專題06綜合探究題-2023年江蘇常州中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編

專題06綜合探究題1．（2022?常州）現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．（1）沿、剪下，則是三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”；（2）分別取半圓弧上的點(diǎn)、和直徑上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（3）經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線段上的點(diǎn)、線段上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)、，使得由這四個點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．【答案】（1）直角；（2）見解析；（3）正確【詳解】（1）是直徑，直徑所對的圓周角是直角，是直角三角形，故答案為：直角；（2）如圖，四邊形或四邊形即為所求．（3）小明的猜想正確．理由：如圖2中，設(shè)，，取，則，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是菱形，邊長為，小明的猜想正確．2．（2021?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，對于、兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)，使得，且，則稱、兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個點(diǎn)叫做另一個點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)、，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上．（1）①如圖，在點(diǎn)、、中，點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是（填“”、“”或“”；②若在線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）若在線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）分別以點(diǎn)、為圓心，1為半徑作、．若對上的任意一點(diǎn)，在上總存在點(diǎn)，使得、兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）①，②；（2）或（3），或【詳解】（1）如圖1中，①如圖1中，取點(diǎn)，連接，，，，，是等腰直角三角形，在點(diǎn)、、中，點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是點(diǎn)，故答案為：．②取點(diǎn)，連接，，則是等腰直角三角形，線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．（2）如圖中，當(dāng)，是互相關(guān)聯(lián)點(diǎn)，設(shè)，是等腰直角三角形，過點(diǎn)作軸于，，，，，，，，，，．如圖中，當(dāng)，是互相關(guān)聯(lián)點(diǎn)，是等腰直角三角形，此時，觀察圖象可知，當(dāng)時，在線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，如圖中，當(dāng)，是互相關(guān)聯(lián)點(diǎn)，是等腰直角三角形，設(shè)，過點(diǎn)作軸于，同法可證，，，，．如圖中，當(dāng)，是互相關(guān)聯(lián)點(diǎn)，是等腰直角三角形，同法可得，觀察圖象可知，當(dāng)時，在線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，解法二：在上任取一點(diǎn)，然后作出‘的兩個關(guān)聯(lián)點(diǎn)和，其中在第二象限，在第四象限，則可以求出的坐標(biāo)是分別是、，再根據(jù)可以求出的取值范圍．綜上所述，滿足條件的的值為或．（3）如圖中，由題意，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)是互為關(guān)聯(lián)點(diǎn)時，滿足條件，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于．設(shè)．，，，，，，，，，，，，，．如圖中，由題意，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)是互為關(guān)聯(lián)點(diǎn)時，滿足條件，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于．設(shè)．，，，，，，，，，，，，．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．3．（2020?常州）如圖1，與直線相離，過圓心作直線的垂線，垂足為，且交于、兩點(diǎn)在、之間）．我們把點(diǎn)稱為關(guān)于直線的“遠(yuǎn)點(diǎn)“，把的值稱為關(guān)于直線的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為．半徑為1的與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、、、．①過點(diǎn)畫垂直于軸的直線，則關(guān)于直線的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)（填“”、“”、“”或“”，關(guān)于直線的“特征數(shù)”為；②若直線的函數(shù)表達(dá)式為．求關(guān)于直線的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作．若與直線相離，點(diǎn)是關(guān)于直線的“遠(yuǎn)點(diǎn)”．且關(guān)于直線的“特征數(shù)”是，求直線的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）①，10；②關(guān)于直線的“特征數(shù)”．