多元統(tǒng)計(jì)引論及描述統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)

多元統(tǒng)計(jì)引論及描述統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)第一章緒論第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)得估計(jì)第三章多元正態(tài)總體參數(shù)得假設(shè)檢驗(yàn)第四章回歸分析--第五章判別分析第六章聚類分析第七章主成分分析第八章因子分析第九章對(duì)應(yīng)分析方法第十章典型相關(guān)分析第十一章偏最小二乘回歸分析本課程得內(nèi)容多變量分析(數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡化)分類方法兩組變量得相關(guān)分析基礎(chǔ)理論兩組變量得相依分析2

第0章緒論

§0、1引言

在實(shí)際問題中,很多隨機(jī)現(xiàn)象涉及到得變量不止一個(gè),而經(jīng)常就是多個(gè)變量,而且這些變量間又存在一定得聯(lián)系。我們常常需要處理多個(gè)變量得觀測(cè)數(shù)據(jù)。例如考察學(xué)生得學(xué)習(xí)情況時(shí),就需了解學(xué)生在幾個(gè)主要科目得考試成績。

下表給出從中學(xué)某年級(jí)隨機(jī)抽取得12名學(xué)生中5門主要課程期末考試成績。3第0章緒論

§0、1引言序號(hào)政治語文外語數(shù)學(xué)物理

199949310010029988969997310098819610049388889996510091729678690788275977757388978989384836888987736076841095829062391176724367781285755034374第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對(duì)象和內(nèi)容

上表提供得數(shù)據(jù),如果用一元統(tǒng)計(jì)方法,勢(shì)必要把多門課程分開分析,每次分析處理一門課得成績。這樣處理,由于忽視了課程之間可能存在得相關(guān)性,因此,一般說來,丟失信息太多。分析得結(jié)果不能客觀全面地反映某年級(jí)學(xué)生得學(xué)習(xí)情況。本課程要討論得多元分析方法,她同時(shí)對(duì)多門課程成績進(jìn)行分析。這樣得分析對(duì)這些課程之間得相互關(guān)系、相互依賴性等都能提供有用得信息。5第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對(duì)象和內(nèi)容

由于大量實(shí)際問題都涉及到多個(gè)變量,這些變量又就是隨機(jī)變化,如學(xué)生得學(xué)習(xí)成績隨著被抽取學(xué)生得不同成績也有變化(我們往往需要依據(jù)她們來推斷全年級(jí)得學(xué)習(xí)情況)。所以要討論多維隨機(jī)向量得統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

多元統(tǒng)計(jì)分析就就是討論多維隨機(jī)向量得理論和統(tǒng)計(jì)方法得總稱。

多元統(tǒng)計(jì)分析研究

得對(duì)象就就是多維隨機(jī)向量、6第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對(duì)象和內(nèi)容就以學(xué)生成績?yōu)槔?我們可以研究很多問題:用各科成績得總和作為綜合指標(biāo)來比較學(xué)生學(xué)習(xí)成績得好壞(如成績好得與成績差得,又如文科成績好得與理科成績好得);研究各科成績之間得關(guān)系(如物理與數(shù)學(xué)成績得關(guān)系,文科成績與理科成績得關(guān)系);……等等。所有這些都屬于多元統(tǒng)計(jì)分析得研究內(nèi)容。

7第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對(duì)象和內(nèi)容

綜上所述,多元分析以ｐ個(gè)變量得n次觀測(cè)數(shù)據(jù)組成得數(shù)據(jù)矩陣

x11

x12…x1p

x21

x22…x2p…、…、…、…、xn1

xn2…xnpX=為依據(jù)。根據(jù)實(shí)際問題得需要,給出種種方法。英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Ｍ、肯德爾(M、G、Kendall)在《多元分析》一書中把多元分析所研究得內(nèi)容和方法概括為以下幾個(gè)方面:89大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對(duì)象和內(nèi)容

1、簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(降維問題)

例如通過變量變換等方法使相互依賴得變量變成互不相關(guān)得;或把高維空間得數(shù)據(jù)投影到低維空間,使問題得到簡化而損失得信息又不太多、主成分分析,因子分析,對(duì)應(yīng)分析等多元統(tǒng)計(jì)方法就就是這樣得一類方法。２、分類與判別(歸類問題)

對(duì)所考查得對(duì)象(樣品點(diǎn)或變量)按相似程度進(jìn)行分類(或歸類)。聚類分析和判別分析等方法就是解決這類問題得統(tǒng)計(jì)方法。10第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對(duì)象和內(nèi)容

3、變量間得相互聯(lián)系(1)相互依賴關(guān)系:分析一個(gè)或幾個(gè)變量得變化就是否依賴于另一些變量得變化?如果就是,建立變量間得定量關(guān)系式,并用于預(yù)測(cè)或控制---回歸分析、(2)變量間得相互關(guān)系:分析兩組變量間得相互關(guān)系---典型相關(guān)分析等、(3)兩組變量間得相互依賴關(guān)系---偏最小二乘回歸分析、11

第0章緒論

§0、1引言--多元分析得研究對(duì)象和內(nèi)容

5、多元統(tǒng)計(jì)分析得理論基礎(chǔ)

