2022屆高三-二輪復(fù)習(xí)資料-概率統(tǒng)計(jì)（文）

2022屆高三--二輪復(fù)習(xí)資料（通用版）-概率統(tǒng)計(jì)（文）（教師版）

一.概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)過(guò)眼:

簡(jiǎn)單抽樣從總體中逐個(gè)抽取且不放回抽取樣本的方法。

隨機(jī)

分層抽樣將總體分層，按照比例從各層中獨(dú)立抽取樣本的方法。等概率抽樣。

抽樣

統(tǒng)

系統(tǒng)抽樣將總體均勻分段，每段抽取一個(gè)樣本的方法。

計(jì)

與眾數(shù)樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。

統(tǒng)

統(tǒng)

計(jì)

計(jì)中位數(shù)從小到大排序后，中間的數(shù)或者中間兩數(shù)的平均數(shù)。

樣本

案

估

計(jì)-1

例標(biāo)準(zhǔn)差s了

總

體平均數(shù)%入2,…,后的平均數(shù)是工=一（%+X,+???+怎）。

nFh=i

方差石,電，…，%的平均數(shù)為了，=~y（X.-X）2o

ni=\

如果隨機(jī)事件A在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了5次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)〃很大時(shí)，我們可以將發(fā)生的

定義頻率”作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P（A）='。

nn

互斥事件

事件事件A和事件B在任何一次實(shí)驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生

關(guān)系

對(duì)立事件事件A和事件B,在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生。類(lèi)比集合關(guān)系。

基本性質(zhì)0<P(A)<l,P(0)=O,P(Q)=lo

概性質(zhì)

率互斥事件事件A,8互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B).

特征基本事件發(fā)生等可能性和基本事件的個(gè)數(shù)有限性

古典

型

概

計(jì)算公式尸（4）=',〃基本事件的個(gè)數(shù)、加事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)。

n

特征基本事件個(gè)數(shù)的無(wú)限性每個(gè)基本事件發(fā)生的等可能性。

何

幾

型

概

計(jì)算公式?八構(gòu)成事件A的測(cè)度

P（A）=

試驗(yàn)全部結(jié)果所構(gòu)成的測(cè)度

統(tǒng)計(jì)案例：1.線(xiàn)性回歸方程：樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)

“---

備(XLX)8—y)

反映樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，川越大，則相關(guān)性越強(qiáng).

在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.若具有線(xiàn)性相

關(guān)關(guān)系，則回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心（工，7）,并且可通過(guò)線(xiàn)性回歸方程估計(jì)預(yù)報(bào)變量的值

2.獨(dú)立性檢臉：假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y,它們的取值分別為｛xi,4｝和｛yi,/｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2X2

列聯(lián)表）為:

歹2總計(jì)

X]aba+b

X2Cdc+d

總計(jì)a+cb+da+b+c+d

蜉=伍+6）（%）（%）（,+團(tuán)（其中〃=。+人+。+"為樣本容量）.

二.概率統(tǒng)計(jì)真題研究

1.（2021全國(guó)乙卷）在區(qū)間（0,；隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于3的概率為（）

3211

A.4-B.3-3-D.6-

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.

【詳解】

設(shè)C="區(qū)間（0，）隨機(jī)取1個(gè)數(shù)"，對(duì)應(yīng)集合為:A-|0<X<yk區(qū)間長(zhǎng)度為

A="取到的數(shù)小于g",對(duì)應(yīng)集合為：卜|0<x<T，區(qū)間長(zhǎng)度為g,

--0

所以P⑷%32

二3

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是明確事件"取到的數(shù)小于g”對(duì)應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準(zhǔn)確求出.

2.(2021全國(guó)甲卷)為「解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)

據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和

即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.

【詳解】

因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比

率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確；

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為0.04+().()2x3=().l()=10%,故B正確;

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確;

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68

（萬(wàn)元），超過(guò)6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計(jì)值，樣本的

平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率

等于1fx組距，

3.（2021新高考1卷）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式可求概率.

【詳解】

解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法，

其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個(gè)0不相鄰的概率為3=06，

故選：c.

