7.4角的大小的比較畫相等的角（分層練習(xí)）

7.4角的大小的比較畫相等的角（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021春·上海靜安·七年級統(tǒng)考期末）早晨8：00以后，時鐘的分針和時針第一次垂直的準(zhǔn)確時間是（

）A．8點(diǎn)分 B．8點(diǎn)25分 C．8點(diǎn)分 D．9點(diǎn)整【答案】C【分析】根據(jù)分針旋轉(zhuǎn)的速度乘分針旋轉(zhuǎn)的時間，可得分針的旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)秒針旋轉(zhuǎn)的速度成秒針旋轉(zhuǎn)的時間，可得秒針的旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)分針的旋轉(zhuǎn)角減去秒針的旋轉(zhuǎn)角，即可求出．【詳解】解：設(shè)t分后時鐘的分針和時針第一次垂直，依題意有，解得．故早晨8：00以后，時鐘的分針和時針第一次垂直的準(zhǔn)確時間是8點(diǎn)分．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，注意時針一小時轉(zhuǎn)30°，一分鐘轉(zhuǎn)，一秒鐘轉(zhuǎn)；分針一小時轉(zhuǎn)360°，一分鐘轉(zhuǎn)6°，一秒鐘轉(zhuǎn)，秒針一秒鐘轉(zhuǎn)6°．2．（2022春·上海·七年級期中）下列說法中，（1）聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)之間的距離；（2）用度量法和疊合法都可以比較兩個角的大??；（3）鉛垂線、三角尺、合頁型折紙都可以檢驗(yàn)直線和平面垂直；（4）六個面、十二條棱和八個頂點(diǎn)組成的圖形都是長方體；你認(rèn)為正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)線段與線段的長度區(qū)別可判斷（1），根據(jù)角的大小比較方法可判斷（2），根據(jù)檢驗(yàn)直線與平面垂直的三種方法是：①鉛垂線法，②用一副三角尺，③合頁型折紙法可判斷C，可判斷（3），根據(jù)歐拉公式六個面、十二條棱和八個頂點(diǎn)組成的圖形多面體不止長方體，還有底面為梯形的四棱柱，可判斷（4）即可．【詳解】（1）聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)之間的距離，故（1）錯誤；（2）用度量法和疊合法都可以比較兩個角的大小是正確的，故（2）正確；（3）鉛垂線、三角尺、合頁型折紙可以檢驗(yàn)直線與平面垂直是正確的，故（3）正確；（4）由六個面、十二條棱和八個頂點(diǎn)組成的圖形可以是底面為梯形的四棱柱，故（4）錯誤．正確的個數(shù)為2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段與線段長度區(qū)別，角的大小比較方法，檢驗(yàn)直線與平面垂直的方法，長方體與直棱柱的區(qū)別，熟悉以上知識是解題關(guān)鍵．3．（2021·上?！ち昙壠谀┯靡桓比前宀荒芷闯傻慕嵌仁牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過加減運(yùn)算將組合成不同的數(shù)值，與選項對比，不相符的即為答案．【詳解】解：選項A、，能畫出的角，此選項不符合題意；選項B、的角不能用、、、的角來畫，此選項符合題意；選項C、，能畫出的角，此選項不符合題意；選項D、，能畫出的角，此選項不符合題意；故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的加減運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于通過加減運(yùn)算將組合成不同的數(shù)值．二、填空題4．（2021春·上海普陀·六年級期末）計算：42°36′＋35°43′＝______．【答案】78°19′【分析】根據(jù)、和角度的加法法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角度的加法計算．