四川省成都市成外2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

四川省成都市成外2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，首項a1=1，若，則公差d的取值范圍為（）A. B.C. D.2．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.3．已知直線與直線垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣14．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線5．等比數(shù)列的公比，中有連續(xù)四項在集合中，則等于（）A. B.C D.6．若函數(shù)在上為單調增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.7．我國古代銅錢蘊含了“外圓內方”“天地合一”的思想．現(xiàn)有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內隨即取點，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.8．已知，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.29．圓上到直線的距離為的點共有A.個 B.個C.個 D.個10．方程與的曲線在同一坐標系中的示意圖應是（）A. B.C. D.11．已知各項均為正數(shù)且單調遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項和為，且，則（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列的首項為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標是_____________14．雙曲線的離心率為____15．如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______16．直線與直線間的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項和18．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍.19．（12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和20．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內排出的污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.21．（12分）如圖，在四棱錐中，側面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點E為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關系．請用相關系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關于的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費參考公式：相關系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】該等差數(shù)列有最大值，可分析得，據(jù)此可求解.【詳解】，故，故有故d取值范圍為.故選：A2、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長，然后取外心，作，取H為的中點，使得，則易得，求出的長即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點睛】本題考查求球的表面積，解題關鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過各面外心且與此面垂直的直線上3、D【解析】根據(jù)，得出關于的方程，即可求解實數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.4、D【解析】由雙曲線定義結合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當時，，故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D5、C【解析】經(jīng)分析可得，等比數(shù)列各項的絕對值單調遞增，將五個數(shù)按絕對值的大小排列，計算相鄰兩項的比值，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因為等比數(shù)列中有連續(xù)四項在集合中，所以中既有正數(shù)項也有負數(shù)項，所以公比，因為，所以，且負數(shù)項為相隔兩項，所以等比數(shù)列各項的絕對值單調遞增，按絕對值排列可得，因，，，，所以是中連續(xù)四項，所以，故選：C.6、B【解析】用函數(shù)單調性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.7、B【解析】根據(jù)圓和正方形的面積公式結合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B8、D【解析】由，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】解：因，，所以，因為，所以，即，解得，故選：D.9、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關系，考查了學生合理轉化的能力，屬于基礎題.10、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當和同號時，拋物線開口向左，方程表示焦點在軸的橢圓，無符合條件的選項；當和異號時，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項.11、C【解析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設的公比為，則，解得：或，又單調遞減，，，解得：，數(shù)列的通項公式為：，.故選：C12、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結合由，轉化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因為，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，當時，，不等式可化為恒成立，所以；當時，，不等式可化為恒成立；當時，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標【詳解】設，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標為故答案為：14、【解析】由題意得：考點：雙曲線離心率15、【解析】根據(jù)題意，先建立空間直角坐標系，然后寫出相關點的坐標，再寫出相關的向量，然后根據(jù)點分別為直線上寫出點的坐標，這樣就得到，然后根據(jù)的取值范圍而確定【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：，，，，，可得：設，且則有：，可得：則有：故則當且僅當時，故答案為：16、【解析】利用平行間的距離公式可求得結果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關系，利用求解出數(shù)列的首項，然后當時，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關系，從而完成證明；（2）利用第（1）問求解出的數(shù)列的通項公式，帶入到中，再使用錯位相減法進行求和，根據(jù)最后計算的結果與比較即可完成證明.【小問1詳解】由題意得，當時，，∴，當時，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.得證.【小問2詳解】由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結合設而不求法以及向量數(shù)量積的坐標公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點，，解得.設，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當直線的斜率不存在時，此時，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項即可作答.(2)由(1)的結論求出，再借助裂項相消法計算作答.【小問1詳解】因為數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且是與的等差中項，則有，即，解得，所以.【小問2詳解】由(1)知，，則，即有，所以.20、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當時，；當時，；當時，.即.【小問2詳解】因為，故，故該廠應繳納污水處理費1400元.21、（1）見解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點O為原點，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O原點，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖：設|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設平面BED的法向量