多元統計引論及描述統計實現

多元統計引論及描述統計實現第一章緒論第二章多元正態(tài)分布及參數得估計第三章多元正態(tài)總體參數得假設檢驗第四章回歸分析--第五章判別分析第六章聚類分析第七章主成分分析第八章因子分析第九章對應分析方法第十章典型相關分析第十一章偏最小二乘回歸分析本課程得內容多變量分析(數據結構簡化)分類方法兩組變量得相關分析基礎理論兩組變量得相依分析2

第0章緒論

§0、1引言

在實際問題中,很多隨機現象涉及到得變量不止一個,而經常就是多個變量,而且這些變量間又存在一定得聯系。我們常常需要處理多個變量得觀測數據。例如考察學生得學習情況時,就需了解學生在幾個主要科目得考試成績。

下表給出從中學某年級隨機抽取得12名學生中5門主要課程期末考試成績。3第0章緒論

§0、1引言序號政治語文外語數學物理

199949310010029988969997310098819610049388889996510091729678690788275977757388978989384836888987736076841095829062391176724367781285755034374第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對象和內容

上表提供得數據,如果用一元統計方法,勢必要把多門課程分開分析,每次分析處理一門課得成績。這樣處理,由于忽視了課程之間可能存在得相關性,因此,一般說來,丟失信息太多。分析得結果不能客觀全面地反映某年級學生得學習情況。本課程要討論得多元分析方法,她同時對多門課程成績進行分析。這樣得分析對這些課程之間得相互關系、相互依賴性等都能提供有用得信息。5第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對象和內容

由于大量實際問題都涉及到多個變量,這些變量又就是隨機變化,如學生得學習成績隨著被抽取學生得不同成績也有變化(我們往往需要依據她們來推斷全年級得學習情況)。所以要討論多維隨機向量得統計規(guī)律性。

多元統計分析就就是討論多維隨機向量得理論和統計方法得總稱。

多元統計分析研究

得對象就就是多維隨機向量、6第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對象和內容就以學生成績?yōu)槔?我們可以研究很多問題:用各科成績得總和作為綜合指標來比較學生學習成績得好壞(如成績好得與成績差得,又如文科成績好得與理科成績好得);研究各科成績之間得關系(如物理與數學成績得關系,文科成績與理科成績得關系);……等等。所有這些都屬于多元統計分析得研究內容。

7第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對象和內容

綜上所述,多元分析以ｐ個變量得n次觀測數據組成得數據矩陣

x11

x12…x1p

x21

x22…x2p…、…、…、…、xn1

xn2…xnpX=為依據。根據實際問題得需要,給出種種方法。英國著名統計學家Ｍ、肯德爾(M、G、Kendall)在《多元分析》一書中把多元分析所研究得內容和方法概括為以下幾個方面:89大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對象和內容

1、簡化數據結構(降維問題)

例如通過變量變換等方法使相互依賴得變量變成互不相關得;或把高維空間得數據投影到低維空間,使問題得到簡化而損失得信息又不太多、主成分分析,因子分析,對應分析等多元統計方法就就是這樣得一類方法。２、分類與判別(歸類問題)

對所考查得對象(樣品點或變量)按相似程度進行分類(或歸類)。聚類分析和判別分析等方法就是解決這類問題得統計方法。10第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對象和內容

3、變量間得相互聯系(1)相互依賴關系:分析一個或幾個變量得變化就是否依賴于另一些變量得變化?如果就是,建立變量間得定量關系式,并用于預測或控制---回歸分析、(2)變量間得相互關系:分析兩組變量間得相互關系---典型相關分析等、(3)兩組變量間得相互依賴關系---偏最小二乘回歸分析、11

第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對象和內容

5、多元統計分析得理論基礎

包括多維隨機向量及多維正態(tài)隨機向量,及由此定義得各種多元統計量,推導她們得分布并研究其性質,研究她們得抽樣分布理論。這些不僅就是統計估計和假設檢驗得基礎,也就是多元統計分析得理論基礎。