（2）或【詳解】（1）①由題意，點(diǎn)是關(guān)于直線的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，關(guān)于直線的特征數(shù)，故答案為：，10．②如圖1中，過點(diǎn)作直線于，交于，．設(shè)直線交軸于，，交軸于，，，，，，，關(guān)于直線的“特征數(shù)”．（2）如圖2中，設(shè)直線的解析式為．當(dāng)時，過點(diǎn)作直線于，交于，．由題意，，，，，，，，是等腰直角三角形，的中點(diǎn)，，，把，代入，則有，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，同法可知直線經(jīng)過，可得直線的解析式為．綜上所述，滿足條件的直線的解析式為或．4．（2019?常州）已知平面圖形，點(diǎn)、是上任意兩點(diǎn)，我們把線段的長度的最大值稱為平面圖形的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對角線的長度．（1）寫出下列圖形的寬距：①半徑為1的圓：；②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，連接、、所形成的圖形為，記的寬距為．①若，用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示）；②若點(diǎn)在上運(yùn)動，的半徑為1，圓心在過點(diǎn)且與軸垂直的直線上．對于上任意點(diǎn)，都有，直接寫出圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）①2，②；（2）①；②或【詳解】（1）①半徑為1的圓的寬距離為2，故答案為2．②如圖1，正方形的邊長為2，設(shè)半圓的圓心為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，．在中，，，這個“窗戶形“的寬距為．故答案為．（2）①如圖中，連接、、所形成的圖形是圖中陰影部分和（分別以、為圓心，以為半徑所作的圓心角為的兩條弧所形成的陰影部分即為點(diǎn)所在的區(qū)域）．點(diǎn)所在的區(qū)域的面積為．②如圖中，當(dāng)點(diǎn)在軸的右側(cè)時，連接，作軸于．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，由題意可知：，，由圖象可知：，又對于上任意點(diǎn)，恒成立，，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，，，，，滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為．當(dāng)點(diǎn)在軸的左側(cè)時，同理可得，滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為或．5．（2022?金壇區(qū)模擬）面對新冠疫情，中國舉全國之力采取了很多強(qiáng)有力的措施，將疫情及時控制，其中對感染者和接觸者進(jìn)行隔離治療和觀察有效地控制住病毒的傳播，數(shù)學(xué)中為對兩個圖形進(jìn)行隔離，在平面直角坐標(biāo)系中，對“隔離直線”給出如下定義：點(diǎn)，是圖形上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線滿足且，則稱直線是圖形與的“隔離直線”．例如：如圖1，直線是函數(shù)的圖象與正方形的一條“隔離直線”．（1）在直線，，中，是圖1函數(shù)的圖象與正方形的“隔離直線”的為；（2）如圖2，第一象限的等腰直角三角形的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，，與的“隔離直線”有且只有一條，求出此“隔離直線”的表達(dá)式；（3）正方形的一邊在軸上，其他三邊都在軸的右側(cè)，點(diǎn)是此正方形的中心，若存在直線是函數(shù)的圖象與正方形的“隔離直線”，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）與的“隔離直線”是；（3）或【詳解】（1）如圖，從圖可知：與雙曲線和正方形沒有公共點(diǎn)，，不在雙曲線及正方形之間，根據(jù)“隔離直線”定義可知，直線是雙曲線與正方形的“隔離直線”，故答案為：．（2）如圖1，連接，以為圓心，長為半徑作，作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，則．，，，直線是與的“隔離直線”．，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，與的“隔離直線”是；（3）由得，直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，△，，解得，此時的“隔離直線”為，當(dāng)正方形在直線上方時，如圖：點(diǎn)是此正方形的中心，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)不能在直線下方，得，解得；當(dāng)正方形在直線下方時，如圖：對于拋物線，當(dāng)時，；當(dāng)時，直線恰好經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)；對于直線，當(dāng)時，，由不能在直線上方，得，解得，綜上所述，或．6．（2022?金壇區(qū)一模）在平面內(nèi)，為線段外的一點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則稱為線段的直角點(diǎn)．特別地，當(dāng)該三角形是以為斜邊的等腰直角三角形時，則稱為線段的等腰直角點(diǎn)．（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，在點(diǎn)，，中，線段的直角點(diǎn)是；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，直線．①如圖2，是直線上一個動點(diǎn)，若是線段的直角點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②是直線上一個動點(diǎn)，將所有線段的等腰直角點(diǎn)稱為直線關(guān)于點(diǎn)的伴隨點(diǎn)．若半徑為的上恰有3個點(diǎn)是直線關(guān)于點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，直接寫出的值．