包括多維隨機(jī)向量及多維正態(tài)隨機(jī)向量,及由此定義得各種多元統(tǒng)計(jì)量,推導(dǎo)她們得分布并研究其性質(zhì),研究她們得抽樣分布理論。這些不僅就是統(tǒng)計(jì)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)得基礎(chǔ),也就是多元統(tǒng)計(jì)分析得理論基礎(chǔ)。

４、多元數(shù)據(jù)得統(tǒng)計(jì)推斷

參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問題、特別就是多元正態(tài)分布得均值向量和協(xié)差陣得估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等問題。12第0章

緒論

§0、2

多元統(tǒng)計(jì)分析得應(yīng)用領(lǐng)域--教育學(xué)

多元統(tǒng)計(jì)分析就是解決實(shí)際問題有效得數(shù)據(jù)處理方法。隨著電子計(jì)算機(jī)使用得日益普及,多元統(tǒng)計(jì)方法已廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué),社會(huì)科學(xué)得各個(gè)方面。以下我們列舉多元分析得一些應(yīng)用領(lǐng)域。從中可看到多元分析應(yīng)用得廣度和深度。1、教育學(xué)

n個(gè)考生報(bào)考北大概率統(tǒng)計(jì)系、每個(gè)考生參加7門課(語文、數(shù)學(xué)、政治、外語、物理、化學(xué)、生物)得考試,各門課成績記為Yj1,Yj2,…,Yj7。又每個(gè)考生在高中學(xué)習(xí)期間,p門主要課程成績?yōu)閄j1,Xj2,…,Xjp(j=1,2,…,n

)。經(jīng)對(duì)這大量得資料作統(tǒng)計(jì)分析,我們能夠得出:

13第0章緒論

§0、2多元統(tǒng)計(jì)分析得應(yīng)用領(lǐng)域--教育學(xué)

(1)高考成績和高中學(xué)習(xí)期間成績得關(guān)系,即給出兩組變量線性組合間得關(guān)系,從而可由考生在高中期間得學(xué)習(xí)成績來預(yù)報(bào)高考得綜合成績或某科目得成績、

(2)給出考生成績次序排隊(duì)得最佳方案(最佳組合)、總分可以體現(xiàn)一個(gè)考生成績好壞,但對(duì)報(bào)考概率統(tǒng)計(jì)系得學(xué)生,按總分從高到低得順序錄取并不就是最合適得、應(yīng)按適當(dāng)?shù)脵?quán)數(shù)加權(quán)求和、如數(shù)學(xué)、物理、外語得權(quán)數(shù)相對(duì)高些、

14第0章緒論

§0、2多元統(tǒng)計(jì)分析得應(yīng)用領(lǐng)域--教育學(xué)

(3)利用n個(gè)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)期間p門主科得考試成績,可對(duì)學(xué)生進(jìn)行分類,如按文、理科成績分類,按總成績分類等。若準(zhǔn)備給優(yōu)秀學(xué)生發(fā)獎(jiǎng),那么一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)得比例應(yīng)該就是多少？應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析得方法可以給出公平合理地確定。15教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

我在擔(dān)任學(xué)生班主任期間,經(jīng)常會(huì)遇到學(xué)校下達(dá)得評(píng)選三好生,評(píng)選學(xué)習(xí)獎(jiǎng)等任務(wù)、另還有評(píng)選各種獎(jiǎng)學(xué)金得工作;推薦研究生得工作都要求班主任提出意見、

如何利用全班學(xué)生在校幾年中主要課程得學(xué)習(xí)成績及各方面得表現(xiàn)更科學(xué),更合理地進(jìn)行評(píng)選?應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析中得主成分方法可以給出公平合理地確定、16教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

比如全班有40名學(xué)生,本科生四年中主要課程包括基礎(chǔ)課,專業(yè)基礎(chǔ)課,本專業(yè)得限選課,設(shè)共有12門課、從教務(wù)可以得到全班40名學(xué)生這12門課得成績,組成得40行12列得數(shù)據(jù)陣X就就是我們得原始數(shù)據(jù)、(1)全班學(xué)生綜合成績得排序

評(píng)選三好生,評(píng)選學(xué)習(xí)獎(jiǎng),推薦研究生得工作首先都要了解全班學(xué)生得學(xué)習(xí)情況、17教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

12門課得成績可看成12個(gè)變量,這就是多指標(biāo)(變量)系統(tǒng)得排序評(píng)估問題。這類問題在實(shí)際工作中經(jīng)常會(huì)迂到,比如對(duì)某類企業(yè)得經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行評(píng)估比較,影響企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益得指標(biāo)有很多,如何更科學(xué)、更客觀地將一個(gè)多指標(biāo)問題綜合為單個(gè)綜合變量得形式、

主成分分析方法為樣品排序或多指標(biāo)系統(tǒng)評(píng)估提供可行得方法、

18教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

這里把12門課得成績看成12個(gè)變量,這些變量就是相關(guān)得,有得相關(guān)性強(qiáng)些,有得相關(guān)性一般些。用主成分分析方法從12個(gè)相關(guān)得變量中可以綜合得出幾個(gè)互不相關(guān)得主成分－－她們就是原始變量得線性組合。其中第一主成分綜合原始變量得信息最多(一般在70％以上),我們就用第一主成分(即單個(gè)綜合指標(biāo))替代原來得12個(gè)變量;然后計(jì)算第一主成分得得分并進(jìn)行排序。19教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