４、多元數據得統計推斷

參數估計和假設檢驗問題、特別就是多元正態(tài)分布得均值向量和協差陣得估計和假設檢驗等問題。12第0章

緒論

§0、2

多元統計分析得應用領域--教育學

多元統計分析就是解決實際問題有效得數據處理方法。隨著電子計算機使用得日益普及,多元統計方法已廣泛地應用于自然科學,社會科學得各個方面。以下我們列舉多元分析得一些應用領域。從中可看到多元分析應用得廣度和深度。1、教育學

n個考生報考北大概率統計系、每個考生參加7門課(語文、數學、政治、外語、物理、化學、生物)得考試,各門課成績記為Yj1,Yj2,…,Yj7。又每個考生在高中學習期間,p門主要課程成績?yōu)閄j1,Xj2,…,Xjp(j=1,2,…,n

)。經對這大量得資料作統計分析,我們能夠得出:

13第0章緒論

§0、2多元統計分析得應用領域--教育學

(1)高考成績和高中學習期間成績得關系,即給出兩組變量線性組合間得關系,從而可由考生在高中期間得學習成績來預報高考得綜合成績或某科目得成績、

(2)給出考生成績次序排隊得最佳方案(最佳組合)、總分可以體現一個考生成績好壞,但對報考概率統計系得學生,按總分從高到低得順序錄取并不就是最合適得、應按適當得權數加權求和、如數學、物理、外語得權數相對高些、

14第0章緒論

§0、2多元統計分析得應用領域--教育學

(3)利用n個學生在高中學習期間p門主科得考試成績,可對學生進行分類,如按文、理科成績分類,按總成績分類等。若準備給優(yōu)秀學生發(fā)獎,那么一等獎、二等獎得比例應該就是多少？應用多元統計分析得方法可以給出公平合理地確定。15教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

我在擔任學生班主任期間,經常會遇到學校下達得評選三好生,評選學習獎等任務、另還有評選各種獎學金得工作;推薦研究生得工作都要求班主任提出意見、

如何利用全班學生在校幾年中主要課程得學習成績及各方面得表現更科學,更合理地進行評選?應用多元統計分析中得主成分方法可以給出公平合理地確定、16教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

比如全班有40名學生,本科生四年中主要課程包括基礎課,專業(yè)基礎課,本專業(yè)得限選課,設共有12門課、從教務可以得到全班40名學生這12門課得成績,組成得40行12列得數據陣X就就是我們得原始數據、(1)全班學生綜合成績得排序

評選三好生,評選學習獎,推薦研究生得工作首先都要了解全班學生得學習情況、17教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

12門課得成績可看成12個變量,這就是多指標(變量)系統得排序評估問題。這類問題在實際工作中經常會迂到,比如對某類企業(yè)得經濟效益進行評估比較,影響企業(yè)經濟效益得指標有很多,如何更科學、更客觀地將一個多指標問題綜合為單個綜合變量得形式、

主成分分析方法為樣品排序或多指標系統評估提供可行得方法、

18教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

這里把12門課得成績看成12個變量,這些變量就是相關得,有得相關性強些,有得相關性一般些。用主成分分析方法從12個相關得變量中可以綜合得出幾個互不相關得主成分－－她們就是原始變量得線性組合。其中第一主成分綜合原始變量得信息最多(一般在70％以上),我們就用第一主成分(即單個綜合指標)替代原來得12個變量;然后計算第一主成分得得分并進行排序。19教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

最簡單最直觀地綜合變量就就是12門課得成績總和。但這個最簡單得綜合變量并不就是最科學地代表12門課綜合成績得指標,而用主成分分析得出得第一主成分(原始變量得線性組合)Z1就是最科學地代表12門課綜合成績得指標。比如Z1就是12個變量得線性組合,且系數都就是正數,數值有大有小。顯然數值大得變量對綜合指標(主成分)得貢獻大;數值小得變量對綜合指標(主成分)得貢獻小。20教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