4.(2020全國(guó)三卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)刈，X2,X。的方差為0.01,則數(shù)據(jù)lOxi,10x2,…，10xn的方差為()

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)據(jù)叼+A(i=l，2,L㈤的方差是數(shù)據(jù)%,(i=l,2,L,〃)的方差的“2倍，

所以所求數(shù)據(jù)方差為1()2x001=1

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5.(2021新高考2卷)有一組樣本數(shù)據(jù)陽(yáng)，巧，…，x“，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)外,上，…，y“，其中%=%+。

(，=1,2「、〃),。為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】

A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性關(guān)系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已

知線(xiàn)性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】

A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且*0,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；

B：若第一組中位數(shù)為王，則第二組的中位數(shù)為％=x；+c,顯然不相同，錯(cuò)誤；

C：O(y)=O(x)+O(c)=O(x),故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為工2-%而，則第二組的極差為為^-為加蟲(chóng)/穌+0-⑷.+^=…-小…

故極差相同，正確：

故選：CD

6.(2021新高考1卷)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本內(nèi),當(dāng)，…，毛的離散程度的是()

A.樣本為,多,…,x”的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本再,々，…，％”的中位數(shù)

C.樣本玉,々,…,x”的極差D.樣本±,七,…,x”的平均數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】

考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選：AC.

7.(2021全國(guó)乙卷)某廠(chǎng)研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊

設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)備9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為1和5,樣本方差分別記為和

(1)求x,y,s；,s；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果了一工22,牛捍，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)

產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】（1）嚏=10,3=10.3”；=0.036,s；=0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】

,、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

⑴x=--------------------------------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------------------------------=10.3,

10

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

用=----------------------------------------------=0.036,

110

，0.22+0.12+0.222+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22八?

耳=---------------+--0-3-------------------------------=0.04.

210

(2)依題意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=25/0.0225-2^°，03^°-04=270.0076,

r~^2"

y-X>2j^^，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

.V10

8.（2021全國(guó)甲卷）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)

量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-hcy

伍+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【解析】

【分析】

根據(jù)給出公式計(jì)算即可

【詳解】

（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為翳=75%,

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為1瑞20=60%.

⑵^^400(150x80-120x50)-=400>[0>6635)

270x130x200x20039

故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

9.（2020全國(guó)三卷）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整

理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好"；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)

量不好根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛

煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n[ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概率分別為043、().27、().21、0.09；(2)350；(3)

有，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概率;

(2)利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結(jié)果;

(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算出K?的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【詳解】

(1)由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為當(dāng)三=0.43,等級(jí)為2的概率為

1(X)

5+12

,nn=0-27'等級(jí)為3的概率為=0.21,等級(jí)為4的概率為二^9=0。9；

10()1()()10()

100x20+300x35+500x45…

(2)由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為------------------------=350

100

(3)2x2列聯(lián)表如下:

人次4400人次＞400

空氣質(zhì)量不好3337

空氣質(zhì)量好228

犬2100x(33x8-37x22)2

?5.820>3.841，

55x45x70x30

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.概率統(tǒng)計(jì)典型例題研究

類(lèi)型一：抽樣方法

例L要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：(1)某社區(qū)有100戶(hù)高收入家庭，210戶(hù)中等收入家庭，90戶(hù)低收入家庭，從中抽取

100戶(hù)調(diào)查有關(guān)消費(fèi)購(gòu)買(mǎi)力的某項(xiàng)指標(biāo)；(2)從某高一年級(jí)的10名體育特長(zhǎng)生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況；應(yīng)采用的

抽樣方法分別是()

A.(1)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，(2)用分層隨機(jī)抽樣B.(1)(2)都用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

C.(1)用分層隨機(jī)抽樣，(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣D.(1)(2)都用分層隨機(jī)抽樣

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的適用條件進(jìn)行分析判斷.

【詳解】

因?yàn)橛嘘P(guān)消費(fèi)購(gòu)買(mǎi)力的某項(xiàng)指標(biāo)受家庭收入的影響，而社區(qū)家庭收入差距明顯，所以①用分層抽樣：

從10名體育特長(zhǎng)生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況，個(gè)體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽

樣.