【答案】（1），；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；②上恰有3個點(diǎn)是直線關(guān)于點(diǎn)的伴隨點(diǎn)時，的值為5或．【詳解】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，是直角三角形，不是直角三角形，線段的直角點(diǎn)是，，故答案為：，；（2）①分三種情況討論：如圖1，當(dāng)時，則軸，點(diǎn)，軸，的縱坐標(biāo)為4，把代入得：，解得：，，如圖2，當(dāng)時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)為，則，，，，，，△△，，即，整理為：，解得：，，坐標(biāo)為或，如圖3，當(dāng)時，則軸，點(diǎn)，軸，的縱坐標(biāo)為，把代入得：，解得：，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；②如圖4，以為對角線，作正方形，過作軸，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過作軸，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，，在△和△中，，△△，，，設(shè)，則，，，，解得：，，，即在直線上運(yùn)動，如圖4所示，同理，即在直線上運(yùn)動，如圖4所示，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)圓與相切時，上恰有3個點(diǎn)是直線關(guān)于點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，此時，當(dāng)圓過與的交點(diǎn)時，上恰有3個點(diǎn)是直線關(guān)于點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，此時，上恰有3個點(diǎn)是直線關(guān)于點(diǎn)的伴隨點(diǎn)時，的值為5或．7．（2022?武進(jìn)區(qū)校級模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形，我們稱這兩個三角形叫做“共邊全等”．（1）下列圖形中兩個三角形不是“共邊全等”是；（2）如圖1，在邊長為6的等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、在的邊上，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與“共邊全等”時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）③；（2）或；（3）或或或【詳解】（1）①②均符合共邊全等的特點(diǎn)，只有③，沒有公共邊，所以③不符合條件，答案是③；（2）①如圖1，當(dāng)，且是共邊全等時，，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，②如圖2，當(dāng)，且是共邊全等時，，，，，又，，又，，，設(shè)，則，，解得，，，，綜上所述，或；（3）聯(lián)立，解得，，令，得，，，為中點(diǎn)，，，由題可得，點(diǎn)只能在邊和上，①在上時，如圖3，，，，，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)，，②當(dāng)在邊上，如圖4，，，如圖5，過作于，則，，，，過作于，，設(shè)，則，，，，，，③當(dāng)在邊上，在邊上時，如圖6，，，，過作于，，，，，設(shè)，，，，，④當(dāng)在上，在上時，，如圖7，，過，分別作得垂線，垂足分別為，，，，，四邊形是平行四邊形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，綜上所述，或或或．8．（2022?常州一模）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點(diǎn)引出的一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的“優(yōu)美分割線”．（1）如圖，在中，為角平分線，，，求證：為的“優(yōu)美分割線”；（2）請構(gòu)造一個三角形和它的“優(yōu)美分割線”，標(biāo)出相關(guān)角的度數(shù)；（3）在中，，，為的“優(yōu)美分割線”，且是等腰三角形，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）或【詳解】（1）證明：，，，不是等腰三角形，平分，，，為等腰三角形，，，，為的“優(yōu)美分割線”；（2）解：如圖，中，為“優(yōu)美分割線”；（3）解：①若時，如圖，此時，，則，故，在中，，，，在中，，，；②若時，如圖，作于，則，，，此時，，，，，，，，，，③若時，圖形不成立，綜上，或．9．（2022?天寧區(qū)模擬）如圖是證明勾股定理時用到的一個圖形，、、是和的邊長，顯然，我們把關(guān)于的一元二次方程稱為“弦系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）判斷方程是否為“弦系一元二次方程”？（填“是”或“否”，并說明理由；（2）求證：關(guān)于的“弦系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若是“弦系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求的面積．【答案】（1）是；（2）見解析；（3）1【詳解】（1）解：，，，，，，能構(gòu)成直角三角形，方程是否為是弦系一元二次方程”．故答案為：是．（2）證明：根據(jù)題意，得△，，△，弦系一元二次方程必有實(shí)數(shù)根；（3）解：當(dāng)時，有，即，，，，，，，，．10．（2022?常州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且，．給出如下定義：若平面上存在一點(diǎn)，使是以線段為斜邊的直角三角形，則稱點(diǎn)為點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，在點(diǎn)、和中，是點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”的是；②點(diǎn)在軸的正半軸上，且，當(dāng)直線上存在點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”時，求的取值范圍；（2）的半徑為，點(diǎn)為點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”，若使得的邊與有交點(diǎn)，直接寫出半徑的取值范圍．