2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：二次函數(shù)中相似三角形存在練習(xí)（含答案）

2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：二次函數(shù)中相似三角形問題練習(xí)

一.解答題(共12小題)

1.如圖.已知拋物線+歷:+3與x軸交于A(1,0)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.對稱軸為直線x=7,P為

頂點(diǎn).

(1)求出點(diǎn)3的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使得△MOC與aBCP相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖，拋物線y=a/+fcr+c(a#0)與x軸交于點(diǎn)A(-5,0),?(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

9.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動，過點(diǎn)E作直線EPLx軸,交拋物線于點(diǎn)F,交直線AC于點(diǎn)P,若以P、

尸、C為頂點(diǎn)的三角形與△APE相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

MA

舉。抬^\/°X

圖1圖2

3.如圖所示，拋物線y=/+fex+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3),其對稱軸x=l與x軸相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)若直線CM交x軸于點(diǎn)E,求證：BC=EC.

(3)若點(diǎn)P是線段EM上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)PE、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.若存在，求出

點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

4.己知，如圖，已知拋物線＞=4/+必-遍與x軸交于A(3,0),8(-1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接4C,

BC,若點(diǎn)M是x軸上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)8重合)，MNLAC于點(diǎn)N,連接CM.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)MN=1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)是否存在以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線丫=〃/+云-2的對稱軸為直線x=1.5,與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,

與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q.請問是否存在這樣的點(diǎn)P、Q使得△PQB

與△CAB相似.若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.如圖，已知拋物線＞=0^-3犬+。與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為AC上方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作POLAC,垂足為點(diǎn)。，連接PC,當(dāng)△PCD與△ACO相似時(shí)，

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

7.如圖，拋物線y=a(x+3)(x-1)與x軸相交于4、B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B右側(cè))，過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一

點(diǎn)C,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,6).

備用圖

(1)求。的值及直線4c的函數(shù)關(guān)系式；

(2)尸是線段AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N.

①求線段PM長度的最大值；

②在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M,使得與相似？如果存在，請求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由.

8.如圖，拋物線y=o？-8x+c?經(jīng)過4(2,0),8(6,0)兩點(diǎn)，直線/為拋物線的對稱軸并與x軸交于點(diǎn)C.直線

-冬+2會與拋物線分別交于點(diǎn)B,D兩點(diǎn)，與直線/交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若以點(diǎn)4為圓心適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫圓，使圓A與直線8。相切于點(diǎn)片求點(diǎn)尸的坐標(biāo)并說明直線/,y軸與

圓A的位置關(guān)系.

(3)在(2)的條件下，在圓A上是否存在點(diǎn)G,使得以G,O,C為頂點(diǎn)的三角形與aBCE相似.若存在，請

直接寫出G點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.如圖1,二次函數(shù)卜=〃/+法+2的圖象交x軸于點(diǎn)A(-2,0),B(3,0),交y軸于點(diǎn)C,P是第一象限內(nèi)二次

函數(shù)圖象上的動點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)P作PQJ_x軸于點(diǎn)。，若以點(diǎn)P、4、。為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

10.如圖，已知直線y=x-4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)8、點(diǎn)C,二次函數(shù)＞=2+2%的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.

2

(1)求直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段AB的長；

(2)若點(diǎn)。在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)。，C,B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在，求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

II.如圖，二次函數(shù))=-M+x+d的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線在第一象限上

2

的動點(diǎn)

備用圖

(1)求直線BC的解析式；

(2)當(dāng)△P8C的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)F在線段0C上，當(dāng)AAEF與△PBC相似時(shí)，求所有滿足條件

的點(diǎn)E坐標(biāo).

12.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，拋物線尸加+法-1(a/0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),8(1,0)和點(diǎn)O(-3,n),

與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)8處，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，求△ODE的面積；

(3)如果點(diǎn)P在y軸上，△「(；￡＞與△A8C相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

1-

__________II_______I_______I?

O1x

2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：二次函數(shù)中相似三角形問題練習(xí)

參考答案與試題解析

解答題(共12小題)

1.如圖.已知拋物線＞=0?+灰+3與x軸交于A(1,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.對稱軸為直線x=-l,尸為

頂點(diǎn).

(1)求出點(diǎn)8的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)使得△MOC與△BCP相似？若存在，求出點(diǎn)用的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

.?.拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3,

令y=0,則-/-2x=3=0,解得x=l或-3,

：.B(-3,0).

(2)存在.如圖，連接P8,PC.

