2022屆高三-二輪復習資料-概率統(tǒng)計（文）

2022屆高三--二輪復習資料（通用版）-概率統(tǒng)計（文）（教師版）

一.概率統(tǒng)計基礎知識復習過眼:

簡單抽樣從總體中逐個抽取且不放回抽取樣本的方法。

隨機

分層抽樣將總體分層，按照比例從各層中獨立抽取樣本的方法。等概率抽樣。

抽樣

統(tǒng)

系統(tǒng)抽樣將總體均勻分段，每段抽取一個樣本的方法。

計

與眾數樣本數據中出現次數最多的數據。

統(tǒng)

統(tǒng)

計

計中位數從小到大排序后，中間的數或者中間兩數的平均數。

樣本

案

估

計-1

例標準差s了

總

體平均數%入2,…,后的平均數是工=一（%+X,+???+怎）。

nFh=i

方差石,電，…，%的平均數為了，=~y（X.-X）2o

ni=\

如果隨機事件A在〃次試驗中發(fā)生了5次，當試驗的次數〃很大時，我們可以將發(fā)生的

定義頻率”作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P（A）='。

nn

互斥事件

事件事件A和事件B在任何一次實驗中不會同時發(fā)生

關系

對立事件事件A和事件B,在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生。類比集合關系。

基本性質0<P(A)<l,P(0)=O,P(Q)=lo

概性質

率互斥事件事件A,8互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B).

特征基本事件發(fā)生等可能性和基本事件的個數有限性

古典

型

概

計算公式尸（4）=',〃基本事件的個數、加事件A所包含的基本事件個數。

n

特征基本事件個數的無限性每個基本事件發(fā)生的等可能性。

何

幾

型

概

計算公式?八構成事件A的測度

P（A）=

試驗全部結果所構成的測度

統(tǒng)計案例：1.線性回歸方程：樣本數據的相關系數

“---

備(XLX)8—y)

反映樣本數據的相關程度，川越大，則相關性越強.

在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據作出散點圖來判斷兩個變量之間是否具有相關關系.若具有線性相

關關系，則回歸直線過樣本點的中心（工，7）,并且可通過線性回歸方程估計預報變量的值

2.獨立性檢臉：假設有兩個分類變量X和Y,它們的取值分別為｛xi,4｝和｛yi,/｝,其樣本頻數列聯表（稱為2X2

列聯表）為:

歹2總計

X]aba+b

X2Cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

蜉=伍+6）（%）（%）（,+團（其中〃=。+人+。+"為樣本容量）.

二.概率統(tǒng)計真題研究

1.（2021全國乙卷）在區(qū)間（0,；隨機取1個數，則取到的數小于3的概率為（）

3211

A.4-B.3-3-D.6-

【答案】B

【解析】

【分析】

根據幾何概型的概率公式即可求出.

【詳解】

設C="區(qū)間（0，）隨機取1個數"，對應集合為:A-|0<X<yk區(qū)間長度為

A="取到的數小于g",對應集合為：卜|0<x<T，區(qū)間長度為g,

--0

所以P⑷%32

二3

2

故選：B.

【點睛】

本題解題關鍵是明確事件"取到的數小于g”對應的范圍，再根據幾何概型的概率公式即可準確求出.

2.(2021全國甲卷)為「解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數

據整理得到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是()

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】C

【解析】

【分析】

根據直方圖的意義直接計算相應范圍內的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應的頻率，然后求和

即得到樣本的平均數的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.

【詳解】

因為頻率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比

率的估計值.

該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確；

該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為0.04+().()2x3=().l()=10%,故B正確;

該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確;

該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68

（萬元），超過6.5萬元，故C錯誤.

綜上，給出結論中不正確的是C.

故選：C.

【點睛】

本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的

平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率

等于1fx組距，

3.（2021新高考1卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式可求概率.

【詳解】

解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法，

其中2個0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個0不相鄰的概率為3=06，

故選：c.

4.(2020全國三卷)設一組樣本數據刈，X2,X。的方差為0.01,則數據lOxi,10x2,…，10xn的方差為()

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

根據新數據與原數據關系確定方差關系，即得結果.