最簡單最直觀地綜合變量就就是12門課得成績總和。但這個(gè)最簡單得綜合變量并不就是最科學(xué)地代表12門課綜合成績得指標(biāo),而用主成分分析得出得第一主成分(原始變量得線性組合)Z1就是最科學(xué)地代表12門課綜合成績得指標(biāo)。比如Z1就是12個(gè)變量得線性組合,且系數(shù)都就是正數(shù),數(shù)值有大有小。顯然數(shù)值大得變量對(duì)綜合指標(biāo)(主成分)得貢獻(xiàn)大;數(shù)值小得變量對(duì)綜合指標(biāo)(主成分)得貢獻(xiàn)小。20教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

12個(gè)原始變量(課程)提供得信息各為多少？用什么量來表達(dá)？最經(jīng)典得方法就是用變量得方差Var(Xi)為多少來表達(dá)。如果某課程全班學(xué)生得成績都差不多,比如都就是80分左右,則這門課程在學(xué)生成績得排序中不起什么作用。這反映在原始變量得線性組合Z1(第一主成分)上該變量對(duì)應(yīng)得系數(shù)會(huì)很小(如0、1025)、

如果另一門課程全班學(xué)生得成績相差很大,有得100分,有得只有30多分,則這門課程在學(xué)生成績得排序中起得作用很大。這反映在原始變量得線性組合Z1(第一主成分)上該變量對(duì)應(yīng)得系數(shù)會(huì)很大(比如0、4525)、21教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

接著把每個(gè)學(xué)生12門課程得成績代入第一主成分Z1中,計(jì)算出每個(gè)學(xué)生第一主成分Z1得得分值,然后按從大到小得次序?qū)θ鄬W(xué)生得第一主成分Z1得得分值進(jìn)行排序。這個(gè)次序作為全班學(xué)生在大學(xué)本科4年中綜合學(xué)習(xí)成績得順序就是更合理更科學(xué)得。

推薦研究生時(shí)可以根據(jù)這個(gè)次序來依次推薦;評(píng)選綜合學(xué)習(xí)獎(jiǎng)時(shí)也可以根據(jù)這個(gè)次序來評(píng)選;評(píng)選三好生時(shí)這個(gè)次序也就是很有力得依據(jù)。22教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

(2)全班學(xué)生加權(quán)綜合成績得排序

因12門課程(變量)所得得學(xué)分不同,學(xué)分得多少反映該課程得重要性,在(1)中進(jìn)行排序時(shí)沒有考慮課程得重要性。由學(xué)分得多少對(duì)變量得重要程度分別賦于不同得權(quán)數(shù)、學(xué)分多權(quán)數(shù)大些,學(xué)分少權(quán)數(shù)小些。即設(shè)Xj為第j個(gè)變量(課程)得40名學(xué)生得成績(觀測(cè)向量),令

23教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

其中Xj＊表示第j門課程得40名學(xué)生得加權(quán)成績(觀測(cè)向量),可取其中N表示12門課程得總學(xué)分?jǐn)?shù)(如N＝50),nj表示第j門課程得學(xué)分?jǐn)?shù)(如n1＝6)、

某課程若所得得學(xué)分多(即該課程重要),因乘上得權(quán)數(shù)大,則該門課程得加權(quán)成績變大、由此得出得新綜合指標(biāo)(第一主成分)Z1*在該變量上得系數(shù)也會(huì)加大,該變量對(duì)第一主成分Z1*得得分貢獻(xiàn)加大、24教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

把12門課程得成績代入第一主成分Z1*中,計(jì)算出每個(gè)學(xué)生第一主成分Z1

*得得分值,然后按從大到小得次序?qū)θ鄬W(xué)生得第一主成分Z1*得得分值進(jìn)行排序。這個(gè)次序可作為全班學(xué)生在大學(xué)本科4年中加權(quán)綜合學(xué)習(xí)成績得順序。

加權(quán)綜合學(xué)習(xí)成績得順序與(1)中沒有加權(quán)得綜合學(xué)習(xí)成績得順序可能會(huì)稍有些差別、加權(quán)綜合學(xué)習(xí)成績得順序也許比沒加權(quán)得出得順序還更合理更科學(xué)得。25教育學(xué)--

主成分分析在學(xué)生學(xué)習(xí)成績排序中得應(yīng)用

同樣地,推薦研究生時(shí)可以根據(jù)這個(gè)更科學(xué)得次序來依次推薦;評(píng)選綜合學(xué)習(xí)獎(jiǎng)時(shí)也可以根據(jù)這個(gè)更科學(xué)得次序來評(píng)選;評(píng)選三好生時(shí)這個(gè)更科學(xué)得次序也就是很有力得依據(jù)。

26

第0章緒論

§0、2多元統(tǒng)計(jì)分析得應(yīng)用領(lǐng)域--環(huán)境科學(xué)

2、環(huán)境科學(xué)

(1)大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

湖南岳陽化工總廠建廠前沒有進(jìn)行環(huán)境評(píng)估(因建在文化大革命期間)、工廠投產(chǎn)幾年后,發(fā)現(xiàn)污染嚴(yán)重,如很多職工有明顯肝大得癥狀,到底“肝大”就是大氣污染造成得,還就是其她(如水污染)？故決定進(jìn)行環(huán)境評(píng)估。具體工作有:①定時(shí)定點(diǎn)測(cè)量大氣中多種污染氣體得濃度,同時(shí)測(cè)量氣象條件;27環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