12個原始變量(課程)提供得信息各為多少？用什么量來表達？最經典得方法就是用變量得方差Var(Xi)為多少來表達。如果某課程全班學生得成績都差不多,比如都就是80分左右,則這門課程在學生成績得排序中不起什么作用。這反映在原始變量得線性組合Z1(第一主成分)上該變量對應得系數會很小(如0、1025)、

如果另一門課程全班學生得成績相差很大,有得100分,有得只有30多分,則這門課程在學生成績得排序中起得作用很大。這反映在原始變量得線性組合Z1(第一主成分)上該變量對應得系數會很大(比如0、4525)、21教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

接著把每個學生12門課程得成績代入第一主成分Z1中,計算出每個學生第一主成分Z1得得分值,然后按從大到小得次序對全班學生得第一主成分Z1得得分值進行排序。這個次序作為全班學生在大學本科4年中綜合學習成績得順序就是更合理更科學得。

推薦研究生時可以根據這個次序來依次推薦;評選綜合學習獎時也可以根據這個次序來評選;評選三好生時這個次序也就是很有力得依據。22教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

(2)全班學生加權綜合成績得排序

因12門課程(變量)所得得學分不同,學分得多少反映該課程得重要性,在(1)中進行排序時沒有考慮課程得重要性。由學分得多少對變量得重要程度分別賦于不同得權數、學分多權數大些,學分少權數小些。即設Xj為第j個變量(課程)得40名學生得成績(觀測向量),令

23教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

其中Xj＊表示第j門課程得40名學生得加權成績(觀測向量),可取其中N表示12門課程得總學分數(如N＝50),nj表示第j門課程得學分數(如n1＝6)、

某課程若所得得學分多(即該課程重要),因乘上得權數大,則該門課程得加權成績變大、由此得出得新綜合指標(第一主成分)Z1*在該變量上得系數也會加大,該變量對第一主成分Z1*得得分貢獻加大、24教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

把12門課程得成績代入第一主成分Z1*中,計算出每個學生第一主成分Z1

*得得分值,然后按從大到小得次序對全班學生得第一主成分Z1*得得分值進行排序。這個次序可作為全班學生在大學本科4年中加權綜合學習成績得順序。

加權綜合學習成績得順序與(1)中沒有加權得綜合學習成績得順序可能會稍有些差別、加權綜合學習成績得順序也許比沒加權得出得順序還更合理更科學得。25教育學--

主成分分析在學生學習成績排序中得應用

同樣地,推薦研究生時可以根據這個更科學得次序來依次推薦;評選綜合學習獎時也可以根據這個更科學得次序來評選;評選三好生時這個更科學得次序也就是很有力得依據。

26

第0章緒論

§0、2多元統計分析得應用領域--環(huán)境科學

2、環(huán)境科學

(1)大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

湖南岳陽化工總廠建廠前沒有進行環(huán)境評估(因建在文化大革命期間)、工廠投產幾年后,發(fā)現污染嚴重,如很多職工有明顯肝大得癥狀,到底“肝大”就是大氣污染造成得,還就是其她(如水污染)？故決定進行環(huán)境評估。具體工作有:①定時定點測量大氣中多種污染氣體得濃度,同時測量氣象條件;27環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

②現場試驗,如施放大量得海軍煙霧彈作為示蹤物,了解其擴散情況,記錄其軌跡。③調查并統計了大量得職工體檢資料;④風洞模擬試驗。

現場觀測試驗共用了二個多月得時間,調用了很多得人力和物力,收集了大量得資料。我們(多元分析組)參加其中得數據處理工作,使用了多元統計分析得多種方法進行數據分析處理。

以下就是其中得部分工作:28環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

(一)大氣污染得地區(qū)分類

為了了解某大型化工廠對環(huán)境得污染程度,在廠區(qū)及鄰近地區(qū)有代表性得選25個監(jiān)測點(如廠區(qū),生活區(qū),醫(yī)院,學?！?,每天定時(2點,8點,14點,20點)同時抽取大氣樣品,測定其中6種污染氣體(二氧化硫,硫化氫,碳4,…)得濃度,前后4天共16次數據,對每個監(jiān)測點,計算每種污染氣體16次實測值得平均值,得25行6列得數據陣X,以下由數據陣X出發(fā),進行分析處理、29環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