【答案】（1）①、；②；（2）【詳解】（1）①點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，，，，，不是點(diǎn)、的“直角點(diǎn)”；同理得，、是點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”，故答案為：、；②由題意知，的中點(diǎn)為，，點(diǎn)、的“直角點(diǎn)”在以為圓心，為半徑的上，當(dāng)直線與相切于點(diǎn)，如圖，連接，，，，，，同理：當(dāng)直線與相切于時，，，，綜上：；（2）如圖，由題意知，，，，，，，的邊與有交點(diǎn)，．11．（2022?武進(jìn)區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，（1）連接，若把線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則得線段，請?jiān)趫D①中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡），直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得△，點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，如圖②，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，邊上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，求的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）【詳解】（1）如圖①所示，點(diǎn)為所求點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，，點(diǎn)，點(diǎn)，，，把線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，△，，，點(diǎn)；（2）如圖②，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得△，，，，，，，，，，點(diǎn)，，，，，，，點(diǎn)，；（3）如圖③，過點(diǎn)作于，，，，，，旋轉(zhuǎn)，，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交軸于，此時的最小值為的長，，，，，的最小值為．12．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為圖形上一點(diǎn)，我們將線段長度的最大值與最小值之間的差定義為點(diǎn)視角圖形的“寬度”．（1）如圖，半徑為2，與軸交于點(diǎn)、．①在點(diǎn)視角下，的“寬度”為，線段的“寬度”為；②點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，若在點(diǎn)視角下，線段的“寬度”為2，求的取值范圍；（2）的圓心在軸上，且半徑為，，一次函數(shù)與軸，軸分別交于點(diǎn)，．若線段上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)視角下，的“寬度”可以為2，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）①4；2；②或；（2）所以為任意實(shí)數(shù)．【詳解】（1）①如圖，作直線交于，，，在點(diǎn)視角下，的“寬度”為4，連接，，，，，線段的“寬度”為2，故答案為：4；2．②當(dāng)在點(diǎn)右側(cè)時，當(dāng)時，，此時線段的“寬度”大于2，不符合題意，當(dāng)時，，，當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)時，，，，．綜上所述，或；（2）的“寬度”為2，，當(dāng)時，點(diǎn)出現(xiàn)在內(nèi)部，其軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．又點(diǎn)在線段上．該軌跡圓需要與線段有交點(diǎn)．如圖．當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)時，與相切時，，如圖中，當(dāng)在點(diǎn)右側(cè)時，經(jīng)過點(diǎn)時，．綜上所述，時，滿足條件的為：．當(dāng)時，在圓外任何一點(diǎn)的視角下，的“寬度”均為2．所以為任意實(shí)數(shù)．13．（2022?常州二模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點(diǎn)．求證：四邊形是鄰余四邊形；（2）如圖2，在的方格紙中，，在格點(diǎn)上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，，在格點(diǎn)上；（3）如圖3，已知四邊形是以為鄰余線的鄰余四邊形，，，，，求的長度．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）證明：，是的角平分線，，，，與互余，四邊形是鄰余四邊形；（2）解：如圖所示（答案不唯一），（3）解：如圖3，延長，交于點(diǎn)，四邊形是以為鄰余線的鄰余四邊形，，，，，，，，（負(fù)值舍去），．14．（2022?武進(jìn)區(qū)一模）閱讀理解：我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形，設(shè)這個平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角中較小的一個內(nèi)角為，我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度．（1）若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內(nèi)角是，則這個平行四邊形的變形度是；（2）若矩形的面積為，其變形后的平行四邊形面積為，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，且，這個矩形發(fā)生變形后為，為的對應(yīng)點(diǎn)，連接，，若矩形的面積為，的面積為，求的大?。