掌握度、分、秒的換算是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022春·七年級單元測試）如圖，已知點(diǎn)O在直線上，是直角，，那么的度數(shù)為______【答案】##54度【分析】首先根據(jù)條件求出的度數(shù)，再結(jié)合即可求出．【詳解】解：是直角故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，找到角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2021春·上海靜安·六年級?？计谀┤鐖D，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC＝38°，那么∠AOB的度數(shù)是_____．【答案】##142度【分析】從圖形中可看出∠AOC和∠DOB相加，再減去∠DOC即為所求．【詳解】解：∵∠AOC=∠DOB=90°，∠DOC=38°，∴∠AOB=∠AOC+∠DOB∠DOC=90°+90°38°=142°．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對角的計算的理解和掌握，此題的解法不唯一，只要合理即可．7．（2021春·上海·六年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)?？计谀┤鐖D，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合后重疊在一起，如果，那么________．【答案】70【分析】首先利用角的和差求出，然后利用求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可知，，∵，∴，∴．故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題考查角的計算，注意把所求角轉(zhuǎn)化為已知角的和或差．8．（2021春·上海·六年級上海市南洋模范初級中學(xué)?？计谀┯靡桓敝苯侨浅撸ㄒ话阎苯浅吆鸵话阎苯浅撸┛梢栽诩埳袭嫵龅淖畲筲g角是______．【答案】150【分析】首先我們找到這一副三角板的度數(shù)，一把為：、、，一把為：、、.從兩幅中任意各選一個度數(shù)進(jìn)行組合，找到最大的鈍角即可解題．【詳解】因?yàn)椋?；；；；所以用一副三角尺可以拼?05度，120度，135度，150度的鈍角，其中最大是150度的鈍角．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了鈍角的概念，注意鈍角是大于小于的角，熟悉三角板的度數(shù)也是解題的關(guān)鍵．9．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ忻褶k新復(fù)興初級中學(xué)?？计谀┮阎螦OB=50°，∠BOC=30°，則∠AOC=_____．【答案】20°或80°【詳解】解：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，如圖1，因?yàn)椤螦OB=50°，∠BOC=30°，所以∠AOC=5030°=20°；當(dāng)OC在∠AOB外部，如圖2，因?yàn)椤螦OB=50°，∠BOC=30°，所以∠AOC=50°+30°=80°；綜上可知，∠AOC為20°或80°．故答案為：20°或80°．10．（2021秋·上?！て吣昙壭？计谀┯枚取⒎?、秒表示24.29°＝_____．【答案】【分析】進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以60為進(jìn)制．【詳解】根據(jù)角的換算可得24.29°＝24°+0.29×60′＝24°+17.4′＝24°+17′+0.4×60″＝24°17′24″．故答案為24°17′24″．【點(diǎn)睛】此類題是進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，相對比較簡單，注意以60為進(jìn)制．11．（2020春·六年級校考單元測試）用量角器量圖中的角，45°的角有_____個，90°的角有_____個．【答案】

