數(shù)學名師導航隨機事件及其概率

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精7。1隨機事件及其概率名師導航三點剖析一、確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象.在一定條件下,某種現(xiàn)象可能發(fā)生,也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結果，這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象.我們再看以下兩個簡單的試驗.試驗1：一個盒中有10個完全相同的白球，攪拌均勻后從中任意摸取一個球.試驗2：一個盒中有10個完全相同的球,其中有5個白的,另外5個是黑色的,攪拌均勻后從中任意摸取一球。對于試驗1，在球沒有取出之前，我們就能確定取出的必定是白球。這種試驗，根據(jù)試驗開始時的條件，就可以確定試驗的結果，而對試驗2來說，在球沒有取出以前，我們從試驗開始時的條件，不能確定試驗的結果是白的還是黑的,也就是說這一試驗的結果,出現(xiàn)白球還是出現(xiàn)黑球，在試驗之前是無法確定的,這就具有了隨機性.于是，試驗1在試驗之前就能斷定它是一個確定的結果,這種試驗所對應的現(xiàn)象就稱為確定性現(xiàn)象.確定性現(xiàn)象非常廣泛,例如：“早晨，太陽必然從東方升起"“邊長為a、b的矩形的面積必為ab”“如果a、b都是實數(shù)，那么a·b=b·a"等等.試驗2所代表的類型，它有多于一種可能的試驗結果，但試驗之前不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結果.就一次試驗而言,看不出什么規(guī)律，這種試驗所代表的現(xiàn)象就稱為隨機現(xiàn)象.在客觀世界中隨機現(xiàn)象也是極為普遍的，如：“某一地區(qū)的年降雨量"“打靶射擊時，彈著點到靶心的距離”“校對印刷廠送來的清樣，每一萬字中有錯、漏字10個”等等.對于試驗1或試驗2取出白球或取出黑球這一現(xiàn)象，若讓其條件實現(xiàn)一次，就進行了一次試驗，而試驗的每一種可能的結果都是一個事件.如試驗1中，從盒中取出一個白球就是一個事件.二、必然事件、不可能事件與隨機事件必然事件是指在一定的條件下,必然會發(fā)生的事件。不可能事件是指在一定條件下，肯定不會發(fā)生的事件.必然事件與不可能事件反映的就是在一定條件下的確定性現(xiàn)象.隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,隨機事件反映的是隨機現(xiàn)象。必然事件、不可能事件與隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫英文字母A、B、C……表示.例如：異性電核，相互吸引；電阻不為0的導線通電后發(fā)熱等是必然事件.在常溫常壓下，石墨能變成金剛石;實心鐵球丟入水中，鐵球浮起等是不可能事件.擲一枚硬幣，國徽朝上；明天進行的某場足球賽的比分為3∶1等是隨機事件。對于隨機事件，雖然知道會出現(xiàn)哪些結果，卻事先不能確定具體會發(fā)生哪一種結果，即無法確定某個隨機事件是否發(fā)生。但是，如果在相同條件下大量重復試驗時，可以發(fā)現(xiàn)隨機事件的發(fā)生與否呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.概率論正是研究隨機現(xiàn)象這種數(shù)量規(guī)律性的一個數(shù)學分支.這三種事件是根據(jù)一件事情在發(fā)生前能否預知結果來劃分的。必然事件和不可能事件都是在一定的條件下，結果能否發(fā)生是可以預知的，而隨機事件卻是在這一定的條件下，結果能否發(fā)生是無法確定的，即可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。三、隨機事件的概率1．隨機事件的概率的定義一般地,如果隨機事件A在ｎ次試驗中發(fā)生了ｍ次，當試驗的次數(shù)ｎ很大時，我們可以將事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P(A）≈.隨機事件指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，它的發(fā)生具有不確定性，但隨著試驗次數(shù)的大量增加，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸趨于穩(wěn)定，這個穩(wěn)定值我們把它叫做概率。概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，要得到它必須進行大量的重復試驗，因而，它是對大量重復試驗來說存在的一種統(tǒng)計規(guī)律.