特訓(xùn)11期末解答壓軸題（Ⅱ）代數(shù)題綜合

特訓(xùn)11期末解答壓軸題（Ⅱ）代數(shù)題綜合一、解答題1．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期末）對于數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D，點(diǎn)M，N分別是線段，的中點(diǎn)，若，則將e的值稱為線段，的相對離散度．特別地，當(dāng)點(diǎn)M，N重合時(shí)，規(guī)定．設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)O表示的數(shù)為0，點(diǎn)T表示的數(shù)為2．(1)若數(shù)軸上點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H表示的數(shù)分別是，，3，5，則線段，的相對離散度是，線段，的相對離散度是；(2)設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)O右側(cè)的點(diǎn)S表示的數(shù)是s，若線段，的相對離散度為，求s的值；(3)設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是p，若線段，的相對離散度為e，請用含p的代數(shù)式表示e.【答案】(1)；(2)s的值為或6(3)當(dāng)P在原點(diǎn)左側(cè)，；當(dāng)P在原點(diǎn)右側(cè)，【分析】（1）先計(jì)算中點(diǎn)，再根據(jù)公式計(jì)算即可得到答案；（2）設(shè)線段，的中點(diǎn)為L，K，分別計(jì)算出中點(diǎn)，根據(jù)公式建立方程，解方程即可得到答案；（3）分別根據(jù)P在原點(diǎn)左和右側(cè)兩種情況展開討論，根據(jù)公式建立等式即可得到答案．【解析】（1）解：線段的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)表示的數(shù)為，∴，∴，∵線段，的中點(diǎn)表示的數(shù)都是1，∴，故答案為：；；（2）解：設(shè)線段，的中點(diǎn)為L，K，∵數(shù)軸上點(diǎn)O右側(cè)的點(diǎn)S表示的數(shù)是s，點(diǎn)T表示的數(shù)為2，∴，．∴點(diǎn)L，K在數(shù)軸上表示的數(shù)為，1，∴．∵線段，的相對離散度為，∴，∴，解得：或．（3）解：當(dāng)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，的中點(diǎn)表示的數(shù)為，的中點(diǎn)表示的數(shù)為1∴，∴，當(dāng)P在原點(diǎn)右側(cè)，，，的中點(diǎn)表示的數(shù)為，的中點(diǎn)表示的數(shù)為1∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)、兩點(diǎn)的中點(diǎn)和距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立等式．2．（2022春·江蘇泰州·七年級校考期末）已知關(guān)于x，y的方程組(n是常數(shù))．(1)當(dāng)n=1時(shí)，則方程組可化為①請直接寫出方程x+2y=3的所有非負(fù)整數(shù)解．②若該方程組的解也滿足方程x+y=2，求m的值．(2)當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，x2y+mx=5就對應(yīng)一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，你能求出這個(gè)公共解嗎?(3)當(dāng)n=3時(shí)，如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)m的值．【答案】(1)①或者；②4(2)(3)2或0【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出①的解；②加減消元法求出方程組的解，再代入，求出m的值．（2）當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，這些方程有一個(gè)公共解，就是與m的取值無關(guān)，可得，x=0，代入求出y，即可求出公共解．（3）當(dāng)n=3時(shí)方程組，結(jié)合方程組有整數(shù)解且m為整數(shù)，求出滿足條件的m的值，再求出對應(yīng)的方程組的解．【解析】（1）①或②由題意得由①－②得:y=1把y=1代入①得:x=1方程組的解是把代入中得：12+m=5∴m=4∴m的值為4．（2）∵x?2y＋mx＝?5∴(m+1)x?2y＝?5∵當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，這些方程有一個(gè)公共解∴x=0∴?2y＝?5∴是這些方程有公共解（3）當(dāng)n=3時(shí)方程組為∴∵方程組有整數(shù)解且m為整數(shù)∴5+2m=±1或5+2m=±5當(dāng)5+2m=1時(shí)，即m=2，方程組的解為當(dāng)5+2m=1時(shí)，即m=3，方程組的解為當(dāng)5+2m=5時(shí)，即m=0，方程組的解為當(dāng)5+2m=5時(shí)，即m=5，方程組的解為綜上所述整數(shù)m的值為2或0．