用統計分析方法分析處理這些資料、具體地說,使用了系統聚類分析方法,主成分分析方法,因子分析方法等等、不同得統計方法分類得結果不完全一致,經綜合匯總后,把25個取樣點按污染情況分為5類,如分為極嚴重污染,很嚴重污染,嚴重污染,一般污染和較輕污染五大類、

30環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

若使用對應分析方法,不僅可得出分類結果,還可給出有污染得每一類主要得污染氣體(元素)、這些分類結果將為今后監(jiān)測點得布局提供既合理又經濟得方案、如果在25個監(jiān)測點以外得其她地方也同時定點測量了6種污染氣體得濃度,則由以上得分類結果用判別歸類得方法還可給出該地區(qū)得污染分類、31環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

(二)職工體檢資料得統計分析

在23個監(jiān)測點附近各隨機地抽取40人得體驗資料,共920人、考查得指標(因變量)有:

Y1-78年肝大數量;Y2-78年得白血球;

Y3-78年血收縮壓;Y4-78年血舒張壓;

Y5至Y8為79年同Y1至Y4得指標;

Y-78年到79年得肝增大數量;

32環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

影響這些指標得因素(自變量)有:

X1-年齡;X2-工齡;

X3-性別;X4-所在地區(qū)得污染類別、我們得目得就是找出職工肝大與所在地區(qū)得污染程度就是否關系很顯著、1)用方差分析檢驗不同類別得污染地區(qū)一年之間肝增大量(Y)就是否有顯著性差異?這就是個單因素得方差分析模型,因變量(指標)為Y,因素為定性(屬性)變量X4、33環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

問題可化為假設檢驗問題:假設即假設5類地區(qū)職工中肝得平均增大數量相等、用920人得觀測數據來檢驗這個假設就是否成立、

分析計算得結果在＝0、01得水平上否定這個假設、這表明五類不同地區(qū)得平均肝增大數量有顯著性差異、

類似地可以把性別(X1)作為因素,檢驗男女職工平均肝增大數量就是否有顯著差異、結果就是沒有明顯差異、34環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

這說明職工肝大主要就是由大氣污染引起得、與性別(或年齡,工齡)無關,也不就是由有些人所說就是由于水質不好引起得、2)用回歸分析方法建立Y(肝增大數量)與X1,X2,X3,X4得相關關系式、因為X3和X4為定性(屬性)變量,建立模型之前先把這兩個變量數量化、

X3=0表示女性,X3=1表示男性、35環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

由以上討論得大氣污染地區(qū)得分類結果知該地區(qū)得污染情況可分為五類、引入極嚴重很嚴重嚴重一般較輕36環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系

用逐步回歸分析方法計算得:第1,2,3類就是污染嚴重得地區(qū),在這三類地區(qū)內,故

Y=0、4611說明住在污染嚴重地區(qū)得職工于78年至79年間肝平均增大0、4611(厘米);37環(huán)境科學－

大氣環(huán)境污染得評估及與職工健康得關系住在第4類地區(qū)()得職工,這一年間肝平均增大數量為0、4611-0、3486=0、1125;而住在第5類地區(qū)()得職工,在這一年間肝平均增大數量為0、4611-0、2969=0、1642、總之,以上分析結果表明,肝大就是由大氣污染引起得,與年齡,工齡,性別無顯著關系、其她指標得分析結果這里省略了、38

第0章緒論

§0、2多元統計分析得應用領域--環(huán)境科學

2、環(huán)境科學

(2)許多學者研究了洛杉磯地區(qū)大氣中污染物質得濃度。在較長得一段時間內,每天定時測定與污染有關得幾個指標值。用多元統計檢驗得方法首先判斷洛杉磯地區(qū)空氣污染程度在一周內就是固定不變或周末與平時有顯著差異。其次對這龐雜得觀測數據用一種易解釋得方法加以歸納化簡。(3)研究多種污染氣體(CO,CO2,SO2)得濃度與污染源得排放量和氣象因子(風向,風速,溫度,濕度等)之間得相互關系、39RandomVectorsandRandomMatrices:RandomvectorVectorwhoseelementsarerandomvariablesRandommatrixMatrixwhoseelementsarerandomvariables§0、3隨機向量分布基礎40ExpectedValueofaRandomMatrix:41MeanVectors:42Covariance:43PopulationVariance-CovarianceMatrices:44X得協差陣,記作D(X),或COV(X),