【詳解】

因為數據叼+A(i=l，2,L㈤的方差是數據%,(i=l,2,L,〃)的方差的“2倍，

所以所求數據方差為1()2x001=1

故選：C

【點睛】

本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

5.(2021新高考2卷)有一組樣本數據陽，巧，…，x“，由這組數據得到新樣本數據外,上，…，y“，其中%=%+。

(，=1,2「、〃),。為非零常數，則()

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣數據的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】

A、C利用兩組數據的線性關系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判斷正誤；根據中位數、極差的定義，結合已

知線性關系可判斷B、D的正誤.

【詳解】

A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且*0,故平均數不相同，錯誤；

B：若第一組中位數為王，則第二組的中位數為％=x；+c,顯然不相同，錯誤；

C：O(y)=O(x)+O(c)=O(x),故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為工2-%而，則第二組的極差為為^-為加蟲/穌+0-⑷.+^=…-小…

故極差相同，正確：

故選：CD

6.(2021新高考1卷)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本內,當，…，毛的離散程度的是()

A.樣本為,多,…,x”的標準差B.樣本再,々，…，％”的中位數

C.樣本玉,々,…,x”的極差D.樣本±,七,…,x”的平均數

【答案】AC

【解析】

【分析】

考查所給的選項哪些是考查數據的離散程度，哪些是考查數據的集中趨勢即可確定正確選項.

【詳解】

由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；

由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；

由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢；

故選：AC.

7.(2021全國乙卷)某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊

設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下:

舊設備9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為1和5,樣本方差分別記為和

(1)求x,y,s；,s；；

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果了一工22,牛捍，則認為新設備生產

產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

【答案】（1）嚏=10,3=10.3”；=0.036,s；=0.04；（2）新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

【解析】

【分析】

（1）根據平均數和方差的計算方法，計算出平均數和方差.

（2）根據題目所給判斷依據，結合（1）的結論進行判斷.

【詳解】

,、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

⑴x=--------------------------------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------------------------------=10.3,

10

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

用=----------------------------------------------=0.036,

110

，0.22+0.12+0.222+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22八?

耳=---------------+--0-3-------------------------------=0.04.

210

(2)依題意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=25/0.0225-2^°，03^°-04=270.0076,

r~^2"

y-X>2j^^，所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

.V10

8.（2021全國甲卷）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質

量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?

n(ad-hcy

伍+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【解析】

【分析】

根據給出公式計算即可

【詳解】

（1）甲機床生產的產品中的一級品的頻率為翳=75%,

乙機床生產的產品中的一級品的頻率為1瑞20=60%.

⑵^^400(150x80-120x50)-=400>[0>6635)

270x130x200x20039

故能有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異.

9.（2020全國三卷）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整

理數據得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）若某天的空氣質量等級為1或2,則稱這天“空氣質量好"；若某天的空氣質量等級為3或4,則稱這天“空氣質

量不好根據所給數據，完成下面的2x2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛

煉的人次與該市當天的空氣質量有關？

人次“00人次＞400

空氣質量好

空氣質量不好

n[ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)該市一天的空氣質量等級分別為1、2、3、4的概率分別為043、().27、().21、0.09；(2)350；(3)

有，理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據頻數分布表可計算出該市一天的空氣質量等級分別為1、2、3、4的概率;

(2)利用每組的中點值乘以頻數，相加后除以100可得結果;

(3)根據表格中的數據完善2x2列聯表，計算出K?的觀測值，再結合臨界值表可得結論.

【詳解】

(1)由頻數分布表可知，該市一天的空氣質量等級為1的概率為當三=0.43,等級為2的概率為

1(X)

5+12

,nn=0-27'等級為3的概率為=0.21,等級為4的概率為二^9=0。9；

10()1()()10()

100x20+300x35+500x45…

(2)由頻數分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數為------------------------=350

100

(3)2x2列聯表如下:

人次4400人次＞400

空氣質量不好3337

空氣質量好228

犬2100x(33x8-37x22)2

?5.820>3.841，

55x45x70x30

因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.

【點睛】

本題考查利用頻數分布表計算頻率和平均數，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.

