2025屆百校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆百校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個實根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.32．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.3．關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C.或 D.4．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.5．邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.6．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）7．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A B.C. D.8．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是，則點到另一個焦點的距離為（）A.2 B.3C.4 D.59．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.2610．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項為（）A.99 B.131C.139 D.14111．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.8012．已知圓的方程為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，則周長的最小值是__________.14．設(shè)正方形的邊長是，在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個點，則此點到點的距離大于的概率是_____15．已知兩平行直線與間的距離為3，則C的值是________.16．直線過拋物線的焦點F，且與C交于A，B兩點，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，設(shè)（1）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若?q是?p的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍18．（12分）某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設(shè)池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低造價是多少?19．（12分）已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，（1）現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；（2）現(xiàn)從市場中隨機(jī)購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？20．（12分）已知圓：，定點，Q為圓上的一動點，點P在半徑CQ上，且，設(shè)點P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點的直線交曲線E于A，B兩點，過點H與AB垂直的直線與x軸交于點N，當(dāng)取最大值時，求直線AB的方程.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個數(shù).22．（10分）橢圓的左、右焦點分別為，短軸的一個端點到的距離為，且橢圓過點過且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于軸對稱.（1）求橢圓的方程（2）當(dāng)直線的斜率為1時，求的面積；（3）若點，求證：三點共線.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由韋達(dá)定理可知，結(jié)合等比中項的性質(zhì)可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.2、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.3、C【解析】求出不等式對應(yīng)方程的根，結(jié)合不等式和二次函數(shù)的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】不等式對應(yīng)方程的兩根為，因為，故可得，根據(jù)二次不等式以及二次函數(shù)的關(guān)系可得不等式的解集為或.故選：C.【點睛】本題考查含參二次不等式的求解，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為5、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，又，則故選：B6、B【解析】根據(jù)空間向量線性運算的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以.故選：B.7、B【解析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時間為40秒，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選：B8、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，故可得，又到橢圓一個焦點的距離是，故點到另一個焦點的距離為.故選：.9、A【解析】可設(shè)出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設(shè)缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A10、D【解析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D11、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時必過N點，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：C12、C【解析】根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用拋物線的定義結(jié)合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線的方程為，過點作，垂足為，則，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立.故答案為：.14、【解析】先求出正方形的面積，然后求出動點到點的距離所表示的平面區(qū)域的面積,最后根據(jù)幾何概型計算公式求出概率.【詳解】正方形的面積為，如下圖所示：陰影部分的面積為:，在正方形內(nèi)，陰影外面部分的面積為，則在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個點，則此點到點的距離大于的概率是.【點睛】本題考查了幾何概型的計算公式，正確求出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.15、【解析】根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【詳解】兩平行直線與間的距離為3，所以，所以故答案為：16、8【解析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及即可求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先解出集合A、B，然后根據(jù)p是q的充分不必要條件列出不等式組求解.（2）?q是?p的必要不充分條件可知q是p的充分不必要條件，然后求解.【小問1詳解】解：由題意得：，p是q的充分不必要條件，所以集合A是集合B的真子集∴，即，所以實數(shù)a的取值范圍.【小問2詳解】?q是?p的必要不充分條件p是q的必要不充分條件，即q是p的充分不必要條件集合B是集合A的真子集∴，故實數(shù)a的取值范圍為18、（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設(shè)池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當(dāng)x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】（1）由相互獨立事件的概率可得；（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計算可得.【小問1詳解】記隨機(jī)抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個事件相互獨立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是【小問2詳解】記事件B為購買的電器合格，記隨機(jī)買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個品牌分別為事件，，，，，，，，，故在市場中隨機(jī)購買一臺電器，買到的是合格品的概率為20、（1）（2）或【解析】(1)結(jié)合已知條件可得到點P在線段QF的垂直平分線上，然后利用橢圓定義即可求解；(2)結(jié)合已知條件設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式求出，再設(shè)出直線NH的方程，求出N點坐標(biāo)，進(jìn)而求出，然后表示出，再利用換元法和均值不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，∵，∴點P在線段QF垂直平分線上，∴，又∵，∴∴點P在以C，F(xiàn)為焦點的橢圓上，且，∴，∴曲線的方程為：.【小問2詳解】設(shè)直線AB方程為，，由，解得，，解得，由韋達(dá)定理可知，，，∴∵AB與HN垂直，∴直線NH的方程為，令，得，∴，又由，∴，∴設(shè)則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，有最大值，此時滿足，故，所以直線AB的方程為：，即或.21、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，并求出函數(shù)的最大值小于零，即，即可得證；（2）將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與交點的問題，大致畫出函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，其中，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，又∵，即時，，∴，∴在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方.【小問2詳解】由得，即，令，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴在處取得最小值，∴，又∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，有零點存在性定理可知函數(shù)有唯一的零點，∴的大致圖象如圖所示，∴當(dāng)時，方程的根的個數(shù)為0；當(dāng)或時，方程的根的個數(shù)為1；當(dāng)時，方程的根的個數(shù)為2.22、（1）；（2）；