數(shù)學例題與探究第三章§導數(shù)在實際問題中的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精高手支招3綜合探究1.利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的方法和基本思路方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù),建立與其相應的數(shù)學模型,再通過研究相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案,使問題得到解決。在這個過程中,導數(shù)往往是一個有利的工具?；舅悸罚航?shù)學模型。2.最值和極值的區(qū)別與聯(lián)系(1）最值是個整體概念,而極值是個局部概念；(2）從個數(shù)上看,一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的，而極值不一定唯一；（3）極值只能在定義域內部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點處取得,有極值時未必有最值,有最值時未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值.3。求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在區(qū)間[m，n］上的最大值或最小值的步驟可按以下步驟:(1）求出二次函數(shù)f(x）=ax2+bx+c（a≠0)的導數(shù)f′（x)=2ax+b;(2）討論二次函數(shù)f(x）=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間（m，n)內是否有極值點，即方程f′(x）=0的根x=是否在區(qū)間(m,n）內，確定二次函數(shù)f(x）=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間[m，n］上的最大值或最小值：①若方程f′（x)=0的根x=在區(qū)間（m，n)內,即m＜＜n，此時f（)必為二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間(m，n）內的最大值或最小值,再求出f（m）,f（n）的值，f()，f（m),f(n)中最大者和最小者分別為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間［m,n］上的最大值和最小值；②若方程f′(x）=0的根x=不在區(qū)間（m，n）內，即m≥或n≤時，此時二次函數(shù)f（x)=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間(m，n)內是單調函數(shù)，只需求出f（m),f(n）的值，f(m),f（n)中最大者和最小者分別為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0）在區(qū)間［m，n]上的最大值和最小值。高手支招4典例精析【例1】當x∈(1,2)時,函數(shù)f（x）=恒大于正數(shù)a,試求函數(shù)y=lg（a2—a+3）的最小值.思路分析:欲求y=lg（a2—a+3）的最小值,則應知a2—a+3的最小值,于是必須確定a的取值范圍，即必須先求函數(shù)f（x）=的最小值.解：y′=（)′=,當x∈(1，2）時,y′＜0,∴f(x)在(1,2)上單調遞減，于是f（x)min=f（2）=.由題意知a的取值范圍是a＜.∴y=lg（a2-a+3)=lg［(a）2+］,故當a=時，ymin=lg.【例2】已知A、B兩地相距200千米，一只船從A地逆水到B地，水速為8千米/時,船在靜水中的速度為v千米/時(8＜v≤v0).若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v=12千米/時時,每小時的燃料費為720元,為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少?思路分析:燃料費最省,實質是求函數(shù)的最小值.解:設每小時的燃料費為y1,比例系數(shù)為k(k＞0）,則y1=kv2，當v=12時,y1=720，∴720=k·122，得k=5.設全程燃料費為y,由題意y=y1·,∴y′=.令y′=0，∴v=16?！喈攙≥16時,船的實際速度為16千米/時時,全程燃料費最??；當v＜16且實際速度∈(8,v]時，y′＜0，即y在(8,v]上為減函數(shù)，∴當實際速度為v＜16時，ymin=。綜上,當v≥16時，實際速度為16千米/時時，全程燃料費最省，為32000元;當v＜16時，則實際速度為v時，全程燃料費最省,為.【例3】(2006福建高考，文21）已知f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)＜0的解集是（0,5)且f（x)在區(qū)間[—1,4］上的最大值是12。(1）求f(x)的解析式;（2)是否存在實數(shù)m，使得方程f(x)+=0在區(qū)間(m,m+1）內有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在,求出m的取值范圍;若不存在，說明理由.思路分析:本題主要考查函數(shù)的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法，考查運算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合等數(shù)學思想方法和分析問題、解決問題的能力。解：（1）∵f（x)是二次函數(shù)，且f(x）＜0的解集是（0,5)，∴不妨設f(x)=ax（x—5)(a＞0）.f（x)的對稱軸為x=2.5，經(jīng)比較可知，-1和4當中—1離2.5較遠,∴f(x)在區(qū)間［—1,4］上的最大值12在x=-1處取得,f(—1）=6a=12,∴a=2，∴f（x)=2x(x—5）=2x2-10x（x∈R).（2)由f（x）+=0,即2x2-10x+=0,即2x3—10x2+37=0（x≠0)。令h(x)=2x3-10x2+37，則h′（x)=6x2—20x=2x(3x-10）,當x∈（，+∞)時，h′（x）＞0,h（x)是增函數(shù)，當x∈(0，）時,h′(x）＜0，h(x）是減函數(shù),當x∈(—∞,0）時，h′(x）＞0,h(x）是增函數(shù),∴x=0是h(x)的極大值點，x=是h(x)的極小值點.∵h（4）=5＞0,h()=＜0，h(3)=1＞0，h（-1）=25＞0,h(—2)=-19＜0,∴方程h(x）=0在區(qū)間（-2，-1)，（3,），（,4)內分別有唯一實根,∴存在唯一的自然數(shù)m=3，使得方程f(x）+=0在區(qū)間(m，m+1）內有且只有兩個不同的實數(shù)根?！纠?】