8

8【分析】根據(jù)量角器量出各角的度數(shù)即可求解．【詳解】如圖，45°的角有∠ACB、∠ACD、∠ABD、∠ADB、∠CAB、∠CAD、∠CDB、∠CBD,共8個；90°的角有∠ABC、∠ADC、∠AOD、∠AOB、∠DCB、∠DAB、∠DOC、∠BOC,共8個；故答案為8；8．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的識別，解題的關(guān)鍵是熟知量角器的使用及角度的大小比較．12．（2020春·六年級?？紗卧獪y試）用量角器量圖中的角，30°的角有_____個，60°的角有_____個，90°的角有_____個，120°的角有_____個．【答案】

6

5

4

6【分析】根據(jù)量角器量出各角的度數(shù)即可求解．【詳解】如圖，30°的角有∠BAC、∠CAD、∠DAE、∠EAF、∠ACB、∠AEF,共6個；60°的角有∠BAD、∠CAE、∠DAF、∠ADC、∠ADE,共5個；90°的角有∠ACD、∠AED、∠BAE、∠CAF,共4個；120°的角有∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEF、∠EFA、∠FAB,共6個；故答案為6；5；4；6．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的識別，解題的關(guān)鍵是熟知量角器的使用及角度的大小比較．13．（2019春·上海·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，、相交于，，則=______；【答案】【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的關(guān)系計算即可；【詳解】∵，∴，∵，∴，又∵，∴．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上?！ち昙壠谀┤鐖D，已知，，那么_______．（用度、分、秒表示的大?。敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)計算即可．【詳解】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，以及度分秒的換算，正確掌握1°=，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2020春·六年級?？紗卧獪y試）用量角器分別量出下圖中∠B、∠A、∠ACD的大小，指出最大的角．【答案】30°，30°，60°，最大的角是∠ACD；110°，40°，150°，最大的角是∠ACD【分析】利用量角器分別量出各角，即可比較求解．【詳解】左圖：∠B=30°、∠A=30°、∠ACD=60°故最大的角是∠ACD；右圖：∠B=110°、∠A=40°、∠ACD=150°故最大的角是∠ACD．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的比較，解題的關(guān)鍵是熟知量角器的使用．16．（2020春·六年級校考單元測試）根據(jù)圖形，寫出OC與∠AOB的位置關(guān)系，并用數(shù)學(xué)符號寫出∠AOB與∠COB的大小關(guān)系．【答案】OC在∠AOB內(nèi)部，∠AOB>∠COB，OC在∠AOB外部，∠AOB<∠COB，OC與∠AOB的邊射線OA重合，∠AOB=∠COB【分析】根據(jù)圖形及角度大小關(guān)系即可判斷．【詳解】如圖①，OC在∠AOB內(nèi)部，故∠AOB>∠COB；如圖②，OC在∠AOB外部，故∠AOB<∠COB；如圖③，OC與∠AOB的邊射線OA重合，∠AOB=∠COB．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．17．（2020春·六年級校考單元測試）已知射線BC，∠β，用直尺和圓規(guī)作∠ABC，使∠ABC=∠β（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】根據(jù)尺規(guī)作角的方法即可求解．【詳解】如圖，∠ABC為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是熟知尺規(guī)作角的方法．18．（2020春·六年級?？紗卧獪y試）（1）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OC在∠AOB的，所以∠AOC∠AOB；（2）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OD與邊OC疊合，所以∠AOC∠AOD；（3）因?yàn)镺B與OB是公共邊，邊OA在的，所以∠BOC∠BOA．【答案】（1）內(nèi)部，＜；（2）=；（3）∠BOC，外部，＜【分析】（1）根據(jù)圖形及角度關(guān)系即可判斷；（2）根據(jù)圖形及角度關(guān)系即可判斷；（3）根據(jù)圖形及角度關(guān)系即可判斷．【詳解】由圖可知：（1）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OC在∠AOB的內(nèi)部，所以∠AOC＜∠AOB故答案為：內(nèi)部；＜；（2）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OD與邊OC疊合，所以∠AOC=∠AOD故答案為：=；（3）因?yàn)镺B與OB是公共邊，邊OA在∠BOC的外部，所以∠BOC＜∠BOA．故答案為：∠BOC；外部；＜．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．19．（2020春·六年級?？紗卧獪y試）用量角器畫∠AOB=35°，以O(shè)B為一邊，在∠AOB的外部畫∠BOC=55°，比較一下∠AOC與三角板的直角的大?。敬鸢浮繄D見解析，∠AOC=90°，和直角一樣大【分析】根據(jù)量角器作圖，再把兩角相加即可比較求解．【詳解】如圖，∠AOB、∠BOC為所求，∠AOC=∠AOB+∠BOC=35°+55°=90°，故∠AOC和直角一樣大．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．20．（2020春·六年級校考單元測試）用量角器畫∠AOB=135°，以O(shè)B為一邊，在∠AOB的外部畫∠BOC=45°，用直尺比畫一下∠AOC與平角的大小．【答案】圖見解析，∠AOC=180°，和平角一樣大【分析】根據(jù)量角器作圖，再把兩角相加即可比較求解．【詳解】如圖，∠AOB、∠BOC為所求，∠AOC=∠AOB+∠BOC=135°+45°=180°，故∠AOC和平角一樣大．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．21．（2020春·六年級?？紗卧獪y試）學(xué)校的綠化帶有一個花壇，花壇的各種邊長都相等，相鄰的兩條邊的夾角都是120°，其中的一條邊AB長5.5米，按比例畫出圖形，花壇的周長是多少米？【答案】圖見解析，33米【分析】根據(jù)題意取每個內(nèi)角等于120°作圖，再求出周長即可．【詳解】解：如圖，取每個內(nèi)角等于120°，周長等于5.5×6=33米．【點(diǎn)睛】此題主要考查簡單幾何作圖，解題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的特點(diǎn)．22．（2020春·上海閔行·七年級?？计谥校┤鐖D所示，已知：AB、EF相交于點(diǎn)D，CD⊥AB，∠1=60°，求：∠BDF的大?。猓阂?yàn)镃D⊥AB（已知），所以∠ADC=°（