敬鸢浮浚?）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）平行四邊形有一個內(nèi)角是，，；故答案為：；（2），理由：如圖1，設(shè)矩形的長和寬分別為，，變形后的平行四邊形的高為，，，，，，；（3）如圖2，，，即，，△△，，，，，由（2）知，；可知，，，．15．（2022?天寧區(qū)校級二模）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式一一利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一一運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程．在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點(diǎn)或平移的方法畫出了所學(xué)的函數(shù)圖象．同時，我們也學(xué)習(xí)了絕對值的意義．結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：在函數(shù)中，當(dāng)時，；當(dāng)時，．（1）求這個函數(shù)的表達(dá)式；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．（4）若方程有四個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】（1）；（2）見解析；（3）；（4）【詳解】（1）在函數(shù)中，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，解得，這個函數(shù)的表達(dá)式是；（2），，函數(shù)過點(diǎn)和點(diǎn)；函數(shù)過點(diǎn)和點(diǎn)，該函數(shù)的圖象如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)時，的值隨的增大而增大；（3）由函數(shù)的圖象可得，不等式的解集是：；（4）由得，作出的圖象，由圖象可知，要使方程有四個不相等實(shí)數(shù)根，則，故答案為：．16．（2022?天寧區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別是與．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點(diǎn)，給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為線段的“等角點(diǎn)”．（1）當(dāng)時，①若點(diǎn)為線段在第一象限的“等角點(diǎn)”，且在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②若點(diǎn)為線段的“等角點(diǎn)”，并且在軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）已知直線上總存在線段的“等角點(diǎn)”，則的范圍是．【答案】（1）①，；②；（2）時，直線上總存在線段的“等角點(diǎn)”．【詳解】（1）①如圖1，作的外接圓，設(shè)圓心為，連接，，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別是與，，，，，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)在直線上，，，，，，，故答案為：，；②如圖2所示，同理作的外接圓，設(shè)圓心為，過作軸于，作于，連接，，在軸上存在，則①知：，，，由勾股定理得：，，同理得：，，綜上分析，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：；（2）作的外接圓，，，，，，，，設(shè)直線與軸、軸的交點(diǎn)分別為、，，，，，過點(diǎn)作軸于直線交于點(diǎn)，，，當(dāng)時，，，，，，解得或，時，直線上總存在線段的“等角點(diǎn)”．17．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)分別為，，，．對于圖形，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為正方形邊上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形的“正方距”，記作．已知點(diǎn)．①直接寫出（點(diǎn)的值；②過點(diǎn)畫直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)（線段取最小值時，求的取值范圍；③設(shè)是直線上的一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑作．若滿足，直接寫出圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】①4；②；③或．【詳解】①，，（點(diǎn)；②（線段取最小值，（線段的最小值（點(diǎn)，（點(diǎn)，當(dāng)（點(diǎn)時，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，；③由②可知，（點(diǎn)（點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限或第四象限，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時，時，，解得或（舍；當(dāng)點(diǎn)在第四象限時，時，，解得或（舍；，或．18．（2022?天寧區(qū)校級一模）如圖，點(diǎn)，在函數(shù)（其中的圖象上，連接．取線段的中點(diǎn)．分別過點(diǎn)，，作軸的垂線，垂足為，，，交函數(shù)（其中的圖象于點(diǎn)．小明運(yùn)用幾何知識得出結(jié)論：，．設(shè)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，．（1）①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．②請你仔細(xì)觀察函數(shù)其中的圖象，并由此得出一個關(guān)于，，，之間數(shù)量關(guān)系的真命題：若，則．