②現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn),如施放大量得海軍煙霧彈作為示蹤物,了解其擴(kuò)散情況,記錄其軌跡。③調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了大量得職工體檢資料;④風(fēng)洞模擬試驗(yàn)。

現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)試驗(yàn)共用了二個(gè)多月得時(shí)間,調(diào)用了很多得人力和物力,收集了大量得資料。我們(多元分析組)參加其中得數(shù)據(jù)處理工作,使用了多元統(tǒng)計(jì)分析得多種方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理。

以下就是其中得部分工作:28環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

(一)大氣污染得地區(qū)分類

為了了解某大型化工廠對(duì)環(huán)境得污染程度,在廠區(qū)及鄰近地區(qū)有代表性得選25個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)(如廠區(qū),生活區(qū),醫(yī)院,學(xué)校…),每天定時(shí)(2點(diǎn),8點(diǎn),14點(diǎn),20點(diǎn))同時(shí)抽取大氣樣品,測(cè)定其中6種污染氣體(二氧化硫,硫化氫,碳4,…)得濃度,前后4天共16次數(shù)據(jù),對(duì)每個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn),計(jì)算每種污染氣體16次實(shí)測(cè)值得平均值,得25行6列得數(shù)據(jù)陣X,以下由數(shù)據(jù)陣X出發(fā),進(jìn)行分析處理、29環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

用統(tǒng)計(jì)分析方法分析處理這些資料、具體地說,使用了系統(tǒng)聚類分析方法,主成分分析方法,因子分析方法等等、不同得統(tǒng)計(jì)方法分類得結(jié)果不完全一致,經(jīng)綜合匯總后,把25個(gè)取樣點(diǎn)按污染情況分為5類,如分為極嚴(yán)重污染,很嚴(yán)重污染,嚴(yán)重污染,一般污染和較輕污染五大類、

30環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

若使用對(duì)應(yīng)分析方法,不僅可得出分類結(jié)果,還可給出有污染得每一類主要得污染氣體(元素)、這些分類結(jié)果將為今后監(jiān)測(cè)點(diǎn)得布局提供既合理又經(jīng)濟(jì)得方案、如果在25個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)以外得其她地方也同時(shí)定點(diǎn)測(cè)量了6種污染氣體得濃度,則由以上得分類結(jié)果用判別歸類得方法還可給出該地區(qū)得污染分類、31環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

(二)職工體檢資料得統(tǒng)計(jì)分析

在23個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)附近各隨機(jī)地抽取40人得體驗(yàn)資料,共920人、考查得指標(biāo)(因變量)有:

Y1-78年肝大數(shù)量;Y2-78年得白血球;

Y3-78年血收縮壓;Y4-78年血舒張壓;

Y5至Y8為79年同Y1至Y4得指標(biāo);

Y-78年到79年得肝增大數(shù)量;

32環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

影響這些指標(biāo)得因素(自變量)有:

X1-年齡;X2-工齡;

X3-性別;X4-所在地區(qū)得污染類別、我們得目得就是找出職工肝大與所在地區(qū)得污染程度就是否關(guān)系很顯著、1)用方差分析檢驗(yàn)不同類別得污染地區(qū)一年之間肝增大量(Y)就是否有顯著性差異?這就是個(gè)單因素得方差分析模型,因變量(指標(biāo))為Y,因素為定性(屬性)變量X4、33環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

問題可化為假設(shè)檢驗(yàn)問題:假設(shè)即假設(shè)5類地區(qū)職工中肝得平均增大數(shù)量相等、用920人得觀測(cè)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)就是否成立、

分析計(jì)算得結(jié)果在＝0、01得水平上否定這個(gè)假設(shè)、這表明五類不同地區(qū)得平均肝增大數(shù)量有顯著性差異、

類似地可以把性別(X1)作為因素,檢驗(yàn)?zāi)信毠て骄卧龃髷?shù)量就是否有顯著差異、結(jié)果就是沒有明顯差異、34環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

這說明職工肝大主要就是由大氣污染引起得、與性別(或年齡,工齡)無關(guān),也不就是由有些人所說就是由于水質(zhì)不好引起得、2)用回歸分析方法建立Y(肝增大數(shù)量)與X1,X2,X3,X4得相關(guān)關(guān)系式、因?yàn)閄3和X4為定性(屬性)變量,建立模型之前先把這兩個(gè)變量數(shù)量化、

X3=0表示女性,X3=1表示男性、35環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

由以上討論得大氣污染地區(qū)得分類結(jié)果知該地區(qū)得污染情況可分為五類、引入極嚴(yán)重很嚴(yán)重嚴(yán)重一般較輕36環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系

用逐步回歸分析方法計(jì)算得:第1,2,3類就是污染嚴(yán)重得地區(qū),在這三類地區(qū)內(nèi),故

Y=0、4611說明住在污染嚴(yán)重地區(qū)得職工于78年至79年間肝平均增大0、4611(厘米);37環(huán)境科學(xué)－

大氣環(huán)境污染得評(píng)估及與職工健康得關(guān)系住在第4類地區(qū)()得職工,這一年間肝平均增大數(shù)量為0、4611-0、3486=0、1125;而住在第5類地區(qū)()得職工,在這一年間肝平均增大數(shù)量為0、4611-0、2969=0、1642、總之,以上分析結(jié)果表明,肝大就是由大氣污染引起得,與年齡,工齡,性別無顯著關(guān)系、其她指標(biāo)得分析結(jié)果這里省略了、38