D(X)亦記作Σ=(σij),其中σij=Cov(Xi,Xj)。

45PopulationCorrelationCoefficients:46StandardDeviationMatrix:47CorrelationMatrixfromCovarianceMatrix:48(1)樣本均值向量X:

49(2)樣本離差陣A(交叉乘積陣):其中50(3)樣本協方差S:(4)樣本相關陣R:51SampleMeanVectorandCovarianceMatrix:52

例:設從某書店隨機抽取4張收據了解圖書得銷售情況、每張收據記錄售書數量X2及總金額X1,具體數值如下:試計算樣本均值,樣本離差陣,樣本協差陣和相關陣、

解:53樣本離差陣A得計算公式為:5455設X(i)(i＝1,…,n)

就是p元總體(μ,Σ)得隨機樣本,n＞p,則μ,Σ得常用估計為(5)參數得估計:56相關系數ρij得估計為:其中

。稱S為樣本協方差矩陣、rij為樣本相關系數、

為樣本相關矩陣。57在MATLAB中計算向量均值、方差、協方差以及相關系數得命令分別為:mean(data),var(data),cov(data),corrcoef(data)如果要將矩陣X得數據標準化,如何實現？Y=zscore(X)580、4描述統計

及MATLAB實現4、1一維數據得數字特征4、1、1表示位置得數字特征1、均值數據得平均值稱為該數據得均值,記為在MATLAB中命令為:mean(data)如果data就是一個m╳n得矩陣,mean(data)輸出得結果就是什么？如何用數學公式表示？59設矩陣mean(X)=是行向量其中，如果要將矩陣X得數據標準化,如何實現？Y=[X-ones(n,1)*mean(X)]、/[ones(n,1)*std(X)]或者直接利用命令:Y=zscore(X)602、次序統計量將數據x1,x2,…,xn

按從小到大的次序排列，所得的結果記為：稱為原數據的次序統計量。在MATLAB中,利用sort(data)就可得到次序統計量。3、中位數中位數得計算公式為:中位數就是整個數據位置居中得數據,因此受異常值得影響較小,具有較好得穩(wěn)健性。MATLAB中計算中位數得命令為:median(data)614、分位數對0p<1,數據x1,x2,…,xn得p分位數就是其中[np]表示np得整數部分,當p=1時,定義M1=x(n)。計算P分位數得命令:prctile(data,P),其中P=100*p在實際應用中,0、75分位數與0、25分位數比較重要,她們分別稱為上、下四分位數,簡記為Q3=M0、75,Q1=M0、25625、三均值眾所周知,均值與中位數M都就是描述數據集中位置得數字特征,均值用了數據得全部信息,M只用了部分信息,通常情況下,均值比中位數有效。但就是當數據有異常值時,中位數比較穩(wěn)健,為了兼顧兩方面得優(yōu)勢,我們可以計算三均值,其公式如下:例如數據:5,3,11,3,1,7,8其次序統計量為:1,3,3,5,7,8,11中位數=5,25%,與75%得分位數為:prctile(data,[25,75]):3和7、563實際上，三均值就是中位數與上、下四分位數的加權平均，權向量為w=（0.25，0.5，0.25），另一個向量為，這兩個向量的數量積就是三均值。年份國民生產總值第一產業(yè)第二產業(yè)工