），因?yàn)椤螦DF=∠ADC+∠1（已知），且∠1=60o（已知），所以∠ADF=°（等式性質(zhì)），又因?yàn)椤螦DF+∠=180°（

），所以∠BDF=°（等式性質(zhì)）．【答案】90°，垂直定義；150；BDF，平角定義；30；【分析】首先根據(jù)垂直定義求得∠ADC，再根據(jù)平角定義進(jìn)行計算．【詳解】解：因?yàn)镃D⊥AB（已知），所以∠ADC=90°（垂直定義），因?yàn)椤螦DF=∠ADC+∠1（已知），且∠1=60o（已知），所以∠ADF=150°（等式性質(zhì)），又因?yàn)椤螦DF+∠BDF=180°（平角定義），所以∠BDF=30°（等式性質(zhì)）．故答案為：90°，垂直定義；150；BDF，平角定義；30；【點(diǎn)睛】此題考查垂直定義，解題關(guān)鍵在于掌握平角定義.23．（2021春·上?！ち昙壣虾Ｍ瑵?jì)大學(xué)附屬存志學(xué)校?？计谀?）能否只使用一個“19°三角板”和直尺，在紙上畫出1°來？（2）能否只使用一個“17°三角板”和直尺，在紙上畫出1°來？（3）能否只使用一個“21°三角板”和直尺，在紙上畫出1°來？回答以上問題：如果能，給出操作方法；如果不能，給出理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)19×19=361，只需要用這個19°的三角板，連續(xù)作角（邊對邊）一共作19次即可得到答案；（2）利用17°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n使得17m180n=1，而17×53180×5=1，所以同（1）作法，連續(xù)作角（邊對邊）一共作53次即可得到答案；（3）利用21°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n使得21m180n=1，此時我們發(fā)現(xiàn)這樣的m、n是不存在的．【詳解】解：（1）∵19×19=361，∴只需要用這個19°的三角板，連續(xù)作角（邊對邊）一共作19次即可得到答案；如圖所示∠AOB即為所求；（2）利用17°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n使得17m180n=1，而17×53180×5=1，所以同（1）作法，連續(xù)作角（邊對邊）一共作53次即可；（3）利用21°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n使得21m180n=1，此時我們發(fā)現(xiàn)這樣的m、n是不存在的，故此時不能作出相應(yīng)的角．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度的計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．150° C．30°或150° D．90°【答案】C【詳解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°．∵∠AOB：∠AOC=2：3，∴∠AOB=60°．因?yàn)椤螦OB的位置有兩種：一種是在∠AOC內(nèi)，一種是在∠AOC外．①當(dāng)在∠AOC內(nèi)時，∠BOC=90°﹣60°=30°；②當(dāng)在∠AOC外時，∠BOC=90°+60°=150°．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，即兩條直線互相垂直．同時做這類題時一定要結(jié)合圖形．二、填空題2．（2022秋·上?！て吣昙夐_學(xué)考試）在同一平面內(nèi)，已知，則_________．【答案】15°或105°##105°或15°【分析】要分兩種情況，OC落在∠AOB內(nèi)，OC落在∠AOB外，分別進(jìn)行計算．【詳解】解：①OC落在∠AOB內(nèi)，，②OC落在∠AOB外，．綜上所述，∠BOC=15°或105°．故答案為：15°或105°．【點(diǎn)睛】本題考查角的計算，注意要考慮全面，不要漏解．3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）同一平面內(nèi)有n條不重合直線，其中任何兩條都不平行，則它們相交所成的角中最小角的度數(shù)不超過_________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由特殊到一般，由兩條到n條直線相交，找到相交所成的角中最小角的度數(shù)的規(guī)律，即可以求解；【詳解】解：當(dāng)同一平面內(nèi)有2條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這2條直線相交形成的夾角均相等，則這2條直線相交所成的角中最小角最大為；當(dāng)同一平面內(nèi)有3條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這3條直線相交形成的夾角均相等，則這3條直線相交所成的角中最小角最大為；當(dāng)同一平面內(nèi)有4條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這4條直線相交形成的夾角均相等，則這4條直線相交所成的角中最小角最大為；…以此類推，當(dāng)同一平面內(nèi)有n條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這n條直線相交形成的夾角均相等，則這n條直線相交所成的角中最小角最大為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，熟練運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合，擺放在桌面上，當(dāng)∠AOC＝__________時，AB所在直線與CD所在直線互相垂直．【答案】105°或75°【分析】分兩種情況：①AB⊥CD，交DC延長線于E，OB交DC延長線于F，②AB⊥CD于G，OA交DC于H求出答案．