'：B(-3,0),P(-1,4),C(0,3),

；.BC=3&,PC=M，PB=2娓,

:.PB2=PC2+CB2,

：.ZPCB=90°,PC：BC=M：3點(diǎn)=1：3,

當(dāng)M。：OC=1：3或。C：M0=\：3時(shí)，△COM與△BC尸相似，

OM=1或9,

滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,0)或(9,0)或(-9,0).

2.如圖，拋物線y=o?+6x+c(a#0)與x軸交于點(diǎn)A(-5,0),8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

9.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)E在線段04上運(yùn)動，過點(diǎn)E作直線EF_Lx軸，交拋物線于點(diǎn)F,交直線AC于點(diǎn)P,若以P、

從C為頂點(diǎn)的三角形與△/1「后相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

對稱軸為直線*弓上=-2，

???頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,9),

設(shè)拋物線為y=a(x+2)2+9,將點(diǎn)8(1,0)代入得：9〃+9=0,

:.a=-1,

???拋物線的解析式為y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5；

(2)設(shè)直線AC的解析式為：y=tnx+n(mWO),

..j5m+n=0解之得：[m=l,

In=5[n=5

直線AC的解析式為：y=x+5,

?.?點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動，過點(diǎn)E作直線軸，交拋物線于點(diǎn)尸，交直線AC于點(diǎn)P,

.,.設(shè)E(x,0),則尸(x,x+5),F(x,-W-4x+5),

：.PE=x+5,AE=x+5,PF=(-x2-4x+5)-(x+5)=-7-5x,

?.?△APE和△PFC相似，且NAPE=NFPC,

：.ZAEP=ZFCP=90°或N4EP=NCFP=90°,

①當(dāng)NPFC=90°時(shí)，如圖：

.?.點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為5,

**.-X2-4x+5=5

解之得：x\=-4,X2=O(舍去)

：.E(-4,0)；

②當(dāng)NFCP=90°時(shí)，過尸作軸于M,如圖:

軸，

AZFCM+ZCFM=W,,

/.FM=-x,MC=-/-4x+5-5=-x2-4x,

ZFCP=90°,

AZFCM+ZACO=90°,

：.ZCFM^ZACO,

.,.RtACFM^RtAACO^RtAAPE,

?AO=MC(

"oc'FM"

?5-X2-4X

??—z:-----------,

5-x

解之得：川=0(舍去)，X2=-3,

：.E(-3,0).

綜上可知，當(dāng)以尸、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△APE相似時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-4,0)或(-3,0).

3.如圖所示，拋物線y=/+6x+c,與x軸相交于4、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3),其對稱軸x=l與x軸相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)若直線CM交x軸于點(diǎn)E,求證：BC=EC.

(3)若點(diǎn)P是線段EM上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)尸、E、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.若存在，求出

點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

【解答】解：(1)???y=x2+Zzr+c與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3),

將點(diǎn)C(0,-3)代入可得：c=-3,

又..?對稱軸x=＞一=]

2a

：.b=-2,

即拋物線的表達(dá)式為y=7-2x-3；

(2)I?對稱軸為x=l,

代入拋物線表達(dá)式得)，=1-2-3=4,

即點(diǎn)MQ,-4),

設(shè)直線CM的表達(dá)式為丫=h+〃，

把點(diǎn)C(0,-3),M(1,-4)代入解得上=-1,〃=-3,

...CM的表達(dá)式為y=-x-3,

:點(diǎn)E在x軸上，即縱坐標(biāo)y=0,此時(shí)x=-3,

：.E（-3,0）,

由平面直角坐標(biāo)系的可知：OE=OC=OB=3,NEOC=NBOC=90°,

:.△EOgXBOC（SAS）,

.'.EC=BC；

（3）存在，

?點(diǎn)P在線段EM上，可設(shè)P（f,-3）,

如圖1所示，作PN_Lx軸于N,

PN=t+3,MN=OE-ON=3+3

由勾股定理可知—=、2可2+1可2=（f+3）A/5，BC=（0卜2_^B2={§2+&2=

又：A8=OA+OB=4,

由（2）可知△E0CZZ\80C,

：.ZOEC=ZOBC,

當(dāng)△PEOs/\ABC時(shí)，

PE=0E

ABBC,

即（t+3）足3,

43A/2

解得t--\,

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,-2）,

當(dāng)APEOs^CBA時(shí)，

PEOE曰n（t+3）&3

而話''引用N

解得t=J.,

4

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-旦，-9）,

44

綜上尸的坐標(biāo)為（-1,-2）或（衛(wèi)，-2）.