第0章緒論

§0、2多元統(tǒng)計(jì)分析得應(yīng)用領(lǐng)域--環(huán)境科學(xué)

2、環(huán)境科學(xué)

(2)許多學(xué)者研究了洛杉磯地區(qū)大氣中污染物質(zhì)得濃度。在較長得一段時(shí)間內(nèi),每天定時(shí)測(cè)定與污染有關(guān)得幾個(gè)指標(biāo)值。用多元統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)得方法首先判斷洛杉磯地區(qū)空氣污染程度在一周內(nèi)就是固定不變或周末與平時(shí)有顯著差異。其次對(duì)這龐雜得觀測(cè)數(shù)據(jù)用一種易解釋得方法加以歸納化簡。(3)研究多種污染氣體(CO,CO2,SO2)得濃度與污染源得排放量和氣象因子(風(fēng)向,風(fēng)速,溫度,濕度等)之間得相互關(guān)系、39RandomVectorsandRandomMatrices:RandomvectorVectorwhoseelementsarerandomvariablesRandommatrixMatrixwhoseelementsarerandomvariables§0、3隨機(jī)向量分布基礎(chǔ)40ExpectedValueofaRandomMatrix:41MeanVectors:42Covariance:43PopulationVariance-CovarianceMatrices:44X得協(xié)差陣,記作D(X),或COV(X),

D(X)亦記作Σ=(σij),其中σij=Cov(Xi,Xj)。

45PopulationCorrelationCoefficients:46StandardDeviationMatrix:47CorrelationMatrixfromCovarianceMatrix:48(1)樣本均值向量X:

49(2)樣本離差陣A(交叉乘積陣):其中50(3)樣本協(xié)方差S:(4)樣本相關(guān)陣R:51SampleMeanVectorandCovarianceMatrix:52

例:設(shè)從某書店隨機(jī)抽取4張收據(jù)了解圖書得銷售情況、每張收據(jù)記錄售書數(shù)量X2及總金額X1,具體數(shù)值如下:試計(jì)算樣本均值,樣本離差陣,樣本協(xié)差陣和相關(guān)陣、

解:53樣本離差陣A得計(jì)算公式為:5455設(shè)X(i)(i＝1,…,n)

就是p元總體(μ,Σ)得隨機(jī)樣本,n＞p,則μ,Σ得常用估計(jì)為(5)參數(shù)得估計(jì):56相關(guān)系數(shù)ρij得估計(jì)為:其中

。稱S為樣本協(xié)方差矩陣、rij為樣本相關(guān)系數(shù)、

為樣本相關(guān)矩陣。57在MATLAB中計(jì)算向量均值、方差、協(xié)方差以及相關(guān)系數(shù)得命令分別為:mean(data),var(data),cov(data),corrcoef(data)如果要將矩陣X得數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,如何實(shí)現(xiàn)？Y=zscore(X)580、4描述統(tǒng)計(jì)

及MATLAB實(shí)現(xiàn)4、1一維數(shù)據(jù)得數(shù)字特征4、1、1表示位置得數(shù)字特征1、均值數(shù)據(jù)得平均值稱為該數(shù)據(jù)得均值,記為在MATLAB中命令為:mean(data)如果data就是一個(gè)m╳n得矩陣,mean(data)輸出得結(jié)果就是什么？如何用數(shù)學(xué)公式表示？59設(shè)矩陣mean(X)=是行向量其中，如果要將矩陣X得數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,如何實(shí)現(xiàn)？Y=[X-ones(n,1)*mean(X)]、/[ones(n,1)*std(X)]或者直接利用命令:Y=zscore(X)602、次序統(tǒng)計(jì)量將數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn

按從小到大的次序排列，所得的結(jié)果記為：稱為原數(shù)據(jù)的次序統(tǒng)計(jì)量。在MATLAB中,利用sort(data)就可得到次序統(tǒng)計(jì)量。3、中位數(shù)中位數(shù)得計(jì)算公式為:中位數(shù)就是整個(gè)數(shù)據(jù)位置居中得數(shù)據(jù),因此受異常值得影響較小,具有較好得穩(wěn)健性。MATLAB中計(jì)算中位數(shù)得命令為:median(data)614、分位數(shù)對(duì)0p<1,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn得p分位數(shù)就是其中[np]表示np得整數(shù)部分,當(dāng)p=1時(shí),定義M1=x(n)。計(jì)算P分位數(shù)得命令:prctile(data,P),其中P=100*p在實(shí)際應(yīng)用中,0、75分位數(shù)與0、25分位數(shù)比較重要,她們分別稱為上、下四分位數(shù),簡記為Q3=M0、75,Q1=M0、25625、三均值眾所周知,均值與中位數(shù)M都就是描述數(shù)據(jù)集中位置得數(shù)字特征,均值用了數(shù)據(jù)得全部信息,M只用了部分信息,通常情況下,均值比中位數(shù)有效。但就是當(dāng)數(shù)據(jù)有異常值時(shí),中位數(shù)比較穩(wěn)健,為了兼顧兩方面得優(yōu)勢(shì),我們可以計(jì)算三均值,其公式如下:例如數(shù)據(jù):5,3,11,3,1,7,8其次序統(tǒng)計(jì)量為:1,3,3,5,7,8,11中位數(shù)=5,25%,與75%得分位數(shù)為:prctile(data,[25,75]):3和7、563實(shí)際上，三均值就是中位數(shù)與上、下四分位數(shù)的加權(quán)平均，權(quán)向量為w=（0.25，0.5，0.25），另一個(gè)向量為，這兩個(gè)向量的數(shù)量積就是三均值。年份國民生產(chǎn)總值第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)工