三.概率統(tǒng)計典型例題研究

類型一：抽樣方法

例L要完成下列兩項調查：(1)某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取

100戶調查有關消費購買力的某項指標；(2)從某高一年級的10名體育特長生中抽取3人調查學習情況；應采用的

抽樣方法分別是()

A.(1)用簡單隨機抽樣，(2)用分層隨機抽樣B.(1)(2)都用簡單隨機抽樣

C.(1)用分層隨機抽樣，(2)用簡單隨機抽樣D.(1)(2)都用分層隨機抽樣

【答案】C

【解析】

【分析】

根據簡單隨機抽樣、分層抽樣的適用條件進行分析判斷.

【詳解】

因為有關消費購買力的某項指標受家庭收入的影響，而社區(qū)家庭收入差距明顯，所以①用分層抽樣：

從10名體育特長生中抽取3人調查學習情況，個體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以②用簡單隨機抽

樣.

故選：C

例2.某公司利用隨機數表對生產的900支新冠疫苗進行抽樣測試，先將疫苗按000,001,…，899進行編號，從

中抽取90個樣本，若選定從第4行第4列的數開始向右讀數，（下面摘取了隨機數表中的第3行至第5行），根據

下圖，讀出的第6個數的編號是（）

16766227665650267107329079785313553858598897541410

12568599269682731099169672931557121014218826498176

55595635643854824622316243099006184432532383013030

A.827B.315C.696D.729

【答案】B

【解析】

【分析】

找到第4行第4列的數開始向右讀數，三個數字為一組，如果數據超過899則跳過，數到第六個899以內的數字即

可

【詳解】

從685開始向右數，即685,992,696,827,310,991,696,729,315,跳過992,991,696重復，跳過，所以

第6個數字為315

故選：B

例3.某為了解1000名新生的身體素質，將這些學生編號為1,2，…，1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽

取100名學生進行體質測驗，若45號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是（）

A.8號學生B.200號學生

C.615號學生D.816號學生

【答案】C

【解析】

【分析】

根據題意，建立第〃組與所抽取編號之間的對應關系，即可對每個選項逐一分析和判斷.

【詳解】

因為總共有1000名學生，需要抽取100名，故需要分為100組，組距為10,

不妨設第〃組抽到的學生編號是鳳，則山系統(tǒng)抽樣可知，｛4｝為公差d=l（）的等差數列，

則可設=10〃+%,N+，〃4100,又45號學生在第5組，即％=45,50+加=45,則旭=-5；

故q=10〃-5,當凡=8或200或816時，〃都不是整數，故不可能抽到；

當％=615時,即10”—5=615,解得〃=62,即第62組抽取的編號是615.

故選：C.

變式1.某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現用分層抽樣的方法在這兩個車間中抽取25人進行技能考核,

則從甲車間抽取的人數應為（）

A.5B.10C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

根據分層抽樣的定義即可求解.

【詳解】

從甲車間抽取的人數為25x———=10人.

ZOU+3UO

故選：B

變式2.某高中為了了解本校學生考入大學一年后的學習情況，對本校上一年考入大學的同學進行了調查，根據學

生所屬的專業(yè)類型，制成餅圖，現從這些同學中抽出200人進行進一步調查，已知張三為理學專業(yè)，李四為工學專

業(yè)，則下列說法不正確的是（）

A.采用分層隨機抽樣比簡單隨機抽樣更合理

B.若按專業(yè)類型進行分層隨機抽樣，則理學專業(yè)和工學專業(yè)應抽取60人和40人

C.若按專業(yè)類型進行分層隨機抽樣，則張三被抽到的可能性比李四大

D.該問題中的樣本容量為200

【答案】C

【解析】

【分析】

由分層抽樣的定義以及分層抽樣的特點判斷選項A、B、C,利用樣本容量的定義判斷選項D.

【詳解】

對于選項A,采用分層隨機抽樣更合理，故A正確；

對于選項B,理學專業(yè)應抽取的人數為200x^=60,工學專業(yè)應抽取的人數為200x^=40,故B正確；

10010()

對于選項C,張三與李四被抽到的可能性一樣大，故c錯誤；

對于選項D,該問題中的樣本容量為200,故D正確.