【點(diǎn)睛】此題考查了如何解二元一次組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定m的取值．3．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）小明的數(shù)學(xué)研學(xué)作業(yè)單上有這樣一道題：已知，且，，設(shè)，那么w的取值范圍是什么？【回顧】小明回顧做過的一道簡單的類似題目：已知：，設(shè)y=，那么y的取值范圍是.（請你直接寫出答案）【探究】小明想：可以將研學(xué)單上的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為上面回顧的類似題目.由得，則，由，，得關(guān)于x的一元一次不等式組，解該不等式組得到x的取值范圍為，則w的取值范圍是.【應(yīng)用】（1）已知a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，設(shè)t=a+b，求t的取值范圍；（2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常數(shù)），且a＞1，b≤1，的最大值為（用含n的代數(shù)式表示）；【拓展】若，且，，，設(shè)，且m為整數(shù)，那么m所有可能的值的和為.【答案】0＜y＜3；；2≤x＜3；4≤w＜6；（1）2＜t＜8；（2）2n+3；6【分析】回顧：利用不等式的基本性質(zhì)求出0＜x+1＜3，即可求解；探究：根據(jù)所給材料的過程進(jìn)行解題即可；（1）由題意得t＝4+2b，則關(guān)于b的一元一次不等式組，求出﹣3＜b＜2，即可求﹣2＜t＜8；（2）由題意可得關(guān)于a的一元一次不等式組，解得1＜a≤n+1，設(shè)t＝2a+b＝3a﹣n，求出3﹣n＜t≤2n+3，即可求t的最大值；拓展：由題意分別求出x＝2y+4，z＝3y+6，則關(guān)于y的不等式組為，解得﹣2＜y≤1，可得m＝﹣y+2，求出1≤m＜4，可知m＝1，2，3，則m所有可能的值的和為6．【解析】【回顧】∵﹣1＜x＜2，∴0＜x+1＜3，∵y＝x+1，∴0＜y＜3，故答案為：0＜y＜3；【探究】由題意可得，解不等式組可得：﹣2≤x＜3，∵w＝2x，∴﹣4≤w＜6，故答案為：，﹣2≤x＜3，﹣4≤w＜6；（1）由a﹣b＝4得a＝4+b，∴t＝a+b＝4+b+b＝4+2b，∵a＞1，b＜2，∴關(guān)于b的一元一次不等式組，解該不等式組得﹣3＜b＜2，∴﹣2＜t＜8；（2）∵a﹣b＝n，∴b＝a﹣n，∵a＞1，b≤1，∴關(guān)于a的一元一次不等式組，解得1＜a≤n+1，設(shè)t＝2a+b＝2a+a﹣n＝3a﹣n，∴3﹣n＜t≤2n+3，∴2a+b的最大值為2n+3，故答案為：2n+3；【拓展】∵3x＝6y+12，∴x＝2y+4，∵6y+12＝2z，∴z＝3y+6，∴關(guān)于y的一元一次不等式為，解得﹣2＜y≤1，∵m＝2x﹣2y﹣z＝2（2y+4）﹣2y﹣（3y+6）＝﹣y+2，∴1≤m＜4，∵m為正數(shù)，∴m＝1，2，3，∴m所有可能的值的和為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法，理解閱讀材料，并能靈活應(yīng)用閱讀材料的方法解題是關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）拼圖是一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，我們利用硬紙板拼圖，不僅可以探索整式乘法與因式分解之間的內(nèi)在聯(lián)系，還可以利用同一圖形不同的面積表示方法來探索新的結(jié)論．(1)觀察下面圖①的硬紙板拼圖，寫出一個(gè)表示相等關(guān)系的式子：____________________；(2)用不同的方法表示圖②中陰影部分的面積，可以得到的乘法公式為____________________；(3)兩個(gè)邊長為a，b，c的直角三角形硬紙板和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形硬紙板拼成圖③，用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積．你發(fā)現(xiàn)a，b，c之間具有的相等關(guān)系為____________________.（用最簡形式表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)大長方形的面積等于三個(gè)小正方形的面積與三個(gè)小長方形的面積之和即可得；（2）方法一：圖②中陰影部分的面積等于兩個(gè)小長方形的面積之和；方法二；圖②中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，由此即可得；（3）方法一：利用直角梯形的面積公式求出這個(gè)圖形的面積；方法二：這個(gè)圖形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，由此建立等式，并利用完全平方公式進(jìn)行化簡即可得．