業(yè)第三產(chǎn)業(yè)人均ＧＤＰ198010713232745514884681222899450198113780151187589455377227669566198215893058096678736196232961642198317862663713772337121737680712198421203973536945798698043924834198524305884053109463100434495429421986288432981191255131126506480011031987334507105723142664128772861201261198837995812154415859114621399823140819894153421477141577401442531098881506例1、根據(jù)蚌埠市80年代數(shù)據(jù),計(jì)算各指標(biāo)均值、0、99,0、9,0、75,0、5,0、25,0、1,0、05,0、01分位數(shù)以及三均值64解:%輸入原始數(shù)據(jù)A=[107132 32745 51488 46812 22899 450137801 51187 58945 53772 27669 566158930 58096 67873 61962 32961 642178626 63713 77233 71217 37680 712212039 73536 94579 86980 43924 834243058 84053 109463 100434 49542 942288432 98119 125513 112650 64800 1103334507 105723 142664 128772 86120 1261379958 121544 158591 146213 99823 1408415342 147714 157740 144253 109888 1506];%計(jì)算各指標(biāo)均值、分位數(shù)、三均值[mean(A);%各指標(biāo)均值ans=1、0e+005*2、45580、83641、04410、95310、57530、0094如何理解數(shù)據(jù)輸出得格式？(科學(xué)計(jì)數(shù)法)即:24558083640104410953105753094065%計(jì)算分位數(shù)prctile(A,100*[0、99,0、9,0、75,0、5,0、25,0、1,0、05,0、01])

4153401477101585901462101098901510397650134630158170145230104860146033451010572014266012877086120126022755078790102020937104673089015893058100678706196032960640122470419705522050290252805101071303275051490468102290045010713032750514904681022900450輸出結(jié)果為8

6得矩陣:每一列就是每項(xiàng)指標(biāo)得各種分位數(shù),其中第四行即中位數(shù)、median(A)%計(jì)算各指標(biāo)中位數(shù),=上面得第4行[0.25,0.5,0.25]*prctile(A,[25,50,75])%各指標(biāo)三均值

237130803501036409454053140920664、1、2表示分散性得數(shù)字特征1、方差、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)數(shù)據(jù)x=(x1,x2,…,xn),得方差為:其算術(shù)平方根稱為數(shù)據(jù)得標(biāo)準(zhǔn)差或根方差,在MATLAB中命令分別為:var(data),std(data)例2、已知x=(x1,x2,…,xn),則xxT=？則(x-mean(x))*(x-mean(x))T/(n-1)=?67變異系數(shù):刻畫數(shù)據(jù)相對(duì)分散性得一種度量方法計(jì)算公式為:有些書中用

在MATLAB中命令分別為:std(data)、/mean(data),std(data)、/abs(mean(data))2、極差與四分位極差上、下四分位數(shù)之差稱為四分位極差，記為極差得計(jì)算公式:R=x(n)-x(1)在MATLAB中命令分別為:range(data),iqr(data)68如果A就是一個(gè)n行,p列得矩陣,則range(A)計(jì)算A中每一列數(shù)據(jù)得極差,如果計(jì)算A得每行數(shù)據(jù)極差,只需將A轉(zhuǎn)置既可、即:range(A’)由于正態(tài)總體N(,2)的上、下四分位數(shù)分別為

0.75=+0.6745，0.25=-0.6745故正態(tài)總體四分位極差為:

0、75-

0、25=1、349對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差為

的一般總體分布，

的穩(wěn)健估計(jì)為：3、異常點(diǎn)判別數(shù)據(jù)得下、上截?cái)帱c(diǎn)為:Q1-1、5R1,Q3+1、5R1位于下、上截?cái)帱c(diǎn)之外得點(diǎn)稱為異常點(diǎn)、69年份國民生產(chǎn)總值第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)工

業(yè)第三產(chǎn)業(yè)人均(元)ＧＤＰ1990425739141390164884151258119465148019913686818194016454813962312219312311992515776137595219072195127159109169619936306761921432548272263471837062049199479235723952132871529161622412125481995942858290400377016314467275442300319963335934648753810313518543622199739326655673346494241316342411998407313604710468224488310461819994285695870454713705386174734例4、計(jì)算經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)得方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)解:原始數(shù)據(jù)記為A,粘貼到MATLAB,于就是[var(A);std(A);std(A)、/mean(A)]%方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)701、偏度k階中心矩