故選：C

例2.某公司利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的900支新冠疫苗進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將疫苗按000,001,…，899進(jìn)行編號(hào)，從

中抽取90個(gè)樣本，若選定從第4行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第3行至第5行），根據(jù)

下圖，讀出的第6個(gè)數(shù)的編號(hào)是（）

16766227665650267107329079785313553858598897541410

12568599269682731099169672931557121014218826498176

55595635643854824622316243099006184432532383013030

A.827B.315C.696D.729

【答案】B

【解析】

【分析】

找到第4行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀數(shù)，三個(gè)數(shù)字為一組，如果數(shù)據(jù)超過(guò)899則跳過(guò)，數(shù)到第六個(gè)899以?xún)?nèi)的數(shù)字即

可

【詳解】

從685開(kāi)始向右數(shù)，即685,992,696,827,310,991,696,729,315,跳過(guò)992,991,696重復(fù)，跳過(guò)，所以

第6個(gè)數(shù)字為315

故選：B

例3.某為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2，…，1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽

取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若45號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（）

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生

C.615號(hào)學(xué)生D.816號(hào)學(xué)生

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，建立第〃組與所抽取編號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析和判斷.

【詳解】

因?yàn)榭偣灿?000名學(xué)生，需要抽取100名，故需要分為100組，組距為10,

不妨設(shè)第〃組抽到的學(xué)生編號(hào)是鳳，則山系統(tǒng)抽樣可知，｛4｝為公差d=l（）的等差數(shù)列，

則可設(shè)=10〃+%,N+，〃4100,又45號(hào)學(xué)生在第5組，即％=45,50+加=45,則旭=-5；

故q=10〃-5,當(dāng)凡=8或200或816時(shí)，〃都不是整數(shù)，故不可能抽到；

當(dāng)％=615時(shí),即10”—5=615,解得〃=62,即第62組抽取的編號(hào)是615.

故選：C.

變式1.某企業(yè)甲車(chē)間有200人，乙車(chē)間有300人，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩個(gè)車(chē)間中抽取25人進(jìn)行技能考核,

則從甲車(chē)間抽取的人數(shù)應(yīng)為（）

A.5B.10C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.

【詳解】

從甲車(chē)間抽取的人數(shù)為25x———=10人.

ZOU+3UO

故選：B

變式2.某高中為了了解本校學(xué)生考入大學(xué)一年后的學(xué)習(xí)情況，對(duì)本校上一年考入大學(xué)的同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)學(xué)

生所屬的專(zhuān)業(yè)類(lèi)型，制成餅圖，現(xiàn)從這些同學(xué)中抽出200人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，已知張三為理學(xué)專(zhuān)業(yè)，李四為工學(xué)專(zhuān)

業(yè)，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.采用分層隨機(jī)抽樣比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更合理

B.若按專(zhuān)業(yè)類(lèi)型進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，則理學(xué)專(zhuān)業(yè)和工學(xué)專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取60人和40人

C.若按專(zhuān)業(yè)類(lèi)型進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，則張三被抽到的可能性比李四大

D.該問(wèn)題中的樣本容量為200

【答案】C

【解析】

【分析】

由分層抽樣的定義以及分層抽樣的特點(diǎn)判斷選項(xiàng)A、B、C,利用樣本容量的定義判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,采用分層隨機(jī)抽樣更合理，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,理學(xué)專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為200x^=60,工學(xué)專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為200x^=40,故B正確；

10010()

對(duì)于選項(xiàng)C,張三與李四被抽到的可能性一樣大，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,該問(wèn)題中的樣本容量為200,故D正確.

故選：D.

變式3.某工廠(chǎng)利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行001,002,....599,600.

從中抽取60個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的

第6個(gè)樣本編號(hào)是()

33211834297864560732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.457B.328C.253D.072

【答案】D

【解析】

【分析】

從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，求得前6個(gè)編號(hào)，由此得到結(jié)果.

【詳解】

解：從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，

得到的前6個(gè)編號(hào)分別是：253,313,457,007,328,072,

則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是072.

故選：D.

