河北省保定市淶水波峰中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

河北省保定市淶水波峰中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在長方體中，，，分別是棱，的中點，則異面直線，的夾角為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.63．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.4．雙曲線的虛軸長為（）A. B.C.3 D.65．如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A. B.C. D.6．下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.608．已知五個數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，則該樣本標準差為（）A.1 B.C. D.29．在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.130 B.260C.156 D.16810．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點 D.2為函數(shù)的極大值點11．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.12．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖像如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是___________.14．已知長方體的棱，則異面直線與所成角的大小是________________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）15．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_________16．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.18．（12分）已知直線經(jīng)過點且斜率為（1）求直線的一般式方程（2）求與直線平行，且過點的直線的一般式方程（3）求與直線垂直，且過點的直線的一般式方程19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和20．（12分）已知：對任意，都有；：存在，使得（1）若“且”為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若“或”為真，“且”為假，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）已知數(shù)列滿足，，且成等比數(shù)列（1）求的值和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和22．（10分）已知雙曲線C：(a>0，b>0）的離心率為，且雙曲線的實軸長為2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線x－y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB中點在圓x2＋y2=17上，求m的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)出長度，建立空間直角坐標系，根據(jù)向量求異面直線所成角即可.【詳解】如下圖所示，以，，所在直線方向，，軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，，，，，，所以，，設(shè)異面直線，的夾角為，所以，所以，即異面直線，的夾角為.故選：C.2、C【解析】結(jié)合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】，，當且僅當時等號成立.故選：C3、D【解析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題4、D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程求出的值，即可得答案【詳解】因為，所以，所以雙曲線的虛軸長為.故選：D.5、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算推導即可.【詳解】.故選：B.6、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.【詳解】由直線傾斜角為45°，可知直線的斜率為，對于A，直線斜率為，對于B，直線無斜率，對于C，直線斜率，對于D，直線斜率，故選：C7、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.8、B【解析】先求出的值，然后利用標準差公式求解即可【詳解】解：因為五個數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，所以，解得，所以標準差，故選：B9、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計算得到，進而利用求和公式，變形求出答案.【詳解】由題意得：，故故選：A10、D【解析】根據(jù)導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D11、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.12、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導數(shù)的正負，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，單調(diào)遞增，則，所以A選項和C選項錯誤；當時，先增，再減，然后再增，則先正，再負，然后再正，所以B選項錯誤.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，意在考查學生對該知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是減函數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導數(shù)可求得函數(shù)的最小值，要使函數(shù)有零點，只要，求得函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】解：，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為函數(shù)有零點，所以，解得.故答案為：.14、【解析】建立空間直角坐標系，求出異面直線與的方向向量，再求出兩向量的夾角，進而可得異面直線與所成角的大小【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標系：在長方體中，，，，，，，，，，異面直線與所成角的大小是故答案為：15、##【解析】根據(jù)給定條件探求出橢圓長軸長與其焦距的關(guān)系即可計算作答.【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：16、77【解析】依題意利用等差中項求得，進而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)導函數(shù)函數(shù)值的正負即可判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問1詳解】因為，故可得，令，可得或；當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）可知：當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.則的最小值；又，當時，的最大值，此時；當時，的最大值，此時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以；所以的取值范圍為.18、（1）（2）（3）【解析】（1）先寫點斜式方程，再化一般式，（2）根據(jù)平行設(shè)一般式，再代點坐標得結(jié)果，（3）根據(jù)垂直設(shè)一般式，再代點坐標得結(jié)果.【詳解】(1)(2)設(shè)所求方程為因為過點，所以(3)設(shè)所求方程為因為過點，所以【點睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，【小問2詳解】解：，.20、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均為真命題，分別求得為真命題，為真命題時，實數(shù)的取值范圍，再由集合的交集運算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】解：因為“且”為真命題，所以，均為真命題若為真命題，則，解得；若為真命題，則，當且僅當，即時，等號成立，此時故實數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】解：若“或”為真，“且”為假，則，一真一假當真，假時，則得；當假，真時，則得故實數(shù)的取值范圍為21、（1）；；（2）【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比數(shù)列，列方程可求出，從而可求出的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法求【詳解】解：（1）數(shù)列{an}滿足，所以，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數(shù)列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）故an+2＝an+2，所以n奇數(shù)時，an＝n，n為偶數(shù)時，an＝n﹣1所以數(shù)列{an}的通項公式為（2）由于，所以所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2?（2n﹣1）2]+22n﹣2?（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2?[（2n）2﹣（2n﹣1）2]＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2?（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得