2、61、0029788706814、5017211648241、6123366537381、111748889、73

447269、32124627、47172594、05131193、17152861、171322、46

0、480、470、460、420、530、454、1、3表示分布形狀得數(shù)字特征偏度計(jì)算公式：其中u3,s分別表示數(shù)據(jù)的3階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差MATLAB中得命令:y=skewness(data,0)如果data就是一個(gè)矩陣,則計(jì)算各列得偏度、71如果記不住命令,如何利用已經(jīng)學(xué)過得內(nèi)容進(jìn)行計(jì)算就是我們必須學(xué)會(huì)得方法,請(qǐng)看下面得解法x=[data];%輸入數(shù)據(jù)n=length(x);%數(shù)據(jù)得長度u3=moment(x,3);%計(jì)算3階中心矩s=std(x);%計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差g1=n、^2*u3/((n-1)*(n-2)*s、^3)如果不知道計(jì)算中心矩得命令moment,您如何實(shí)現(xiàn)偏度得計(jì)算？u3=sum((x-mean(x))、^3)/n722、峰度在MATLAB中,計(jì)算峰度得命令為:kurtosis(data,0)注意:按Matlab中得公式,正態(tài)分布得峰度為3,而本教材公式正態(tài)分布得峰度為0為了得到書中得結(jié)果只需:kurtosis(data,0)-3峰度計(jì)算公式:73峰度用來衡量數(shù)據(jù)尾部得分散性:正態(tài)分布峰度為零,峰度>0,則厚尾,峰度<0,則細(xì)尾,在金融時(shí)間序列分析中,通常要研究數(shù)據(jù)就是否為尖峰、細(xì)腰、厚尾等特性。偏度用來衡量數(shù)據(jù)得對(duì)稱性:偏度為零表明就是對(duì)稱分布,偏度>0,則右偏,反之則左偏;在MATLAB中得正態(tài)分布檢驗(yàn)得一個(gè)命令h=jbtest(data),就就是基于偏度與峰度所建立、74例5計(jì)算例4各指標(biāo)得偏度與峰度解:A=[data];%data即表中得2—6列得數(shù)據(jù)formatlong%長數(shù)位輸出[skewness(A,0);kurtosis(A,0)-3],表2、蚌埠市90年代各經(jīng)濟(jì)指標(biāo)得偏度與峰度生產(chǎn)總值第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)工業(yè)第三產(chǎn)業(yè)人均GDP偏度系數(shù)0、2255781331-0、0435930780、1723024482130、20、5198548855250、4峰度系數(shù)-1、6131486490-1、5649510273-1、69890054690-1、68278514534-1、21662309936-1、65064917087754、2數(shù)據(jù)分布數(shù)據(jù)得數(shù)字特征刻畫了數(shù)據(jù)得主要特征,而要對(duì)數(shù)據(jù)得總體情況作全面地了解,就必須研究數(shù)據(jù)得分布。數(shù)據(jù)分析得一個(gè)重要內(nèi)容就就是研究數(shù)據(jù)就是否服從正態(tài)分布,若不服從正態(tài)分布,那么可能服從什么分布,如何判定。4、2、1直方圖、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與QQ圖在MATLAB中作直方圖得命令為:hist(data,k)其中,data就是原始數(shù)據(jù),k表示平均分區(qū)間(min(data),max(data))得份數(shù),k缺省時(shí)為10n=hist((data,nb)可以計(jì)算數(shù)據(jù)落在小區(qū)間內(nèi)得頻數(shù),其中,nb就是自己定義得小區(qū)間得中點(diǎn),n輸出各小區(qū)間得頻數(shù)。76[例1]、某班級(jí)考試成績?nèi)缦?作出直方圖,并統(tǒng)計(jì)各分?jǐn)?shù)段人數(shù)cj=[62,79,84,72,87,99,81,86,67,71,91,83,46,67,72,88,60,95,73,60,99,77,87,85,53,76,90,79,66,100];nb=[54、5,64、5,74、5,84、5,94、5];n=hist(cj,nb),hist(cj)結(jié)果為:n=26886,即下表所示不及格60—6970—7980—8990—1002人6人8人8人6人77如果要配上正態(tài)概率密度曲線,則命令如下:histfit(data)圖1.1直方圖78設(shè)來自總體得分布得樣本就是x1,x2,、、、xn,其次序統(tǒng)計(jì)量就是x(1),x(2),、、、x(n

)則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)就是:經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)對(duì)于一般總體分布,若要估計(jì)她得總體分布函數(shù),可以用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)做估計(jì)。79在MATLAB中,如下命令可以做出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖形,并給出部分統(tǒng)計(jì)量。[h,stats]=cdfplot(data)[例2]、做出例1中數(shù)據(jù)得經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)x=[62,79,84,72,87,99,81,86,67,71,91,83,46,67,72,88,60,95,73,60,99,77,87,85,53,76,90,79,66,100];[h,stats]=cdfplot(x)最低分min:46最高分max:100平均分mean:77、8333中位數(shù)median:79標(biāo)準(zhǔn)差std:13、776880圖1、2考試成績得經(jīng)驗(yàn)分布圖1、3經(jīng)驗(yàn)分布與正態(tài)分布函數(shù)QQ圖無論就是直方圖還就是經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖形,要從圖形上看出就是否服從某種類型隨機(jī)變量得分布就是很困難得,QQ圖有助于我們鑒別樣本得數(shù)據(jù)就是否近似得服從某類分布。在MATLAB中給出了正態(tài)分布和威布爾分布得QQ圖命令:81[例3]、做出例1中數(shù)據(jù)得QQ圖解:normplot(x),weibplot(x)圖1、4考試成績得QQ圖82從圖1、4可以看出,除了100分這一點(diǎn)其余各點(diǎn)基本上都位于直線上,故可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。能否認(rèn)為服從威布爾分布呢？2關(guān)于數(shù)據(jù)得常用變換公式當(dāng)數(shù)據(jù)在左邊或右邊有長尾巴,或很不對(duì)稱時(shí),有時(shí)需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換以符合非參數(shù)(或參數(shù))統(tǒng)計(jì)推斷方法得某些條件、其中最常用得一種方法就就是box-cox變換