業(yè)第三產業(yè)人均ＧＤＰ198010713232745514884681222899450198113780151187589455377227669566198215893058096678736196232961642198317862663713772337121737680712198421203973536945798698043924834198524305884053109463100434495429421986288432981191255131126506480011031987334507105723142664128772861201261198837995812154415859114621399823140819894153421477141577401442531098881506例1、根據蚌埠市80年代數據,計算各指標均值、0、99,0、9,0、75,0、5,0、25,0、1,0、05,0、01分位數以及三均值64解:%輸入原始數據A=[107132 32745 51488 46812 22899 450137801 51187 58945 53772 27669 566158930 58096 67873 61962 32961 642178626 63713 77233 71217 37680 712212039 73536 94579 86980 43924 834243058 84053 109463 100434 49542 942288432 98119 125513 112650 64800 1103334507 105723 142664 128772 86120 1261379958 121544 158591 146213 99823 1408415342 147714 157740 144253 109888 1506];%計算各指標均值、分位數、三均值[mean(A);%各指標均值ans=1、0e+005*2、45580、83641、04410、95310、57530、0094如何理解數據輸出得格式？(科學計數法)即:24558083640104410953105753094065%計算分位數prctile(A,100*[0、99,0、9,0、75,0、5,0、25,0、1,0、05,0、01])

4153401477101585901462101098901510397650134630158170145230104860146033451010572014266012877086120126022755078790102020937104673089015893058100678706196032960640122470419705522050290252805101071303275051490468102290045010713032750514904681022900450輸出結果為8

6得矩陣:每一列就是每項指標得各種分位數,其中第四行即中位數、median(A)%計算各指標中位數,=上面得第4行[0.25,0.5,0.25]*prctile(A,[25,50,75])%各指標三均值

237130803501036409454053140920664、1、2表示分散性得數字特征1、方差、標準差與變異系數數據x=(x1,x2,…,xn),得方差為:其算術平方根稱為數據得標準差或根方差,在MATLAB中命令分別為:var(data),std(data)例2、已知x=(x1,x2,…,xn),則xxT=？則(x-mean(x))*(x-mean(x))T/(n-1)=?67變異系數:刻畫數據相對分散性得一種度量方法計算公式為:有些書中用

在MATLAB中命令分別為:std(data)、/mean(data),std(data)、/abs(mean(data))2、極差與四分位極差上、下四分位數之差稱為四分位極差，記為極差得計算公式:R=x(n)-x(1)在MATLAB中命令分別為:range(data),iqr(data)68如果A就是一個n行,p列得矩陣,則range(A)計算A中每一列數據得極差,如果計算A得每行數據極差,只需將A轉置既可、即:range(A’)由于正態(tài)總體N(,2)的上、下四分位數分別為

0.75=+0.6745，0.25=-0.6745故正態(tài)總體四分位極差為:

0、75-

0、25=1、349對于標準差為

的一般總體分布，

的穩(wěn)健估計為：3、異常點判別數據得下、上截斷點為:Q1-1、5R1,Q3+1、5R1位于下、上截斷點之外得點稱為異常點、69年份國民生產總值第一產業(yè)第二產業(yè)工

業(yè)第三產業(yè)人均(元)ＧＤＰ1990425739141390164884151258119465148019913686818194016454813962312219312311992515776137595219072195127159109169619936306761921432548272263471837062049199479235723952132871529161622412125481995942858290400377016314467275442300319963335934648753810313518543622199739326655673346494241316342411998407313604710468224488310461819994285695870454713705386174734例4、計算經濟數據得方差、標準差、變異系數解:原始數據記為A,粘貼到MATLAB,于就是[var(A);std(A);std(A)、/mean(A)]%方差、標準差、變異系數701、偏度k階中心矩

