0可知a-3b=-6,且2a+^=2a+2~3b,

因?yàn)閷?duì)于任意X，2*>0恒成立，結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得：

2。+2-3b22X，2。乂2-3〃=2xk=不當(dāng)且僅當(dāng)卜-3b=6，即位=-1時(shí)等號(hào)成立.

c11

綜上可得2。+誕的最小值為了

名師點(diǎn)評(píng)利用基本不等式求最值時(shí)，要靈活運(yùn)用以下兩個(gè)公式：

①a,0€&/+〃22而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

②a,b€R+，a+b>2y/ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=。時(shí)取等號(hào).解題時(shí)要注意公式的適用條件、等號(hào)成立的

條件，同時(shí)求最值時(shí)注意“1的妙用”.

31.在小、/記。中，角4,民。所對(duì)的邊分別為4反0,ZABC=\20°,Z4BC的平分線交AC于點(diǎn)。，且比>=1,

則4a+c的最小值為.

答案9

由題意可知，S“ABC=S&ABD+SABC。,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得

|acsinl20°=x1xsin60°+x1xsin60°,化簡(jiǎn)得ac=Q+c.+；=1,

fl1\c4alc_4a

因此4a+c=（4a+c比+。=5+公+工25+24?工=9,

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時(shí)取等號(hào)，則4a+c的最小值為9.

名師點(diǎn)評(píng)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即

條件要求字母為正數(shù)）、“定”不等式的另一邊必須為定值）、”等（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用,

否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

x+2y<1,

32.設(shè)x,y滿足約束條件（2x+yN—l,則z=3x-2y的最小值為.

x-y<0,

答案一5

不等式組表示的可行域如圖所示,

3z

由z=3x—2y得y=jx—：在y軸上的截距越大，z就越小，

所以，當(dāng)直線z=3x-2y過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值，

所以z的最小值為3x(—1)—2x1=—5.

名師點(diǎn)評(píng)本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問(wèn)題，線性規(guī)劃問(wèn)題常出現(xiàn)的形式有：①直線型，轉(zhuǎn)化成斜截式比較

截距，要注意z前面的系數(shù)為負(fù)時(shí)，截距越大，z值越?。虎诜质叫?，其幾何意義是已知點(diǎn)與未知點(diǎn)

的斜率；③平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方；④絕對(duì)值型，

轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點(diǎn)到直線的距離.

X-j>0

33.2020年高考全國(guó)HI理數(shù)若x,y滿足約束條件，x+y-2<0,則z=3x-4y的最小值為.

y>0

答案—1

作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.

目標(biāo)函數(shù)即y=3-士1z,易知直線y=3i在y軸上的截距最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y取得

4444

最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)z=3x—4y在點(diǎn)4（1,1）處取得最小值，為Zmin=3xl—4xl=—l.

名師點(diǎn)評(píng)求線性目標(biāo)函數(shù)z=or+〃y（a厚0）的最值，當(dāng)6>0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上的截距最大時(shí),

z值最大，在y軸上的截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)〃<0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上的截距最大時(shí)，z

值最小，在y軸上的截距最小時(shí)，z值最大.

a4+4/>4+1

34.若a,bwR,ab>。,則的最小值為.

ab

答案4_______

上叫12.4"力:1=4仍+_；_?242，=4,（前一個(gè)等號(hào)成立的條件是4=2〃，后一

ababab\ab

個(gè)等號(hào)成立的條件是=兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)/=也22=立時(shí)取等號(hào)）

224

名師點(diǎn)評(píng)利用均值不等式求最值時(shí)要靈活運(yùn)用以下兩個(gè)公式：①。/€氏。2+82當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)；②q/eR+,a+b>2y^b.當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號(hào).解題時(shí)要注意公式的適用

條件、等號(hào)成立的條件，同時(shí)求最值時(shí)注意“I的妙用”.

35.三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)A,的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名

工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)