故選：D.

變式3.某工廠利用隨機數表對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行001,002,....599,600.

從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數據，則得到的

第6個樣本編號是()

33211834297864560732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.457B.328C.253D.072

【答案】D

【解析】

【分析】

從表中第5行第6列開始向右讀取數據，求得前6個編號，由此得到結果.

【詳解】

解：從表中第5行第6列開始向右讀取數據，

得到的前6個編號分別是：253,313,457,007,328,072,

則得到的第6個樣本編號是072.

故選：D.

類型二：數據特征

例L如圖是某賽季兩位籃球運動員最近10場比賽中各自得分的莖葉圖，兩人的平均得分分別為嘉得則下列

結論正確的是（）

甲乙

97444321109

202012246

358

A.瓦〈豆，甲比乙穩(wěn)定B.無，乙比甲穩(wěn)定

C.焉〉片,甲比乙穩(wěn)定D.惠〉窿，乙比甲穩(wěn)定

【答案】A

【解析】

【分析】

比較甲乙兩人的平均值，和他們成績的集中分散情況，可得答案.

【詳解】

——1

根據莖葉圖可知，xifl=-(114-12+134-3x14+17+19+20+22)=15.6,

—1

X乙丁(1°+19+2°+21+22x2+24+26+35+38)=23.7，

222

S'J2K"T5.6)+(12-15.6)+…+(20-15.6)2+(22-]5.6)]=12.24,

S/=；[(10-23.7)2+(19-23.7)2+…+(20-15.6尸+(38-23.7))=57.61,

故甲運動員的平均成績低于乙運動員的平均成績，但甲的成績比乙的成績更集中，

因此甲比乙穩(wěn)定，

故選:A.

例2.已知數據知它,…,”的平均數為“，方差為b,中位數為c,極差為4.由這組數據得到新數據加必…，為)，

其中％=2'+甲=1,2,…,60),則下列命題中錯誤的是()

A.新數據的平均數是2.+1B.新數據的方差是4。

C.新數據的中位數是2cD.新數據的極差是2d

【答案】C

【解析】

【分析】

根據平均數、方差、中位數、極差的定義求解.

【詳解】

解：對于選項A：因為「+”?,+%,所以新數據的平均數為—+丫????+%=—+/++/)+60=稅+],故選

0()(X)0()

項A正確，

對于選項B：因為方=5一'+(x「3+…+(%-4,所以新數據的方差為

[y-（2q+l）]~+[%~~（2a+l）]~+???+1）%）-（2〃+1）『_12（內―4）]一+[2（七—+…+[2（%）-a）「

-60-60-

=4[（占-”+心-4+...+1-°）1=4b,故選項B正確，

60

對于選項C：因為數據引，巧，…，%的中位數為c,所以新數據的中位數是2c+l,故選項C錯誤，

對于選項D：設數據X-巧，…，%中%最大，％,最?。ㄆ渲朽ㄅ?（）,啜M60,“eN*,meN*）,則乙-匕=”，

所以新數據的極差是%-=2x.+l-（2x?,+l）=2J,故選項D正確，

故選：C.

例3.已知數據34+2,3七+2,3看+2,3》4+2的平均數為11,則數據2牛2%,202%的平均數為（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用平均數的公式求出占+々+W+七=%,再利用平均數的公式可求得結果

【詳解】

山題意知3%+2+3*2+2+3玉+2+35+2=44,

所以占+馬+%+匕=12,

所以2%+2%+2%+2苫4=24,故其平均數為2三4=6,

4

故選：B.

變式1.耀華全體學生參加了主題為“致敬建黨百年，傳承耀華力量”的知識競賽，隨機抽取了400名學生進行成績

統(tǒng)計，發(fā)現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布

直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）

頻率/組距

A.直方圖中x的值為0.04

B.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間［70,80）的學生數為30人

C.估計全校學生的平均成績?yōu)?4分

D.估計全校學生成績的樣本數據的80%分位數約為93分

【答案】C

【解析】

【分析】

對A：利用頻率分布直方圖的性質即可求解：對B：利用頻率與頻數的關系即可求解；對C：利用頻率分布宜方圖

中平均數的計算公式即可求解：對D：利用百分位數的計算公式即可求解.