【解析】（1）解：由圖可知，大長方形的面積等于三個(gè)小正方形的面積與三個(gè)小長方形的面積之和，則，故答案為：．（2）解：方法一：圖②中陰影部分的面積等于兩個(gè)小長方形的面積之和，即，方法二：圖②中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，即，則可以得到的乘法公式為，故答案為：．（3）解：方法一：這個(gè)圖形是一個(gè)直角梯形，它的面積為，方法二：這個(gè)圖形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，即，則，整理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法與圖形面積、乘法公式與圖形面積，熟練掌握整式的乘法與乘法公式是解題關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）長方形ABCD和正方形CEFH，按如圖所示的方式疊放在一起，且長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等（其中點(diǎn)D在EC上，點(diǎn)B在CH的延長線上，AD和FH相交于點(diǎn)G），已知正方形CEFH的邊長為a，長方形ABCD的寬為b，長為c（b＜a＜c）．(1)寫出a，b，c之間的等量關(guān)系；(2)若長方形ABHG的周長記作C1，長方形DEFG的周長記作C2．①求C1+C2的值（用含a、c的代數(shù)式表示）；②若關(guān)于c的不等式C1+C2＜10﹣2c的正整數(shù)解只有2個(gè)，求a的取值范圍；(3)若長方形ABHG的面積記作S1，長方形DEFG的面積記作S2，試比較2S2與S1的大小，并說明理由．【答案】(1)；(2)①，②；(3)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)長方形ABHG與正方形DEFG的周長相等，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題；（2）①用b，c，a表示上述出矩形的周長，相加即可；②把的值代入得到關(guān)于c的不等式，求出c的取值范圍，其正整數(shù)解只有2個(gè)，得到關(guān)于a的不等式，解出即可得到a的取值范圍；（3）利用求差法比較大小即可．（1）解：∵長方形ABHG和正方形DEFG周長相等，∴，∴；（2）解：①∵長方形ABHG的周長記作，長方形DEFG的周長記作＝2（2a－b），∴；②∵，∴，∴c＜,∵c的正整數(shù)解只有2個(gè)，∴，解得：，∴a的取值范圍是；（3）解：．理由：∵，，∴．∵，∴，∴，∵b＜a＜c，∴a－b＞0，∴＞0，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了長方形和正方形的面積與周長、解含有參數(shù)的一元一次不等式、作差法比較大小、整式的加減、整式的乘法、因式分解等知識，熟練掌握整式的運(yùn)算法則和一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解為x＝4，而不等式組的解集為2＜x＜5，不難發(fā)現(xiàn)x＝4在2＜x＜5的范圍內(nèi)，所以方程x﹣1＝3是不等式組的“相依方程”．(1)在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式組的“相依方程”是；（填序號）(2)若關(guān)于x的方程2x+k＝6是不等式組的“相依方程”，求k的取值范圍．【答案】(1)①③(2)4≤k＜8【分析】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）先求出不等式組的解集，然后再解方程求出，最后根據(jù)“相依方程”的定義列出關(guān)于k的不等式組，進(jìn)行計(jì)算即可；（1）解：①x﹣3＝0，解得：x＝3，②3x+2＝x，解得：x＝﹣1，③2x﹣10＝0，解得：x＝5，，∴原不等式組的解集為：2＜x≤5，∴不等式組的“相依方程”是：①③，故答案為：①③；（2），解不等式①得：x＞?1，解不等式②得：x≤1，∴原不等式組的解集為：?1＜x≤1，2x+k＝6，解得：，∵關(guān)于x的方程2x+k＝6是不等式組的“相依方程”，∴?1＜≤1，解得：4≤k＜8．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“相依方程”是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀感悟】不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式線或，不等式也可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組或，我們把不等式與稱為同解不等式．【概念理解】(1)下列屬于同解不等式的是______；①與；②與；③與；④與．【問題解決】(2)解不等式：；【拓展延伸】(3)不等式的解是______．