44

4.已知，如圖，己知拋物線y=af+bx-遍與x軸交于A(3,0),B(-1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接4C,

BC,若點(diǎn)M是x軸上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)8重合)，MNLAC于點(diǎn)N,連接CM.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)MN=1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo);

(3)是否存在以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請

0)兩點(diǎn),

0=9a+3b~V3

得

0=a-b-V3

a-3

解得：

八2忖

b=—

?二2_/—

x-V3'

⑵除2警

當(dāng)x=0時(shí)，y=一巧，

：.C(0,

：.oc=a，

VA(3,0),

，OA=3,

...NO4C=30°,

*：MN=\,NMNA=90°,

在RtZvU/N中，AN=M，

過點(diǎn)N作NHLx軸于點(diǎn)H,

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，N的坐標(biāo)為（旦，-返），

22

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，N的坐標(biāo)為（且，返），

22

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,q巨）或（9,返），

2222

（3）設(shè)M點(diǎn)為（x,0）,

則由（2）可得A8=4,

水=心2+（a）2=2,4。=杼+（收2=2百

...△ABC是直角三角形，NBC4=90°,

又由2s△CMA=AMXOC=ACXMN得：

X-3）2><?—J（X-3）2

2V32

若以點(diǎn)C,M,W為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

22

則.MN=CM,npV（x-3）=Vx+3

''CBAB'44

即6x=6,

所以x=l,

此時(shí)M為(1,0)；

MN=CM叩《6-3)2=42+3

CAAB'、473~4-，

即/+3x=0,

解之可得：x=0或x=-3,

；.M為(0,0)或(-3,0),

綜上所述，存在以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，且M的坐標(biāo)為(1,0)或(0,0)或(-3,0).

5.在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線)，=“7+次-2的對稱軸為直線x=1.5,與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8,

與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q.請問是否存在這樣的點(diǎn)P、Q使得△PQ8

與△CAB相似.若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)?.?拋物線的對稱軸是x=1.5且A(-1,0),

：.B(4,0),

.Ja-b-2=0

I16a+4b-2=0'

解得卜=0.5,

lb=-l.5

Ay=0.5?-1.5x-2；

(2)如圖，

設(shè)尸(x,0),

則Q(x,0.5x2-1.5x-2),

=

由題得AC|2+22=5/5,

8C=｛、+22=2泥,

AB—5,

：.AC2+BC2=AB2,

...△ABC是直角三角形，

由△PQB與△CAB相似可得，

①AC：PQ=BC：PB,

貝ij0.5x-----近-------

-0.5X2+1.5X+24-X

得x=O或x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=O與x=4均為根，但x=4不合題意,

：.Q(0,-2)；

②AC：PB=BC：PQ,

則2遙=返,

-0.5x2+l.5x+24-x

得x=3或x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=3與x=4均為根，但x=4不合題意,

：.Q(3,-2),

綜上，存在P,Q,

。為(0,-2)或(3,-2).

6.如圖，已知拋物線y=G?-gx+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),B(1,0),與了軸交于點(diǎn)C.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為AC上方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PO_LAC,垂足為點(diǎn)。，連接PC,當(dāng)△PC。與△ACO相似時(shí),

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖

【解答】解：(1)???拋物線y=o?-斗+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),B(1,0),

2

'3

16a--X(-4)+c=0

3，

a7+c=0

f」

解得(a-3，

c=2

???拋物線的解析式為尸-尹-尹2；

(2)??,點(diǎn)A(-4,0),B(1,0),

???OA=4,08=1.

?在方也物線y=-ir2-2+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

22

：.C(0,2),

:.。。=2,

AC=22=22=

'VOA-K)CV4+22而

9：PD±AC,

，/PDC=900=ZAOC,

???當(dāng)△尸CD與△ACO相似時(shí)，則△PCQS/^CAO或△PCZ)S2\ACO,

①若△PCOs/\CAO,則NPCO=NC4。，

：.CP//AO,

VC(0,2),

，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為2,

??,點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動點(diǎn),

.*.2=--kx2-m+2,

22

解得：X1=0(不合題意，舍去)，X2=-3,

，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-3,2)；

②若△PSs^ACO,則NPC￡>=NACO,曳=煦，

AOCO

.PDA0_4_?

CDCO2

過點(diǎn)A作AC的垂線，交CP的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作G”_Lx軸于點(diǎn)H,如圖:

：.GA//PD,

:.△GACs^PDC,

?GAAC

?*,一二,

PDCD

.GAPD=?

