數(shù)學(xué)例題與探究：任意角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知sinα=t且｜t｜＜1，求角α的余弦值和正切值。思路分析：在已知角的某一三角函數(shù)值的情況下,利用三角函數(shù)基本關(guān)系式，可以對其他三角函數(shù)進(jìn)行求解，但是要注意進(jìn)行分類討論。解：∵sinα=t且｜t|＜1,∴角α可能為四個(gè)象限和x軸上的軸線角。①當(dāng)α為第一、四象限或x軸非負(fù)半軸上的角時(shí)，有cosα==，tanα==。②當(dāng)α為第二、三象限或x軸非正半軸上的角時(shí),有cosα=-=-，tanα==—。綠色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母表示的,且角所在象限也沒有指定時(shí),這個(gè)角α可能在四個(gè)象限（也可能是軸線角）,此時(shí)，不必按四個(gè)象限討論,只需將四個(gè)象限角(可能含軸線角)的三角函數(shù)值分成兩組討論。變式訓(xùn)練（2006重慶高考卷，文13)已知sinα=，≤α≤π，則tanα=________________。思路解析:由sinα=,≤α≤πcosα=，所以tanα=—2。答案：—2例2y=的定義域是___________.思路解析:利用函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx的定義域和分式函數(shù)的定義域即可求解.要使函數(shù)有意義必須使tanx有意義且tanx≠0.∴(k∈Z）。∴函數(shù)y=的定義域?yàn)椋鹸|x≠，k∈Z｝。答案:｛x｜x≠,k∈Z}黑色陷阱:解答本題，往往容易忽視tanx本身有意義這個(gè)條件，只考慮到tanx作為分母不能為0.變式訓(xùn)練求函數(shù)y=+tanx的定義域?yàn)開_____________________.思路解析：由得∴2kπ≤x≤（2k+1)π且x≠2kπ+(k∈Z)。答案：[2kπ，2kπ+）∪(2kπ+,(2k+1）π](k∈Z）例3已知tanα=2，則(1)=______________________;（2)=________________。思路分析：題中給出的已知是某角的正切值，所求的是含有正弦和余弦的分?jǐn)?shù)式，可以利用三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后利用已知求解。解:（1)∵cosα≠0，∴分子分母同除cosα，得=。（2)∵cos2α≠0,∴分子分母同除cos2α得。答案：（1）-1（2）綠色通道：這是一組在已知tanα=m的條件下,求關(guān)于sinα、cosα的齊次式值的問題.解這類問題需注意以下幾點(diǎn):（1）一定是關(guān)于sinα，cosα的齊次式(或能化為齊次式）的三角函數(shù)式；（2)因?yàn)閏osα≠0，所以可用cosnα(n∈N*)除之。這樣可以將所求式化為關(guān)于tana的表達(dá)式，可整體代入tana=m的值，求解.變式訓(xùn)練已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ，求cos2α.思路分析:本題中只給出了α、β的正弦和正切關(guān)系,要求α余弦的平方,顯然應(yīng)該考慮平方之間的關(guān)系,依此考慮則可得出解題的方法,在解答過程中還要注意靈活變形。解：由題設(shè),知sinα=2sinβsin2α=4sin2β,①tanα=3tanβtan2α=9tan2β。②①÷②，得9cos2α=4cos2β。③①+③,得sin2α+9cos2α=41—cos2α+9cos2α=4。∴cos2α=38。問題探究問題1你能找到三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)記憶規(guī)律嗎？導(dǎo)思:三角函數(shù)的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)的坐標(biāo)符號(hào)導(dǎo)出的，從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離r總是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知:正弦的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào)，余弦的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)，正切當(dāng)x、y同號(hào)時(shí)為正,異號(hào)時(shí)為負(fù)。探究：方法一：利用口訣“一全正,二正弦，三正切,四余弦”,也可簡寫為“全，S、T、C”來記憶。上述口訣表示：第一象限全是正值，第二象限正弦（S)是正值，第三象限正切（T）是正值,第四象限余弦（C）是正值.至于正割、余割和余切函數(shù)值在各象限的符號(hào)，只需記住它們與余弦、正弦、正切在各象限內(nèi)的符號(hào)相同就可以了。方法二:利用圖1—2—3記憶,口訣在圖下方:圖1—2-3問題2如何用sinα表示cosα、tanα、cotα。導(dǎo)思：首先對角α按象限角和軸線角詳細(xì)分類，然后才能用sinα表示cosα、tanα、cotα的值.探究：見下表（k∈Z）.函數(shù)cosα］tanαco