【詳解】解：①如圖1，AB⊥CD，交DC延長線于E，OB交DC延長線于F，∵∠B=45°，∠BEF=90°，∴∠CFO=∠BFE=45°，∵∠DCO=60°，∴∠COF=15°∴∠AOC=90°+15°=105°；②如圖2，AB⊥CD于G，OA交DC于H，∵∠A=45°，∠AGH=90°，∴∠CHO=∠AHG=45°，∵∠DCO=60°，∴∠AOC=180°60°45°=75°；故答案為：105°或75°．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的角度計算，正確掌握三角板的度數(shù)及各角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2021春·上?！ち昙壣虾Ｊ心涎竽７冻跫壷袑W(xué)校考期末）已知平面上有四條公共端點(diǎn)的射線OA、OB、OC、OD，且，，，求的度數(shù)．（題中所指的角是小于或等于的角；解題過程中不用說理，只需要作圖和計算出結(jié)果）【答案】140°【分析】利用，得到，再利用，得到，根據(jù)周角的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】，，，，，，，設(shè)，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查在幾何圖形中角度計算問題，涉及比的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于理清圖形中角的和差關(guān)系．6．（2021·上?！ち昙壠谀┒x：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角，如圖1，若，則是的內(nèi)半角．(1)如圖1，，，是的內(nèi)半角，則_______；(2)如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時，是的內(nèi)半角；(3)已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點(diǎn)以3度秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖，問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線、、、能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由．【答案】(1)15°(2)(3)能，旋轉(zhuǎn)的時間分別為：秒；30秒；90秒；秒【分析】（1）根據(jù)定義以及角度的和差直接求解即可；（2）根據(jù)題意，根據(jù)定義可得，建立一元一次方程解方程求解即可；（3）根據(jù)題意可分以下四種情況：①當(dāng)射線在內(nèi)，如圖4，當(dāng)射線在外部，有以下兩種情況，如圖5，圖6，當(dāng)射線在內(nèi)，如圖7，根據(jù)定義建立方程，解方程求解即可．(1)（1）如圖1，，是的內(nèi)半角，，，；故答案為：．(2)如圖2，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，是的內(nèi)半角，，即，解得，；(3)能，理由如下，由旋轉(zhuǎn)可知，；根據(jù)題意可分以下四種情況：①當(dāng)射線在內(nèi)，如圖4，此時，，，則是的內(nèi)半角，，即，解得（秒；②當(dāng)射線在外部，有以下兩種情況，如圖5，圖6，如圖5，此時，，，則是的內(nèi)半角，，即，解得（秒；如圖6，此時，，，則是的內(nèi)半角，，即，解得（秒；③當(dāng)射線在內(nèi)，如圖7，此時，，，則是的內(nèi)半角，，即，解得（秒；綜上，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線、、、構(gòu)成內(nèi)半角時，旋轉(zhuǎn)的時間分別為：秒；30秒；90秒；秒．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算，一元一次方程的應(yīng)用，理解定義，并能分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2021春·上?！ち昙壣虾Ｊ形髂夏７吨袑W(xué)?？计谀⒁桓比浅忒B放在一起：（1）如圖①，若∠1＝4∠2，請計算出∠CAE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ACE＝2∠BCD，請求出∠ACD的度數(shù)．【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．【分析】（1）由題意根據(jù)∠BAC＝90°列出關(guān)于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度數(shù)，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，從而得解；（2）根據(jù)∠ACB和∠DCE的度數(shù)列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再結(jié)合已知條件求出∠BCD，然后由∠ACD＝∠ACB+∠BCD并代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝4∠2，∴4∠2+∠2＝90°，∴∠2＝18°，又∵∠DAE＝90°，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，∴∠CAE＝∠2＝18°；（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，又∠ACE＝2∠BCD，∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ忻褶k新復(fù)興初級中學(xué)校考期末）填空．(1)如圖1，已知，，那么的度數(shù)為______度．(2)如圖2，已知，如果射線OA、OB同時繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OA旋轉(zhuǎn)360°后，兩條射線同時停止旋轉(zhuǎn)），射線OA以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)至OC，射線OB以每秒1°的速度旋轉(zhuǎn)至OD．當(dāng)時，求的