類(lèi)型二：數(shù)據(jù)特征

例L如圖是某賽季兩位籃球運(yùn)動(dòng)員最近10場(chǎng)比賽中各自得分的莖葉圖，兩人的平均得分分別為嘉得則下列

結(jié)論正確的是（）

甲乙

97444321109

202012246

358

A.瓦〈豆，甲比乙穩(wěn)定B.無(wú)，乙比甲穩(wěn)定

C.焉〉片,甲比乙穩(wěn)定D.惠〉窿，乙比甲穩(wěn)定

【答案】A

【解析】

【分析】

比較甲乙兩人的平均值，和他們成績(jī)的集中分散情況，可得答案.

【詳解】

——1

根據(jù)莖葉圖可知，xifl=-(114-12+134-3x14+17+19+20+22)=15.6,

—1

X乙丁(1°+19+2°+21+22x2+24+26+35+38)=23.7，

222

S'J2K"T5.6)+(12-15.6)+…+(20-15.6)2+(22-]5.6)]=12.24,

S/=；[(10-23.7)2+(19-23.7)2+…+(20-15.6尸+(38-23.7))=57.61,

故甲運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)低于乙運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)，但甲的成績(jī)比乙的成績(jī)更集中，

因此甲比乙穩(wěn)定，

故選:A.

例2.已知數(shù)據(jù)知它,…,”的平均數(shù)為“，方差為b,中位數(shù)為c,極差為4.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)加必…，為)，

其中％=2'+甲=1,2,…,60),則下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.+1B.新數(shù)據(jù)的方差是4。

C.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2cD.新數(shù)據(jù)的極差是2d

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)、極差的定義求解.

【詳解】

解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椤?”?,+%,所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為—+丫????+%=—+/++/)+60=稅+],故選

0()(X)0()

項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榉?5一'+(x「3+…+(%-4,所以新數(shù)據(jù)的方差為

[y-（2q+l）]~+[%~~（2a+l）]~+???+1）%）-（2〃+1）『_12（內(nèi)―4）]一+[2（七—+…+[2（%）-a）「

-60-60-

=4[（占-”+心-4+...+1-°）1=4b,故選項(xiàng)B正確，

60

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)據(jù)引，巧，…，%的中位數(shù)為c,所以新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2c+l,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)數(shù)據(jù)X-巧，…，%中%最大，％,最?。ㄆ渲朽ㄅ?（）,啜M60,“eN*,meN*）,則乙-匕=”，

所以新數(shù)據(jù)的極差是%-=2x.+l-（2x?,+l）=2J,故選項(xiàng)D正確，

故選：C.

例3.已知數(shù)據(jù)34+2,3七+2,3看+2,3》4+2的平均數(shù)為11,則數(shù)據(jù)2牛2%,202%的平均數(shù)為（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用平均數(shù)的公式求出占+々+W+七=%,再利用平均數(shù)的公式可求得結(jié)果

【詳解】

山題意知3%+2+3*2+2+3玉+2+35+2=44,

所以占+馬+%+匕=12,

所以2%+2%+2%+2苫4=24,故其平均數(shù)為2三4=6,

4

故選：B.

變式1.耀華全體學(xué)生參加了主題為“致敬建黨百年，傳承耀華力量”的知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)

統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫(huà)出頻率分布

直方圖如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）

頻率/組距

A.直方圖中x的值為0.04

B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為30人

C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?4分

D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分

【答案】C

【解析】

【分析】

對(duì)A：利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解：對(duì)B：利用頻率與頻數(shù)的關(guān)系即可求解；對(duì)C：利用頻率分布宜方圖

中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解：對(duì)D：利用百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

解：對(duì)A：由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，（0.005+0.01+0.015+X+0.04）xl0=l,解得x=0.03,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)B：在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為400x0015x10=60人，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)C：估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?5x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)D：由圖可知樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為90+吟”x10=95分，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

0.4

故選：C.

變式2.某城市在創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中，為了解居民對(duì)"創(chuàng)建文明城市”的滿(mǎn)意程度，組織居民給活動(dòng)打分（分?jǐn)?shù)為

整數(shù)，滿(mǎn)分100分），從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在［40,100］內(nèi).現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫(huà)

出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示.觀察圖形，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10人

B.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)為75分

C.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)為75分

D.根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)為75分

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)各段的頻率的和等于1,可求出第三段的頻率，進(jìn)而得到頻數(shù)，可判定A；根據(jù)眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高

矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到眾數(shù)的估計(jì)值，可判定B；由中位數(shù)左右兩邊的頻率各為0.5,可以求得中位數(shù)，從而

判定C；同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，將中點(diǎn)值與每一組的頻率相乘再求出它們的和即為平均數(shù)的

估計(jì)值，進(jìn)而判定D.