若擲15次硬幣，正面出現(xiàn)5次就斷定正面出現(xiàn)的概率是,顯然是錯誤的。因為它不是從大量重復的試驗統(tǒng)計出來的.對單次試驗來說，隨機事件的發(fā)生是隨機的，如某種子的發(fā)芽率為80％，隨機選取10粒種子檢測，若前2粒種子都未發(fā)芽，能不能說以下的8粒種子都發(fā)芽呢？不能,對任何一粒種子來說它不發(fā)芽的可能性都是20%.因而在做題時要重點把握概率的意義。2．隨機事件的概率的基本性質必然事件和不可能事件分別用Ω和來表示.不可能事件和必然事件雖然是兩類不同的事件，但它們可以看作是隨機事件的兩個極端情況。用這種對立又統(tǒng)一的觀點去看待它們，有利于認識它們的內在聯(lián)系。由概率的定義，顯然有P（Ω）=1；P()=0。又如果隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，則m≤n.所以，我們可以得出概率的基本性質.隨機事件的概率有兩個基本性質：（1）對于任意一個事件A，都有0≤P（A）≤1；（2）必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。問題探究問題1:下列有三種說法：①概率就是頻率；②某廠產品的次品率為3%,是指“從該廠產品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品;③從一批準備出廠的燈泡中隨機抽取15只進行質量檢測,其中有1只是次品，說明這批燈泡中次品的概率為.我們應該怎樣看待這些說法呢？探究:我們知道在實驗中,某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與總實驗次數(shù)的比例叫頻率，它是一個確定的值,描述的是已經發(fā)生了的事件的特征。但是對于尚未發(fā)生的事件，我們只能描述它發(fā)生的可能性的大小。不同的人做同一實驗的結果不一定相同，即便是同一人在兩次相同實驗中的結果也可能不同，因而不同的人或同一人做兩次相同實驗，某一事件發(fā)生的頻率可以不同，但隨著實驗次數(shù)的增多，在大量重復進行同一實驗時，某一事件發(fā)生的頻率總是接近于某一常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，它實質上是頻率的近似值，所以說法①是錯誤的；對第②種說法,次品率是3％，只能說明任意抽取一只燈泡進行檢測，檢測出是次品的可能性或概率是3％，并不一定是抽取100件，其中一定有3件次品.在這100件產品中可能一件次品也沒有,可能有2件次品，也可能有3件次品，甚至這100件全是次品,所以說法②是錯誤的;從一批準備出廠的燈泡中隨機抽取15只進行質量檢測，其中有1只是次品，說明抽樣燈泡中次品的頻率為，而并非這批燈泡的次品概率.實際上從這一批燈泡中隨機抽取15只進行質量檢驗相當于進行了15次隨機試驗,而每次試驗的結果也是隨機的，所以這15次試驗的結果也是隨機的.“從一批準備出廠的燈泡中隨機抽取15只進行質量檢測，其中有1只是次品”這只是多個隨機結果中的一個，它只能說明這次抽樣檢驗的次品的頻率為，而次品的概率則可能比高或比低，并不一定是，所以說法③也是錯誤的.問題2：我們知道，當試驗次數(shù)n很大時,事件A發(fā)生的頻率的近似值就可以看為事件的概率,那么概率和頻率之間有著怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？探究：隨機事件的頻率,是事件A發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)的比值，若它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，擺動的幅度將會減小，這時頻率所趨近的常數(shù)就是事件A發(fā)生的概率.因此概率可以看作是頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小。而頻率是不能脫離具體的n次試驗的試驗值的，在相同的條件下做兩組相同的試驗所得的頻率就可能不同。從概率的定義可知：頻率是概率的近似值，而概率則是頻率的穩(wěn)定值.精題精講例1．試判斷下列事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件：(1）拋一塊石塊，下落；（2）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化；（3)某人射擊一次，中靶；（4）如果a＞b,那么a－b＞0;（5)從分別標有號數(shù)1,2,3，4，5的5張標簽中任取一張，得到4號簽；（6）某電話機在1分鐘內收到2次呼叫；（7)沒有水分，種子能發(fā)芽;（8)在常溫下,焊錫熔化.