（2）請你說明在（1）中你提出的命題是真命題的理由；（3）比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）①；②；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）①，，都垂直于軸，，是的中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，，，故答案為：；②點(diǎn)，，在上，，，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，；（3），，．19．（2022?溧陽市模擬）規(guī)定：如果一個凸四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此凸四邊形為廣義菱形．（1）下列圖形是廣義菱形的有：．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；（2）若、的坐標(biāo)分別為，，是二次函數(shù)的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，垂直直線于點(diǎn)，試說明四邊形是廣義菱形；（3）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，請你在軸和反比例函數(shù)上分別找出兩點(diǎn)、，使得四邊形是廣義菱形且，請直接寫出、的坐標(biāo)．【答案】（1）③④；（2）見解析；（3），或，【詳解】（1）解：①平行四邊形符合一組對邊平行，不符合一組鄰邊相等，不是廣義菱形，②矩形符合一組對邊平行，不符合一組鄰邊相等，不是廣義菱形，③菱形符合一組對邊平行，且一組鄰邊相等，是廣義姜形，④正方形符合一組對邊平行，且一組鄰邊相等，是廣義菱形，故答案為：③④；（2）證明：設(shè)點(diǎn)，則，，，點(diǎn)在第一象限，，，，又，四邊形是廣義菱形；（3）解：由題意，設(shè)，，，，，，，解得，，四邊形是廣義菱形時，有兩種情況：當(dāng)時，如圖，作軸，軸，與交于，，，軸，，，，設(shè)，，，，，解得或（此時，與重合，舍去），；當(dāng)時，如圖，作軸，軸，與交于，作軸于點(diǎn)，，，軸，，，，，，，，，設(shè)，，，，，解得或（舍去），當(dāng)時，，，；綜上，，或，．20．（2022?金壇區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對任意兩點(diǎn)，與，的“識別距離”，給出如下定義：若，則點(diǎn)，與，的“識別距離”是；若，則點(diǎn)，與，的“識別距離”是．（1）如圖1，已知點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)．①若點(diǎn)與點(diǎn)的“識別距離”為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；②直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)的“識別距離”的最小值是；（2）如圖2，已知點(diǎn)，點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上一個動點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)的“識別距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖3，已知點(diǎn)，點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，以為圓心，長為半徑作，設(shè)是上任上一個動點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)的“識別距離”滿足，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）①或；②1；（2）；（3）或【詳解】（1）①設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)識別距離的概念，可知，，．解得，或，的坐標(biāo)為或．，故答案為或；②，與的最小識別距離為1，故答案為：1；（2）如圖，過點(diǎn)作平行于軸的直線，與過點(diǎn)作平行于軸的直線交于，根據(jù)定義“若，則點(diǎn)，與，的識別距離是”，當(dāng)取點(diǎn)與點(diǎn)的“識別距離”的最小值時，則，即，設(shè)，則，解得：，，，，此時點(diǎn)與點(diǎn)的“識別距離”的最小值是；（3）點(diǎn)與點(diǎn)的“識別距離”滿足，滿足條件的位于一、三象限，當(dāng)在第三象限時，位于直線和直線之間，如圖3（1），此時，所以，，；當(dāng)在第一象限時，位于切線直線和直線之間，如圖3（2），此時，，所以，，即，當(dāng)或時，直線和均為切線，直線為，、均為等腰直角三角形，．，；綜上所述，的橫坐標(biāo)的取值范圍為：或．21．（2022?天寧區(qū)校級二模）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．（1）若是軸上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)時，的周長最短；（2）若，是軸上的兩個動點(diǎn)，則當(dāng)時，四邊形的周長最短；（3）設(shè)，分別為軸和軸上的動點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)、，使四邊形的周長最短？若存在，請求出，（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3），【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是，其坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得，，令得，即．（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，且延長，?。鳇c(diǎn)，連接．那么．直線的解析式為，即，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且在直線上，．（3）存在使四邊形周長最短的點(diǎn)、，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與軸、軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)、，，，直線的解析式為：，，，．，．