【詳解】

分?jǐn)?shù)在［60,70）內(nèi)的頻率為1-10x（0.005+0.020+0.030+0.025+0.010）=0.10,

所以第三組［60,70）的頻數(shù)為100x0.10=10（人），故A正確；

因?yàn)楸姅?shù)的估計(jì)值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)，從圖中可看出眾數(shù)的估計(jì)值為75分，故B正確；

因?yàn)?0.005+0.020+0.010)x10=0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+0.03)x10=0.65>0.5,

所以中位數(shù)位于［70,80),設(shè)中位數(shù)為“，則0.35+(4-70)x0.03=0.5,解得”=75,故C正確;

樣本平均數(shù)的估計(jì)值為：45x0.05+55x0.2+65x0.1+75x0.3+85x0.25+95x0.1=73（分），故D錯(cuò)誤.

故選：D.

變式3.某商場(chǎng)開(kāi)通三種平臺(tái)銷(xiāo)售商品，五一期間這三種平臺(tái)的數(shù)據(jù)如圖1所示.該商場(chǎng)為了解消費(fèi)者對(duì)各平臺(tái)銷(xiāo)

售方式的滿(mǎn)意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進(jìn)行滿(mǎn)意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示.下列說(shuō)法正確

的是()

圖1圖2

A.樣本中對(duì)平臺(tái)一滿(mǎn)意的消費(fèi)者人數(shù)約700

B.總體中對(duì)平臺(tái)二滿(mǎn)意的消費(fèi)者人數(shù)為18

C.樣本中對(duì)平臺(tái)一和平臺(tái)二滿(mǎn)意的消費(fèi)者總?cè)藬?shù)為60

D.若樣本中對(duì)平臺(tái)三滿(mǎn)意的消費(fèi)者人數(shù)為120,則〃?=90%

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.

【詳解】

對(duì)于A：樣本中對(duì)平臺(tái)一滿(mǎn)意的人數(shù)為2000x6%x35%=42,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：總體中對(duì)平臺(tái)二滿(mǎn)意的人數(shù)約為1500x20%=300,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：樣本中對(duì)平臺(tái)一和平臺(tái)二滿(mǎn)意的總?cè)藬?shù)為：2000x6%x35%+1500x6%x20%=60,故選項(xiàng)C正確:

120

對(duì)于D：對(duì)平臺(tái)三的滿(mǎn)意率為一一/一=80%,所以加=80%,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

2500x6%

故選：c

類(lèi)型三：古典概型

例1.已知某班英語(yǔ)興趣小組有4名男生和3名女生，從中任選2人參加該校組織的英語(yǔ)演講比賽，則恰有1名女

生被選到的概率是（）

34D

AB.一C.一-1

-777

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中所包含基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，從這7名學(xué)生中任選2人，共有C；=21種選法,

其中恰有1名女生被選到的選法有C；C；=12種,

124

所以恰有1名女生被選到的概率是尸=五=,

故選：C.

例2.《周易》是我國(guó)古代典籍，用"卦"描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、

離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中"―”表示一個(gè)陽(yáng)爻，"一—”表示一個(gè)陰爻）.若從八卦中任取兩卦,

這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）

3c3

A.5C.—D.-

28144

【答案】C

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】

根據(jù)八卦圖可知：8個(gè)卦中含有兩個(gè)以上陽(yáng)爻的有1個(gè)，有兩個(gè)陽(yáng)爻的有3個(gè)，分別為離、巽、兌，有一個(gè)陽(yáng)爻的

有3個(gè)，分別為震、艮、坎，無(wú)陽(yáng)爻的有1個(gè)，為坤，

選的兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻，可以從有兩個(gè)陽(yáng)爻的離、巽、兌中選一個(gè)，另一個(gè)選坤，

這種選法有C；C；=3種；

也可以從有一個(gè)陽(yáng)爻的震、艮、坎中選兩個(gè)，這種選法有C；=3種，

從八卦中任取兩卦的選法有C；=28種，

則從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為翌4=^.