ACCD

,：GA1AC,GH_Lx軸，

.?./GAC=NGHA=90°,

，NAG”+/G4H=90°,ZGAH+ZCAO=90°,

ZAGH=ZCAO,

又?.,/GH4=N>40c=90°,

/.△G/ZA^AAOC,

.GHAHGA即GHAH門

AOCOAC42

,GH=8,AH=4f

：.HO=AH+OA=8f

：.G(-8,8),

設(shè)直線CG的解析式為y=-lr+2,

4

令-&+2=--kr2-當(dāng)+2,

422

解得：XI=0(不合題意，舍去)，X2=-1,

2

把x=-3代入y=-旦x+2得：

24

產(chǎn)-當(dāng)+2=-3x(-A)+2="

4428

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,空).

28

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,2)或(-3,25).

28

7.如圖，拋物線y=a(x+3)(x-1)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B右側(cè))，過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一

點(diǎn)C,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,6).

(1)求a的值及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)P是線段AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)例，交x軸于點(diǎn)N.

①求線段長度的最大值；

②在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M,使得△CMP與△APN相似？如果存在，請求出滿足條件的點(diǎn)”的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)將點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,6)代入拋物線y=“(x+3)(x-i)中，

，6=a(-2+3)(-2-1),

解得：a=-2,

?\拋物線解析式為：y=-2(x+3)(x-1)=-2x2-41+6,

令y=0,解得：xi=-3,X2=L

???A(1,0),B(-3,0),

設(shè)直線AC的解析式為將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得;

fk+b=0,

l-2k+b=6，

解得：。=-2,

lb=2

直線AC的解析式為：y=-2x+2.

(2)①設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為機(jī)(-2WmWl),

則PCm,-2m+2),MCm,-2m2-4m+6),

PM=-2nz2-4m+6-(-2m+2)=-2(m+—'>2+—,

22

?；-2<0,

當(dāng)，〃=-工時(shí)，PMinax=—)

22

②存在，M(0,6)或"(-工，班)，理由如下：

48

■:NAPN=/CPM,NPNA=90°,

要使△CMP與相似，則使NPNA=/CMP=90°或/PNA=NMCP=90°,

,此時(shí)MN與y軸重合，N與O重合，CMLMP,如圖所示:

故yc=y"=6,

當(dāng)y=6時(shí)，-2,-4x+6=6,

解得：Xi--2(舍去)，X2=O,

此時(shí)M坐標(biāo)為（0,6）,

情況二：當(dāng)NPN4=/A/CP=90°,如圖所示:

又,：AHMCs^CMP,/\OAD^/\NAP,

：?4HMCS40AD,

?CHMH

??麗F，

設(shè)M(m，-2m2-4m+6),其中-2W/wWl,則C4=m+2,MH=-2/H2-4ZH+6-6=-2m2-4/??,

直線4C的解析式為：y=-2x+2.令x=0,y=2,

J0D=2,

而。4=1,

9

-

???--m-+-2------2-m----4-m,

21

解得：m=-2(舍去)或m=-A,

4

當(dāng)m=--,-2/n2-4m+6=^-,

48

：.M(-A,空)，

48

綜上所述，M(0,6)或例(-』，至).

48

8.如圖，拋物線y=a？-8x+c經(jīng)過A(2,0),B(6,0)兩點(diǎn)，直線/為拋物線的對稱軸并與x軸交于點(diǎn)C.直線

y=-返c+2y與拋物線分別交于點(diǎn)B,D兩點(diǎn)，與直線/交于點(diǎn)E.

3

(1)求拋物線的解析式；

(2)若以點(diǎn)A為圓心適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫圓，使圓A與直線8。相切于點(diǎn)F,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)并說明直線/,y軸與

圓A的位置關(guān)系.

(3)在(2)的條件下，在圓A上是否存在點(diǎn)G,使得以G,O,C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似.若存在，請

直接寫出G點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-xi)(x-x2)=a(x-2)(x-6)=a(x2-8x+12),

/.-Sa=-8,解得a=l,

故拋物線的表達(dá)式為y=7-8x+12；

(2)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，拋物線的對稱軸為直線x=4,即0C=4,

由直線BZ)的表達(dá)式知，NEBC=30°,

?.?8。和圓A相切，

：.AFLBD,

在RtzMB尸中，AB=6-2=4,NEBC=3Q°,

則AF=1AB=2=OA=AC,

2

故圓A與直線/、y軸都相切，

則8/=返43=2?,

2_

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,-1r+2?),

3

則BF2=(x-6)2+(-返c+2泥)2=(2?)2

3

解得x=9(舍去)或3,

故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,V3)；

(3)在△BCE中，NEBC=3Q°,ZECB=90°,

當(dāng)點(diǎn)G在圓上時(shí)，則NCGC=90°,0C=4,

故以G,O,C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似時(shí)，ZGCO=30°或60°即可滿足條件.