【答案】(1)④(2)≤3(3)或【分析】（1）根據(jù)同解不等式的定義即可判斷；（2）根據(jù)同解不等式的定義轉(zhuǎn)化即可解答；（3）將其轉(zhuǎn)化成同解不等式即可解答．(1)解：根據(jù)同解不等式的定義可知，①與，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；②與，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；③與且，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；④與，選項(xiàng)正確．故選：④；(2)解：等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組①或②；不等式組①無解，不等式組②的解為：，不等式的解為；(3)解：等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組①或②，等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組③或④，不等式組③無解，不等式組④的解為：，的解為；等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組⑤或⑥，不等式組⑤的解為，不等式組⑥的解為：，的解為或，不等式組①的解為：或，不等式組②無解，不等式的解為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）對于數(shù)x，我們用(x]表示小于x的最大整數(shù)，如：(2.6]=2，(3]=4．(1)填空：(2021]=，(0.7]=．(2)如果a、b都是整數(shù)，(a]和(b]互為相反數(shù)，求代數(shù)式a2?b2+4b的值；(3)如果|(x]|=2，請直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)?2022；0；(2)4(3)?2＜x≤?1或2＜x≤3．【分析】（1）根據(jù)（x]表示的意義并結(jié)合有理數(shù)的大小比較求解；（2）根據(jù)a，b都是整數(shù)，且（a]和（b]互為相反數(shù)，得到a＋b＝2，進(jìn)而代入求值即可；（3）根據(jù)絕對值的意義分x＜0或x＞0兩種情況進(jìn)行解答．(1)解：由題意可得：（?2021]＝?2022，（0.7]＝0，故答案為：?2022；0；(2)∵a，b都是整數(shù)，∴（a]＝a?1，（b]＝b?1，而（a]和（b]互為相反數(shù)，∴a?1＋b?1＝0，即a＋b＝2，∴＝（a＋b）（a?b）＋4b＝2（a?b）＋4b＝2a?2b＋4b＝2a＋2b＝2（a＋b）＝2×2＝4，∴代數(shù)式的值為4；(3)當(dāng)x＜0時(shí)，∵|（x]|＝2，∴（x]＝?2，∴?2＜x≤?1，當(dāng)x＞0時(shí)，∵|（x]|＝2，∴（x]＝2，∴2＜x≤3，綜上，x的取值范圍為?2＜x≤?1或2＜x≤3．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，絕對值的意義和有理數(shù)的大小比較，理解新定義內(nèi)容的意義，注意分類討論思想解題是關(guān)鍵．9．（2022春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）疫情當(dāng)前，每一個(gè)中國人都應(yīng)該挺身而出，為戰(zhàn)勝疫情而努力付出．疫情期間，某口罩生產(chǎn)企業(yè)為戰(zhàn)勝疫情盡一份力，決定在原有生產(chǎn)機(jī)器的基礎(chǔ)上，增加生產(chǎn)力度，再購進(jìn)6臺機(jī)器用于擴(kuò)大生產(chǎn)某種型號口罩．現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺機(jī)器日生產(chǎn)該型號口罩的數(shù)量如下表所示．經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所耗資金不能超過34萬元．甲乙價(jià)格（萬元/臺）75每臺日產(chǎn)量（萬個(gè)）10060(1)按照企業(yè)要求可以有幾種購買方案？(2)如果該企業(yè)共購進(jìn)了6臺機(jī)器，同時(shí)要求日生產(chǎn)能力不能低于400萬個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種購買方案？【答案】(1)3種(2)甲1臺，乙5臺【分析】（1）根據(jù)題意，列出不等式，進(jìn)而找出購買方案；（2）由（1）得，根據(jù)3種方案進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而找出合適的購買方案．(1)解：設(shè)購買甲機(jī)器x臺，則購買乙機(jī)器（6x）臺，由題意，得7x+5（6x）≤34，解得x≤2，∵x為非負(fù)整數(shù)，∴x可取0，1，2，∴按照企業(yè)要求可以有3種購買方案．答：按照企業(yè)要求可以有3種購買方案．