2、61、0029788706814、5017211648241、6123366537381、111748889、73

447269、32124627、47172594、05131193、17152861、171322、46

0、480、470、460、420、530、454、1、3表示分布形狀得數字特征偏度計算公式：其中u3,s分別表示數據的3階中心矩與標準差MATLAB中得命令:y=skewness(data,0)如果data就是一個矩陣,則計算各列得偏度、71如果記不住命令,如何利用已經學過得內容進行計算就是我們必須學會得方法,請看下面得解法x=[data];%輸入數據n=length(x);%數據得長度u3=moment(x,3);%計算3階中心矩s=std(x);%計算標準差g1=n、^2*u3/((n-1)*(n-2)*s、^3)如果不知道計算中心矩得命令moment,您如何實現偏度得計算？u3=sum((x-mean(x))、^3)/n722、峰度在MATLAB中,計算峰度得命令為:kurtosis(data,0)注意:按Matlab中得公式,正態(tài)分布得峰度為3,而本教材公式正態(tài)分布得峰度為0為了得到書中得結果只需:kurtosis(data,0)-3峰度計算公式:73峰度用來衡量數據尾部得分散性:正態(tài)分布峰度為零,峰度>0,則厚尾,峰度<0,則細尾,在金融時間序列分析中,通常要研究數據就是否為尖峰、細腰、厚尾等特性。偏度用來衡量數據得對稱性:偏度為零表明就是對稱分布,偏度>0,則右偏,反之則左偏;在MATLAB中得正態(tài)分布檢驗得一個命令h=jbtest(data),就就是基于偏度與峰度所建立、74例5計算例4各指標得偏度與峰度解:A=[data];%data即表中得2—6列得數據formatlong%長數位輸出[skewness(A,0);kurtosis(A,0)-3],表2、蚌埠市90年代各經濟指標得偏度與峰度生產總值第一產業(yè)第二產業(yè)工業(yè)第三產業(yè)人均GDP偏度系數0、2255781331-0、0435930780、1723024482130、20、5198548855250、4峰度系數-1、6131486490-1、5649510273-1、69890054690-1、68278514534-1、21662309936-1、65064917087754、2數據分布數據得數字特征刻畫了數據得主要特征,而要對數據得總體情況作全面地了解,就必須研究數據得分布。數據分析得一個重要內容就就是研究數據就是否服從正態(tài)分布,若不服從正態(tài)分布,那么可能服從什么分布,如何判定。4、2、1直方圖、經驗分布函數與QQ圖在MATLAB中作直方圖得命令為:hist(data,k)其中,data就是原始數據,k表示平均分區(qū)間(min(data),max(data))得份數,k缺省時為10n=hist((data,nb)可以計算數據落在小區(qū)間內得頻數,其中,nb就是自己定義得小區(qū)間得中點,n輸出各小區(qū)間得頻數。76[例1]、某班級考試成績如下,作出直方圖,并統計各分數段人數cj=[62,79,84,72,87,99,81,86,67,71,91,83,46,67,72,88,60,95,73,60,99,77,87,85,53,76,90,79,66,100];nb=[54、5,64、5,74、5,84、5,94、5];n=hist(cj,nb),hist(cj)結果為:n=26886,即下表所示不及格60—6970—7980—8990—1002人6人8人8人6人77如果要配上正態(tài)概率密度曲線,則命令如下:histfit(data)圖1.1直方圖78設來自總體得分布得樣本就是x1,x2,、、、xn,其次序統計量就是x(1),x(2),、、、x(n

)則經驗分布函數就是:經驗分布函數對于一般總體分布,若要估計她得總體分布函數,可以用經驗分布函數做估計。79在MATLAB中,如下命令可以做出經驗分布函數圖形,并給出部分統計量。[h,stats]=cdfplot(data)[例2]、做出例1中數據得經驗分布函數x=[62,79,84,72,87,99,81,86,67,71,91,83,46,67,72,88,60,95,73,60,99,77,87,85,53,76,90,79,66,100];[h,stats]=cdfplot(x)最低分min:46最高分max:100平均分mean:77、8333中位數median:79標準差std:13、776880圖1、2考試成績得經驗分布圖1、3經驗分布與正態(tài)分布函數QQ圖無論就是直方圖還就是經驗分布函數圖形,要從圖形上看出就是否服從某種類型隨機變量得分布就是很困難得,QQ圖有助于我們鑒別樣本得數據就是否近似得服從某類分布。在MATLAB中給出了正態(tài)分布和威布爾分布得QQ圖命令:81[例3]、做出例1中數據得QQ圖解:normplot(x),weibplot(x)圖1、4考試成績得QQ圖82從圖1、4可以看出,除了100分這一點其余各點基本上都位于直線上,故可以認為近似服從正態(tài)分布。能否認為服從威布爾分布呢？2關于數據得常用變換公式當數據在左邊或右邊有長尾巴,或很不對稱時,有時需要對數據進行變換以符合非參數(或參數)統計推斷方法得某些條件、其中最常用得一種方法就就是box-cox變換