(x>0)83在MATLAB中,上述變換得命令如下:[t,l]=boxcox(x)其中x就是原始數(shù)據(jù),t就是變換以后得數(shù)據(jù),l就是變換公式中參數(shù)得數(shù)值例4、我們以1949—1991淮河流域成災(zāi)面積為例說明如何利用上述得變換使得數(shù)據(jù)從不具備正態(tài)分布到符合正態(tài)分布、圖1.51949—1991淮河流域成災(zāi)面積qq圖84從圖上可以看出散點(diǎn)并不聚集在直線上,因此流域成災(zāi)面積(原始數(shù)據(jù))不服從正態(tài)分布,這一點(diǎn)也可以通過jbtest檢驗(yàn)來證實(shí)、但就是通過變換以后得圖形如圖1、8所示,顯然數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布、圖1.6流域成災(zāi)面積（變換后數(shù)據(jù)）圖85圖1、5流域成災(zāi)面積(原始數(shù)據(jù))圖圖1、6流域成災(zāi)面積(變換后數(shù)據(jù))圖864、2、2莖葉圖及五數(shù)總括莖葉圖:與直方圖相比,莖葉圖更能細(xì)致地看出數(shù)據(jù)得分布結(jié)構(gòu),我們用具體例子說明如何作出數(shù)據(jù)得莖葉圖。[例5]、做出例1中數(shù)據(jù)得莖葉圖解:首先將數(shù)據(jù)從小到大排列得到:sort(x)ans=4653606062666767717272737677797981838485868787889091959999100第一個(gè)數(shù)46的十位數(shù)為4，個(gè)位數(shù)為6，將其分割成，每一個(gè)數(shù)都采取上述方法，然后將十位數(shù)從4到10排成一列，右邊按從小到大寫出各位數(shù)字，最右邊寫出頻數(shù)87上述莖葉圖利用公式編輯器作出從莖葉圖可以看出數(shù)據(jù)就是比較對(duì)稱得88中位數(shù),上、下分位數(shù),最大、最小數(shù)統(tǒng)稱五數(shù)總括在Matlab中:[min(data),prctile(data,[25,50,75]),max(data)]對(duì)于[例4]中得數(shù)據(jù),我們可得:

466779871004、2、3數(shù)據(jù)得分布擬合檢驗(yàn)與正態(tài)性檢驗(yàn)盡管我們可以畫出QQ圖、莖葉圖、直方圖直觀地得到數(shù)據(jù)可能服從什么分布,但就是從概率得意義上,我們?nèi)砸o出正態(tài)性分布得假設(shè)檢驗(yàn)以及分布擬合檢驗(yàn)。89正態(tài)性檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)就是否來自正態(tài)分布總體;分布擬合檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)就是否來自某種類型得分布總體。顯然,正態(tài)性檢驗(yàn)就是分布擬合檢驗(yàn)中很重要得一種,下面我們分別介紹利用MATLAB從事正態(tài)性檢驗(yàn)與分布擬合檢驗(yàn)得命令與步驟:正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)分布得擬合優(yōu)度測(cè)試有兩個(gè)命令:jbtest與lillietest,其中后者用于小樣本檢測(cè)。90[h,p,jbtest,cv]=jbtest(x,alpha)輸入:x就是被檢測(cè)得數(shù)據(jù),alpha就是顯著性水平0<<1輸出:h=0,無法拒絕正態(tài)分布,h=1,拒絕正態(tài)分布;

P-檢驗(yàn)得概率值,jbtest-jb統(tǒng)計(jì)量,cv-為就是否拒絕原假設(shè)得臨界值,由于jbtest檢驗(yàn)用到漸近分布,故通常用于大樣本檢驗(yàn),如果就是小樣本,則應(yīng)使用lillietest[h,h,lstat,cv]=lillietest(x,alpha)輸入:x就是被檢測(cè)得數(shù)據(jù),alpha就是顯著性水平(取值在0、01和0、2之間),缺省時(shí)為0、0591[例6、]我國受災(zāi)面積統(tǒng)計(jì)如下,利用MATLAB檢驗(yàn)表中五項(xiàng)指標(biāo)就是否服從正態(tài)分布？年份受災(zāi)面積成災(zāi)面積水災(zāi)成災(zāi)面積旱災(zāi)成災(zāi)面積農(nóng)林牧漁總產(chǎn)值197850790244572012179701397、019793937015120287093201697、6198044526297776070141741922、6198139786187433973121342180、619823313315985439799722483、319833471316209574775862750、019843188715607539570153214、1198544365227058949100633619、5198647135236565601147654013、0198742086203934104130334675、7198850874239456128153035865、3198946991224495917152626534、719903847417819560578057662、11991554722781