【詳解】

解：對A：由頻率分布直方圖的性質可得，（0.005+0.01+0.015+X+0.04）xl0=l,解得x=0.03,故選項A錯誤；

對B：在被抽取的學生中，成績在區(qū)間［70,80）的學生數為400x0015x10=60人，故選項B錯誤；

對C：估計全校學生的平均成績?yōu)?5x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分，故選項C正確；

對D：由圖可知樣本數據的80%分位數約為90+吟”x10=95分，故選項D錯誤.

0.4

故選：C.

變式2.某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對"創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分（分數為

整數，滿分100分），從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現數據均在［40,100］內.現將這些分數分成6組并畫

出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示.觀察圖形，則下列說法錯誤的是（）

A.頻率分布直方圖中第三組的頻數為10人

B.根據頻率分布直方圖估計樣本的眾數為75分

C.根據頻率分布直方圖估計樣本的中位數為75分

D.根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數為75分

【答案】D

【解析】

【分析】

根據各段的頻率的和等于1,可求出第三段的頻率，進而得到頻數，可判定A；根據眾數是頻率分布直方圖中最高

矩形的底邊中點的橫坐標得到眾數的估計值，可判定B；由中位數左右兩邊的頻率各為0.5,可以求得中位數，從而

判定C；同一組數據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，將中點值與每一組的頻率相乘再求出它們的和即為平均數的

估計值，進而判定D.

【詳解】

分數在［60,70）內的頻率為1-10x（0.005+0.020+0.030+0.025+0.010）=0.10,

所以第三組［60,70）的頻數為100x0.10=10（人），故A正確；

因為眾數的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點，從圖中可看出眾數的估計值為75分，故B正確；

因為(0.005+0.020+0.010)x10=0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+0.03)x10=0.65>0.5,

所以中位數位于［70,80),設中位數為“，則0.35+(4-70)x0.03=0.5,解得”=75,故C正確;

樣本平均數的估計值為：45x0.05+55x0.2+65x0.1+75x0.3+85x0.25+95x0.1=73（分），故D錯誤.

故選：D.

變式3.某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數據如圖1所示.該商場為了解消費者對各平臺銷

售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調查，得到的數據如圖2所示.下列說法正確

的是()

圖1圖2

A.樣本中對平臺一滿意的消費者人數約700

B.總體中對平臺二滿意的消費者人數為18

C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費者總人數為60

D.若樣本中對平臺三滿意的消費者人數為120,則〃?=90%

【答案】C

【解析】

【分析】

根據扇形圖和頻率分布直方圖判斷.

【詳解】

對于A：樣本中對平臺一滿意的人數為2000x6%x35%=42,故選項A錯誤；

對于B：總體中對平臺二滿意的人數約為1500x20%=300,故選項B錯誤；

對于C：樣本中對平臺一和平臺二滿意的總人數為：2000x6%x35%+1500x6%x20%=60,故選項C正確:

120

對于D：對平臺三的滿意率為一一/一=80%,所以加=80%,故選項D錯誤.

2500x6%

故選：c

類型三：古典概型

例1.已知某班英語興趣小組有4名男生和3名女生，從中任選2人參加該校組織的英語演講比賽，則恰有1名女

生被選到的概率是（）

34D

AB.一C.一-1

-777

【答案】C

【解析】

【分析】

根據題意求得基本事件的總數，以及所求事件中所包含基本事件的個數，結合古典概型的概率計算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，從這7名學生中任選2人，共有C；=21種選法,

其中恰有1名女生被選到的選法有C；C；=12種,

124

所以恰有1名女生被選到的概率是尸=五=,

故選：C.