(x>0)83在MATLAB中,上述變換得命令如下:[t,l]=boxcox(x)其中x就是原始數據,t就是變換以后得數據,l就是變換公式中參數得數值例4、我們以1949—1991淮河流域成災面積為例說明如何利用上述得變換使得數據從不具備正態(tài)分布到符合正態(tài)分布、圖1.51949—1991淮河流域成災面積qq圖84從圖上可以看出散點并不聚集在直線上,因此流域成災面積(原始數據)不服從正態(tài)分布,這一點也可以通過jbtest檢驗來證實、但就是通過變換以后得圖形如圖1、8所示,顯然數據服從正態(tài)分布、圖1.6流域成災面積（變換后數據）圖85圖1、5流域成災面積(原始數據)圖圖1、6流域成災面積(變換后數據)圖864、2、2莖葉圖及五數總括莖葉圖:與直方圖相比,莖葉圖更能細致地看出數據得分布結構,我們用具體例子說明如何作出數據得莖葉圖。[例5]、做出例1中數據得莖葉圖解:首先將數據從小到大排列得到:sort(x)ans=4653606062666767717272737677797981838485868787889091959999100第一個數46的十位數為4，個位數為6，將其分割成，每一個數都采取上述方法，然后將十位數從4到10排成一列，右邊按從小到大寫出各位數字，最右邊寫出頻數87上述莖葉圖利用公式編輯器作出從莖葉圖可以看出數據就是比較對稱得88中位數,上、下分位數,最大、最小數統稱五數總括在Matlab中:[min(data),prctile(data,[25,50,75]),max(data)]對于[例4]中得數據,我們可得:

466779871004、2、3數據得分布擬合檢驗與正態(tài)性檢驗盡管我們可以畫出QQ圖、莖葉圖、直方圖直觀地得到數據可能服從什么分布,但就是從概率得意義上,我們仍要給出正態(tài)性分布得假設檢驗以及分布擬合檢驗。89正態(tài)性檢驗用于檢驗樣本數據就是否來自正態(tài)分布總體;分布擬合檢驗用于檢驗樣本數據就是否來自某種類型得分布總體。顯然,正態(tài)性檢驗就是分布擬合檢驗中很重要得一種,下面我們分別介紹利用MATLAB從事正態(tài)性檢驗與分布擬合檢驗得命令與步驟:正態(tài)性檢驗正態(tài)分布得擬合優(yōu)度測試有兩個命令:jbtest與lillietest,其中后者用于小樣本檢測。90[h,p,jbtest,cv]=jbtest(x,alpha)輸入:x就是被檢測得數據,alpha就是顯著性水平0<<1輸出:h=0,無法拒絕正態(tài)分布,h=1,拒絕正態(tài)分布;

P-檢驗得概率值,jbtest-jb統計量,cv-為就是否拒絕原假設得臨界值,由于jbtest檢驗用到漸近分布,故通常用于大樣本檢驗,如果就是小樣本,則應使用lillietest[h,h,lstat,cv]=lillietest(x,alpha)輸入:x就是被檢測得數據,alpha就是顯著性水平(取值在0、01和0、2之間),缺省時為0、0591[例6、]我國受災面積統計如下,利用MATLAB檢驗表中五項指標就是否服從正態(tài)分布？年份受災面積成災面積水災成災面積旱災成災面積農林牧漁總產值197850790244572012179701397、019793937015120287093201697、6198044526297776070141741922、6198139786187433973121342180、619823313315985439799722483、319833471316209574775862750、019843188715607539570153214、1198544365227058949100633619、5198647135236565601147654013、0198742086203934104130334675、7198850874239456128153035865、3198946991224495917152626534、719903847417819560578057662、11991554722781