(2006福建高考,理19)統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升)關于行駛速度x（千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：y=x+8(0＜x≤120）。已知甲、乙兩地相距100千米.（1）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?（2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升？思路分析:本題所涉及的“耗油最少”的問題實際上就是求函數(shù)最小值的問題,利用相關的導數(shù)知識即可解決.解：(1)當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了=2。5（小時)，要耗油（×403-×40+8）×2.5=17.5(升).答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升.（2)當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時,設耗油量為h(x)升,依題意得h(x)=（x3-x+8）·=x2+-（0＜x≤120)h′(x）=（0＜x≤120）.令h′（x)=0得x=80.當x∈（0,80）時,h′(x)＜0,h(x）是減函數(shù)；當x∈(80,120)時,h′（x）＞0,h(x)是增函數(shù)?！喈攛=80時,h（x）取到極小值h(80)=11。25。且h(120)=10+＞125.答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升.【例5】計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質的圓盤,并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū).磁道是指不同半徑所構成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域.磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元,根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1,這個基本單元通常被稱為比特(bit).為了保障磁盤的分辨率,磁道之間的寬度必需大于m,每比特所占用的磁道長度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利,磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù).問題:現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域。(1)是不是r越小,磁盤的存儲量越大?（2)r為多少時,磁盤具有最大存儲量(最外面的磁道不存儲任何信息)？思路分析：由題意知，存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)，我們可以據(jù)此列出函數(shù)關系式，“磁盤具有最大存儲量"的問題實際上就是求相應的磁盤存儲量最大值的問題.解：設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間,由于磁道之間的寬度必須大于m,且最外面的磁道不存儲任何信息,故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同,為獲得最大存儲量，最內一條磁道必須裝滿,即每條磁道上的比特數(shù)可達.所以,磁盤總存儲量：f(r）=r(R-r）。(1）f（r）是一個關于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小,磁盤的存儲量越大。（2）為求f(r）的最大值,計算f′（r）=0。f′(r）=（R-2r)，令f′（r）=0,解得r=.當r＜時，f′（r）＞0；當r＞時,f′（r）＜0。所以r=時,磁盤具有最大存儲量.此時最大存儲量為?！纠?】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0。8πr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米.已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0。2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm。問題:（1）瓶子的半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大？(2）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？思路分析：這是一個利潤最大值和最小值的問題,只要列出利潤關于瓶子半徑的函數(shù)表達式,然后求出其最大值即可.解:由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是:y=f（r）=0。2×πr3-0。8πr2=0。8π(-r2）,0＜r≤6。令f′（r)=0.8π（r2—2r)=0,解得r=2（r=0舍去)。當r∈（0，2）時,f′（r)＜0;當r∈(2,6)時,f′(r)＞0.當半徑r＞2時,f′(r）＞0,它表示f（r）單調遞增,即半徑越大,利潤越高;當半徑r＜2時,f′（r)＜0，它表示f(r)單調遞減，即半徑越大，利潤越低.答：（1)半徑為6cm時，利潤最大；(2)半徑為2cm時,利潤最小，這時f（2)＜0,表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值.【例7】(2007重慶高考,文20)用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2:1,問該長方體的長，寬，高各為多少時,其體積最大？最大體積是多少？解:設長方體的寬為xm,則長為2xm，高為h==4.5-3x（m)（0＜x＜)。故長方體的體積為V（x）=2x2（4.5-3x)=9x2-6x3(m3)（0＜x＜）。從而V′（x）=18x—18x2=18x(1-x）。令V′(x)=0,解得x=0(舍去）或x=1.當0＜x＜1時,V′（x)＞0；當1＜x＜時,V′(x)＜0.故在x=1處V（x)取得極大值，并且這個極大值就是V（x)的最大值。從而最大體積V=V（1)=9×12-6×13=3（m3）,此時長方體的長為2m，高為1。5m。答：當長方體的長為2m,寬為1m,高為1.5m時，體積最大,最大體積為3m3。高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.求函數(shù)的最值與求函數(shù)的極值不同的是，在求最值時,不需要對各導數(shù)為0的點討論其是極大值還是極小值,只需要將導數(shù)為0的點和端點的函數(shù)值進行比較即可.2.在實際問題中,會遇到開區(qū)間上或無窮區(qū)間上的函數(shù)。有時會遇到在區(qū)間內只有一個點使f′(