例2.《周易》是我國古代典籍，用"卦"描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、

離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中"―”表示一個陽爻，"一—”表示一個陰爻）.若從八卦中任取兩卦,

這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）

3c3

A.5C.—D.-

28144

【答案】C

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】

根據八卦圖可知：8個卦中含有兩個以上陽爻的有1個，有兩個陽爻的有3個，分別為離、巽、兌，有一個陽爻的

有3個，分別為震、艮、坎，無陽爻的有1個，為坤，

選的兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻，可以從有兩個陽爻的離、巽、兌中選一個，另一個選坤，

這種選法有C；C；=3種；

也可以從有一個陽爻的震、艮、坎中選兩個，這種選法有C；=3種，

從八卦中任取兩卦的選法有C；=28種，

則從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為翌4=^.

。14

故選：C.

例3.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事."田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等

馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬."雙方從各自的馬匹中隨機選一匹進行

一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.；

6432

【答案】C

【解析】

【分析】

記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為。，b,C,齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C,然后列

出所有的情況和滿足所求事件的情況即可得到答案.

【詳解】

依題意，記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為。，b,c,齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C.

由題意可知，可能的比賽為，泊，bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC,共9種，

其中田忌可以獲勝的事件為aS,aC,bC,共3種，

則田忌的馬獲勝的概率為尸K

故選：C.

變式L我國古代認為構成宇宙萬物的基本要素是金、木、水、火、土這五種物質，稱為“五行〃.古人構建了金生水、

水生木、木生火、火生土、土生金的相生理論隨機任取〃兩行〃，則取出的〃兩行〃相生的概率是（）

1111

A.；B.-C.-D.-

2345

【答案】A

【解析】

【分析】

列出隨機任取"兩行"的所有情況和“兩行"相生的情況，由古典概型概率計算公式可得答案.

【詳解】

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10種，

其中取出的"兩行"相生的情況有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5種，

所以取出的“兩行"相生的概率

故選：A.

變式2.雅言傳承文明，經典浸潤人生.某市舉辦“中華經典誦寫講大賽”，大賽分為四類："誦讀中國”經典誦讀大

賽、"詩教中國”詩詞講解大賽、"筆墨中國"漢字書寫大賽、"印記中國"學生篆刻大賽.某人決定從這四類比賽中任

選兩類參賽，則"誦讀中國"被選中的概率為（）

311

A.-B.-C.—D.一

4246

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知條件得基本事件總數為C：=6種，符合條件的事件數為3中，由古典概型公式直接計算即可.

【詳解】

從四類比賽中選兩類參賽，共有C：=6種選擇，其中"誦讀中國"被選中的情況有3種，即

31

"誦讀中國"和"詩教中國"，"誦讀中國"和"筆墨中國"，"誦讀中國"和"印記中國"，山古典概型公式可得P=2=7,

62

故選：B.

變式3.現有甲、乙、丙、丁、戊5種課外閱讀書籍，某要從中隨機選取2種作為學生寒假閱讀，則其中甲、乙至

少有1種被選取的概率為()

3179

A.—B.-C.—D.—

1021010

【答案】C

【解析】

【分析】

根據對立事件概率公式，結合古典概型計算公式進行求解即可.

【詳解】

設事件A:甲、乙至少有1種被選取，因此事件可為：甲、乙都沒有被選取，

因為尸儀)=,4,所以P(A)=l—P(a=l—,=',

1U1UIu

故選：c

類型四：幾何概型

例1.如圖是古希臘數學家希波克拉底研究的幾何圖形，它是以直角三角形/8C兩條直角邊NC,8c為直徑向外做

兩個半圓，以斜邊為直徑向內做半圓，三個陰影區(qū)域分別標記為回，0,0.在此圖內任取一點，此點取自團區(qū)域

的概率記為P(0),取自團區(qū)域的概率記為尸(團)，取自回區(qū)域的概率記為尸(0),則()

A.P(0)=P(0)+P(0)

B.P(0)>P(0)+P(0)

C.P(0)<P(E)+P(E)

D.P(團)與P(0)+P(回)的大小與直角三角形/8C的大小有關

【答案】A

【解析】

【分析】

運用勾股定理及幾何概率知識可求解.

【詳解】

設陰影圖所在半圓的直角邊為。，陰影團所在半圓的直角邊為仇直角三角形斜邊為C,則/+從=02,目

—ab.,

P(n=_____2_______=4—

2

1"+四/+々24ab+7tc'