上海市上海師范大學附屬第二外國語學校2025屆數(shù)學高二上期末考試試題含解析

上海市上海師范大學附屬第二外國語學校2025屆數(shù)學高二上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.2．總體有編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取3個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第3個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.143．焦點坐標為，（0，4），且長半軸的橢圓方程為（）A. B.C. D.4．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.5．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.6．等比數(shù)列滿足，，則（）A.11 B.C.9 D.7．設為拋物線焦點，直線，點為上任意一點，過點作于，則（）A.3 B.4C.2 D.不能確定8．如圖，在空間四邊形中，（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.10．設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A. B.C. D.11．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.12．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項的乘積是（）A. B.C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題，恒成立是假命題，則實數(shù)a取值范圍是________________14．在報名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數(shù)為__________.(結果用數(shù)值表示)15．已知點，為拋物線：上不同于原點的兩點，且，則的面積的最小值為__________.16．設函數(shù)，.若對任何，，恒成立，求的取值范圍______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：方程表示焦點在軸上的橢圓，：方程表示焦點在軸上的雙曲線，其中.（1）若“”為真命題，求的取值范圍：（2）若“”為假命題，“”為真命題，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點到右焦點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設點、在橢圓上，以線段為直徑的圓過原點，試問是否存在定點，使得到直線的距離為定值？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說理由.19．（12分）已知圓，是圓上一點，過A作直線l交圓C于另一點B，交x軸正半軸于點D，且A為的中點.（1）求圓C在點A處的切線方程；（2）求直線l的方程.20．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍21．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D為棱上的點.（1）證明：；（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.22．（10分）某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù)；（2）從該公司員工中隨機抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內為事件，判斷事件與是否互相獨立，并說明理由；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標準方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解2、D【解析】由隨機數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個個體編號為14.故選：D.3、B【解析】根據(jù)題意可知，即可由求出，再根據(jù)焦點位置得出橢圓方程【詳解】因為，所以，而焦點在軸上，所以橢圓方程為故選：B4、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.5、A【解析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對函數(shù)求導得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.6、B【解析】由已知結合等比數(shù)列的性質即可求解.【詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列，得：，故選：B7、A【解析】由拋物線方程求出準線方程，由題意可得，由拋物線的定義可得，即可求解.【詳解】由可得，準線為，設，由拋物線的定義可得，因為過點作于，可得，所以，故選：A.8、A【解析】利用空間向量加減法法則直接運算即可.【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則得.故選：A.9、C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C10、D【解析】詳解】由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.11、B【解析】作出線面角構造三角形直接求解，建立空間直角坐標系用向量法求解.【詳解】設正方體棱長為2，、F分別為AB、CD的中點，由正方體性質知平面，所以平面平面，在平面作，則平面，因為，所以即為所求角，所以.故選：B12、C【解析】先由數(shù)列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項重復出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項的乘積是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.14、18【解析】由題設，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.15、【解析】設，，利用可得即可求得，利用兩點間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設，，由可得，解得：，，，，，所以，當且僅當時等號成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是設，坐標，采用設而不求的方法，將轉化為，求出參數(shù)之間的關系，再利用基本不等式求的最值.16、【解析】先把原不等式轉化為恒成立，構造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因為對任何，，所以對任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對參數(shù)討論，研究的單調性及最值；③特別地，個別情況下恒成立，可轉換為（二者在同一處取得最值）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）先假設命題為真命題，求出的取值范圍，為真命題，取補集即可（2）假設命題為真命題，求出的取值范圍，根據(jù)題意，則命題假設和命題一真一假，分類討論求的取值范圍【小問1詳解】解：若為真命題，則，解得，若“”為真命題，則為假命題，或；【小問2詳解】若為真命題，則解得，若“”為假命題，則“”為真命題，則與一真一假，①若真假，則解得，②若真假，則解得，綜上所述，，即的取值范圍為.18、（1）；（2）存在，.【解析】（1）由題設可知求出，再結合，從而可求出橢圓的方程，（2）①若直線與軸垂直，由對稱性可知，代入橢圓方程可求得結果，②若直線不與軸垂直，設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，然后利用根與系數(shù)的關系，設，，再由條件，得，從而得，再利用點到直線的距離公式可求得結果【詳解】（1）由題設可知解得，，，所以橢圓的方程為：；（2）設，，①若直線與軸垂直，由對稱性可知，將點代入橢圓方程，解得，原點到該直線的距離；②若直線不與軸垂直，設直線的方程為，由消去得，則由條件，即，由韋達定理得，整理得，則原點到該直線的距離；故存在定點，使得到直線的距離為定值.19、（1）（2）或【解析】（1）以直線方程的點斜式去求圓C在點A處的切線方程；（2）以A為的中點為突破口，設點法去求直線l的方程簡單快捷.【小問1詳解】圓可化為，圓心因為直線的斜率為，所以圓C在A點處切線斜率為2，所以切線方程為即.【小問2詳解】由題意設因為是中點，所以將B代入圓C方程得解得或當時，，此時l方程為當時，，此時l方程為所以l方程為或20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調性；（2）由（1）所求的單調性，結合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調遞增，又，所以成立；若，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為三棱柱是直三棱柱，且，所以兩兩垂直，