思路解析（1）中拋一塊石塊，由于受重力的作用必然下落；(2)中由物理學知識，可知在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰不會融化；（3）中某人射擊一次可能中靶也可能不中靶；(4）中由不等式的基本性質可知,如果a＞b，那么a－b＞0；（5）中從分別標有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張,這5個數(shù)字都有被抽到的可能;（6）中某電話機在1分鐘內收到呼叫的次數(shù)也是隨機的;（7）由生物學知識知沒有水分，種子不可能發(fā)芽；（8）由物理學知識可知在常溫下,焊錫不可能熔化.答案:由于（1）（4）這兩個事件肯定會發(fā)生，所以(1）（4）是必然事件；而(3）（5)（6）這三個事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，所以（3）（5）(6）是隨機事件；而(2）（7)（8）這三個事件肯定不會發(fā)生，所以（2）（7）（8）是不可能事件。綠色通道判斷一個事件是隨機事件、必然事件或不可能事件的依據(jù)，主要是利用它們的定義。隨機事件是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。應注意,事件的結果是相應于“一定條件”而言的.要弄清某一隨機事件，必須明確何為事件發(fā)生的條件，何為在此條件下產生的結果.例2．李老師在某大學連續(xù)3年主講經濟學院的高等數(shù)學,下表是李老師這門課3年后的考試成績分布情況：成績人數(shù)90分以上4380～89分18270～79分26060～69分9050～59分6250分以下8經濟學院一年級的學生王小慧下學期將修李老師的高等數(shù)學課，用已有的信息估計她得以下分數(shù)的概率：(1）90分以上;（2)60～69分;（3）60分以上。思路解析利用概率的計算公式求解即可.如果隨機事件A在ｎ次試驗中發(fā)生了ｍ次，當試驗的次數(shù)ｎ很大時，我們可以將事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P（A）≈。由于參加考試的人數(shù)較多，則各組數(shù)據(jù)的頻率可以近似地看作是這一組數(shù)據(jù)的概率。答案：利用計算器計算可得(1）0。067.(2）0。140.(3)0。891．綠色通道如果隨機事件A在ｎ次試驗中發(fā)生了ｍ次，當試驗的次數(shù)ｎ很大時，我們可以將事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P（A)≈.例3．為了測試貧困地區(qū)和發(fā)達地區(qū)同齡兒童的智力，出了10個智力題，每個題10分.然后作了統(tǒng)計，下表是統(tǒng)計結果.貧困地區(qū)：參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率發(fā)達地區(qū)：參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率（1)利用計算器計算兩地區(qū)參加測試的兒童中得60分以上的頻率；（2）求兩個地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率;（3）分析貧富差距為什么會帶來人的智力的差別。思路解析首先利用頻率的計算公式計算出各組數(shù)據(jù)的頻率，再由此估計出概率，再對數(shù)據(jù)進行比較和分析。答案：（1）貧困地區(qū)：參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率0。530。540.520.510。510.50發(fā)達地區(qū)：參加測試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率0.5670。5800.5600.5550。5520.550（2）概率分別為0。5和0。55．（3）經濟上的貧困導致該地區(qū)生活水平落后,兒童的健康和發(fā)育會受到一定的影響;另外經濟落后也會使教育事業(yè)發(fā)展落后,導致智力出現(xiàn)差別.例4．檢查某工廠產品，其結果如下：抽出產品數(shù)（n）51060150600900120018002400次品數(shù)（m）0371952100125178248次品頻率（1)計算表中的次品頻率；（2）利用所學知識對表中數(shù)據(jù)作簡要的數(shù)學分析。思路解析計算次品出現(xiàn)的頻率，再對這些數(shù)據(jù)進行比較、歸納和分析，與所學內容聯(lián)系起來。答案：(1）根據(jù)頻率計算公式，計算出次品出現(xiàn)的頻率，如下表：抽出產品數(shù)（n）51060150600900120018002400次品數(shù)（m）