①當(dāng)點(diǎn)G在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)G作GH_Lx軸于點(diǎn)H,

當(dāng)NGCO=30°時(shí)，則NGO4=60°,

則OG=2CO=2,

2

則OH=OGcos60°=1,GH=OGsin60°=?,

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,遍)；

當(dāng)/GCO=60°時(shí)，則/GOH=30°,

則0G=COsin60°=2如,

則OH=OGcos30。=3,GW=OGsin30°=?,

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3,遍）；

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1,遍）或（3,?）；

②當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí)，

根據(jù)圓的對稱性，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1,-JE）或（3,-?）；

綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1,?）或（3,正）或（1,-V3）或（3，-?）.

9.如圖1,二次函數(shù)丫=/+笈+2的圖象交x軸于點(diǎn)A（-2,0）,B（3,0）,交y軸于點(diǎn)C,尸是第一象限內(nèi)二次

函數(shù)圖象上的動點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)尸作PQ_Lx軸于點(diǎn)Q,若以點(diǎn)尸、A、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【解答】解：(1)把A(-2,0),B(3,0)代入y=o?+bx+2,

(1

/a二f

得(4a-2b+2=0,解得’3,

19a+3b+2=01-1

|b-3

...這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為)=士+L+2.

33

(2)如圖1,設(shè)P(x,_Ar2+Ar+2)(0<x<3),則。(x,0).

33

?.?拋物線產(chǎn)」^+1+2與)，軸交于點(diǎn)C,

33

：.C(0,2),OC=2,

又(-2,0),B(3,0),

??OA—2,OB=3，QA=x+2,

,：ZBOC^ZAQP=90°,且△AQPS2\BOC,

.PQQA

"OC'OB

23

整理，得/+x-2=0,解得xi=l,垃=-2(不符合題意，舍去)，

(1,2).

10.如圖，已知直線y=x-4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)8、點(diǎn)C,二次函數(shù)、=-的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.

-2

(1)求直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段AB的長；

(2)若點(diǎn)。在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)。，C,B構(gòu)成的三角形與△048相似？若存在，求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)?.?直線y=x-4與〉軸、x軸分別交于點(diǎn)2、點(diǎn)C,

：.B(0,-4),C(4,0).

jy=x-4rX1=-2fX2=4

由＜]2，得，，＜，

y=-yx+2x=-6y2=0

???A(-2,-6),

?"B=、(0+2)2+Q4+6)2=2?；

(2)存在.

?；OB=OC=4,ZBOC=90°,

.?.BC=C^7^=4圾，NOBC=NOCB=45°,

：.ZBCD=ZABO=\35°,

如圖1,當(dāng)NCBZ)=/BO4時(shí)，則

?.C--D二，BC一，

ABOB

?CDW2

.《VT4'

解得CD=4,

.?.00=4+4=8,

：.D(8,0)；

如圖2,當(dāng)NCB￡)=/B40時(shí)，則△CBZ>S^BAO,

.DCBC

"OB'AB"

.DCW2

?--------二------=->

4272

解得OC=8,

:.00=4+8=12,

：.D(12,0).

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(8,0)或(12,0).

11.如圖，二次函數(shù)）=-工2+X+4的圖象與X軸交于4、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線在第一象限上

2

的動點(diǎn)

備用圖

(1)求直線8c的解析式;

(2)當(dāng)△P8C的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在（2）的條件下，點(diǎn)E在線段A8上，點(diǎn)尸在線段0C上，當(dāng)△AEF與△P8C相似時(shí)，求所有滿足條件

的點(diǎn)E坐標(biāo).

【解答】解：(1)iy=—^-x2+x+4f令y=°得4X2+X+4=0.

即(x+2)(x-4)=0,

解得xi=-2,我=4,

所以4(-2,0)、B(4,0),

令x=0得y=4,

故C(0,4)；

4k+b=0

設(shè)直線BC的解析式為>="+6,代入8、C坐標(biāo)得

b=4

解得k=-l

b=4

所以直線8C的解析式為y=-x+4；

（2）設(shè)過尸點(diǎn)且與直線BC平行的直線的解析式為丫=-x+〃?,

y=-^-x2+x+4

聯(lián)立，，消去y,得蔣xN+Zx+d-nF。，

y=-x+m

當(dāng)4=4+2（4-膽）=0,即〃z=6時(shí)，S"BC取最大值,

當(dāng)修=6時(shí)，-工?+2尤+4-6=0,解得x=2,

2

故戶（2,4）；

(3)由(2)得尸(2,4),又因?yàn)镃(0,4