湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.12．已知橢圓方程為，點(diǎn)在橢圓上，右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.3．已知直線交圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是（）A.3 B.2C. D.44．箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件=“至少有一件次品”，則的對(duì)立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒(méi)有次品 D.至少一件次品5．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.4C.3 D.26．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.7．已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.8．設(shè)x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.10．日常飲用水通常都是經(jīng)過(guò)凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用單位：元為那么凈化到純凈度為時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是（）元/t.A. B.C. D.11．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.12．雙曲線的離心率是，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市有30000人參加階段性學(xué)業(yè)水平檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)束后的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布，若，則成績(jī)?cè)?40分以上的大約為______人14．已知為橢圓上的一點(diǎn)，，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為______15．已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________.16．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求在處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值18．（12分）已知拋物線：上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）已知為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）某公司舉辦捐步公益活動(dòng)，參與者通過(guò)捐贈(zèng)每天運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童．此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn)，還為公司獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測(cè)算，首日參與活動(dòng)人數(shù)為5000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為20萬(wàn)元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元）（1）求活動(dòng)開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；（2）活動(dòng)開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余？20．（12分）某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學(xué)生有180人.（1）請(qǐng)求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會(huì)，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.21．（12分）已知，，函數(shù)，直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，的面積為，求的周長(zhǎng)22．（10分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當(dāng)時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？（3）當(dāng)（x為大于8的常數(shù)）時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄?，，所以，解得，所以的值為，故選：A.2、A【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點(diǎn)在橢圓上得，由橢圓的對(duì)稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.3、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進(jìn)而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長(zhǎng).【詳解】∵點(diǎn)為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是2故選：B4、C【解析】利用對(duì)立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據(jù)對(duì)立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對(duì)立事件為：“兩件正品”，即”沒(méi)有次品“故選：C5、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C6、C【解析】根據(jù)題意求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可整理得到關(guān)于a,c的等式，進(jìn)一步整理為關(guān)于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，則，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，將P點(diǎn)坐標(biāo)為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.7、D【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：D.8、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.9、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個(gè)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B10、B【解析】由題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：11、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D12、B【解析】利用雙曲線的離心率，以及漸近線中，關(guān)系，結(jié)合找關(guān)系即可【詳解】解：，又因?yàn)樵陔p曲線中，，所以，故，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、150【解析】根據(jù)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布．得到考試的成績(jī)X的正太密度曲線關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)，得到，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)【詳解】由題意，考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布考試的成績(jī)X的正太密度曲線關(guān)于對(duì)稱，，，，該市成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為故答案為：15014、8【解析】根據(jù)橢圓的定義、點(diǎn)到圓上距離的最小值，即可得到答案；【詳解】設(shè)為橢圓的左右焦點(diǎn)，則，等號(hào)成立，當(dāng)共線，共線，的最小值為，故答案為：15、【解析】由題意得:考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)16、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出，，運(yùn)用點(diǎn)斜式即可求出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值【小問(wèn)1詳解】，，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)椋耘c同號(hào)，令則，由，得，此時(shí)為減函數(shù)，由，得，此時(shí)為增函數(shù)，則，故，在單調(diào)遞增，所以，18、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)三角形的面積列方程，求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由拋物線的方程可得其準(zhǔn)線方程，依拋物線的性質(zhì)得，解得.∴拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】將代入，得.所以，直線的方程為，即.設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，又，由題意得，解得或.∴點(diǎn)的坐標(biāo)是或.19、（1）8745，1686元（2）37天【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果；（2）對(duì)活動(dòng)天數(shù)進(jìn)行討論，列出不等式求出的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第天的捐步人數(shù)為，則且，∴第5天的捐步人數(shù)為由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為5000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為元.【小問(wèn)2詳解】設(shè)活動(dòng)第天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，若，則，解得（舍）若，則，解得∴活動(dòng)開始后第37天公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出[50，60]的頻率，180除以該頻率即為n的值；(2)將的樣本編號(hào)為a、b，將的樣本編號(hào)為A、B、C，利用列舉法即可求概率.【小問(wèn)1詳解】由于支出金額在的頻率為，∴.【小問(wèn)2詳解】采用分層抽樣抽取的的人數(shù)比應(yīng)為2：3，∴5人中有2人零食支出位于，記為、；有3人零食支出在，記為A、B、C.從這5人中選取2人有，，，，，，，，，，共10種情況；其中內(nèi)正好各抽取一人有，，，，，，共6種情況.∴在內(nèi)正好各抽取一人的概率為.21、（1），單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）【解析】（1）先利用向量數(shù)量積運(yùn)算、二倍角公式、輔助角公式求出，再求單增區(qū)間；（2）利用面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周長(zhǎng).小問(wèn)1詳解】已知，，函數(shù)，所以.因?yàn)橹本€是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以,所以，又，所以當(dāng)k=0時(shí)，符合題意，此時(shí)要求的單調(diào)遞增區(qū)間，只需,解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由于，所以，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得：.又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，所以的周長(zhǎng).22、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元即可求解;（2）列出燃料費(fèi)的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為，則當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，代入得.【小問(wèn)2詳解】由（1）得.設(shè)全程燃料費(fèi)為y，則（），