。14

故選：C.

例3.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事."田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等

馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬."雙方從各自的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行

一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.；

6432

【答案】C

【解析】

【分析】

記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為。，b,C,齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C,然后列

出所有的情況和滿(mǎn)足所求事件的情況即可得到答案.

【詳解】

依題意，記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為。，b,c,齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C.

由題意可知，可能的比賽為，泊，bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC,共9種，

其中田忌可以獲勝的事件為aS,aC,bC,共3種，

則田忌的馬獲勝的概率為尸K

故選：C.

變式L我國(guó)古代認(rèn)為構(gòu)成宇宙萬(wàn)物的基本要素是金、木、水、火、土這五種物質(zhì)，稱(chēng)為“五行〃.古人構(gòu)建了金生水、

水生木、木生火、火生土、土生金的相生理論隨機(jī)任取〃兩行〃，則取出的〃兩行〃相生的概率是（）

1111

A.；B.-C.-D.-

2345

【答案】A

【解析】

【分析】

列出隨機(jī)任取"兩行"的所有情況和“兩行"相生的情況，由古典概型概率計(jì)算公式可得答案.

【詳解】

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10種，

其中取出的"兩行"相生的情況有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5種，

所以取出的“兩行"相生的概率

故選：A.

變式2.雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生.某市舉辦“中華經(jīng)典誦寫(xiě)講大賽”，大賽分為四類(lèi)："誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀大

賽、"詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解大賽、"筆墨中國(guó)"漢字書(shū)寫(xiě)大賽、"印記中國(guó)"學(xué)生篆刻大賽.某人決定從這四類(lèi)比賽中任

選兩類(lèi)參賽，則"誦讀中國(guó)"被選中的概率為（）

311

A.-B.-C.—D.一

4246

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知條件得基本事件總數(shù)為C：=6種，符合條件的事件數(shù)為3中，由古典概型公式直接計(jì)算即可.

【詳解】

從四類(lèi)比賽中選兩類(lèi)參賽，共有C：=6種選擇，其中"誦讀中國(guó)"被選中的情況有3種，即

31

"誦讀中國(guó)"和"詩(shī)教中國(guó)"，"誦讀中國(guó)"和"筆墨中國(guó)"，"誦讀中國(guó)"和"印記中國(guó)"，山古典概型公式可得P=2=7,

62

故選：B.

變式3.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5種課外閱讀書(shū)籍，某要從中隨機(jī)選取2種作為學(xué)生寒假閱讀，則其中甲、乙至

少有1種被選取的概率為()

3179

A.—B.-C.—D.—

1021010

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)立事件概率公式，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)事件A:甲、乙至少有1種被選取，因此事件可為：甲、乙都沒(méi)有被選取，

因?yàn)槭瑑x)=,4,所以P(A)=l—P(a=l—,=',

1U1UIu

故選：c

類(lèi)型四：幾何概型

例1.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，它是以直角三角形/8C兩條直角邊NC,8c為直徑向外做

兩個(gè)半圓，以斜邊為直徑向內(nèi)做半圓，三個(gè)陰影區(qū)域分別標(biāo)記為回，0,0.在此圖內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自團(tuán)區(qū)域

的概率記為P(0),取自團(tuán)區(qū)域的概率記為尸(團(tuán))，取自回區(qū)域的概率記為尸(0),則()

A.P(0)=P(0)+P(0)

B.P(0)>P(0)+P(0)

C.P(0)<P(E)+P(E)

D.P(團(tuán))與P(0)+P(回)的大小與直角三角形/8C的大小有關(guān)

【答案】A

【解析】

【分析】

運(yùn)用勾股定理及幾何概率知識(shí)可求解.

【詳解】

設(shè)陰影圖所在半圓的直角邊為。，陰影團(tuán)所在半圓的直角邊為仇直角三角形斜邊為C,則/+從=02,目

—ab.,

P(n=_____2_______=4—

2

1"+四/+々24ab+7tc'