(2)解：由（1），得按照企業(yè)要求可以有3種購買方案，∴方案一：購買甲0臺，購買乙6臺；方案二：購買甲1臺，購買乙5臺；方案三：購買甲2臺，購買乙4臺，∴方案一的日生產(chǎn)量為：0×100+6×60=360（萬個(gè)）；方案二的日生產(chǎn)量為：1×100+5×60=400（萬個(gè)）；方案三的日生產(chǎn)量為：2×100+4×60=440（萬個(gè)）；∵360<400<440，∴為了節(jié)約資金，日生產(chǎn)能力不能低于400萬個(gè)，應(yīng)購買1臺甲機(jī)器，5臺乙機(jī)器．答：為了節(jié)約資金，日生產(chǎn)能力不能低于400萬個(gè)，應(yīng)購買1臺甲機(jī)器，5臺乙機(jī)器．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，找到不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）對于有理數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算例如，因?yàn)?，所以?1)計(jì)算：；(2)若，求；(3)記，，判斷和的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算的規(guī)則展開，再求出即可；（2）先根據(jù)新運(yùn)算的規(guī)則展開，再解一元一次方程即可；（3）先根據(jù)新運(yùn)算的規(guī)則展開，再求出，，最后用差值法比較和的大?。窘馕觥浚?）∵，∴．（2）當(dāng)，即時(shí)，∵，∴，∴，當(dāng)，即時(shí)，∵，∴，∴，∵，∴不合題意，舍去，綜上所述，．（3）理由如下：∵，∴，∴∵，∴，∴∴∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解一元一次方程，整式的運(yùn)算，能根據(jù)新運(yùn)算展開是解本題的關(guān)鍵．11．（2022春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題；(1)【直接應(yīng)用】若，，求xy的值；(2)【類比應(yīng)用】填空：①若，則______；②若，則______；(3)【知識遷移】兩塊全等的特制直角三角板（）如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD．若，，求一塊直角三角板的面積．【答案】(1)7(2)①7；②(3)30【分析】（1）把，代入從而可得答案；（2）①由完全平方公式的變形可得，再代入求值即可；②利用完全平方公式變形可得，再求值即可；（3）先證明三點(diǎn)共線，可得結(jié)合已知條件可得再利用，求解2ab，從而可得答案．（1）解：，，而解得：（2）①，②，（3）三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，，，【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式及其變形的應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用完全平方公式的幾個(gè)變形是解本題的關(guān)鍵．12．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）南京火車貨運(yùn)站現(xiàn)有甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸，某公司將安排一列火車將這批貨物運(yùn)往上海，這列火車可掛、兩種不同型號貨廂50節(jié)(1)已知甲種貨物35噸和乙種貨物15噸可裝滿一節(jié)型貨廂，甲種貨物25噸和乙種貨物35噸可裝滿一節(jié)型貨廂，運(yùn)輸這批貨物有幾種安排貨廂方案？(2)若一節(jié)型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.5萬元，一節(jié)型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.8萬元，如何安排運(yùn)輸方案，才能使得運(yùn)費(fèi)最少？并求出最少運(yùn)費(fèi)．【答案】(1)共有三種方案，見詳解(2)安排A型貨廂30輛，B型貨廂20輛時(shí)，運(yùn)費(fèi)最少，且最少運(yùn)費(fèi)為31萬元【分析】（1）設(shè)安排A型貨廂x節(jié)，則安排B型貨廂（50x）節(jié)，由題意得，解出不等式組并取整數(shù)分情況分析即可求解．（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W萬元，列出二元一次方程，根據(jù)（1）中x的值分情況討論即可求解．【解析】（1）解：設(shè)安排A型貨廂x節(jié)，則安排B型貨廂（50x）節(jié)，根據(jù)題意，可列方程組為，解得：，∵x為整數(shù)，∴x=28或29或30，因此共有三種方案，分別為：第一種方案：安排A型貨廂28輛，B型貨廂22輛，第二種方案：安排A型貨廂29輛，B型貨廂21輛，第三種方案：安排A型貨廂30輛，B型貨廂20輛．（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W萬元，，∴當(dāng)安排A型貨廂28輛，B型貨廂22輛時(shí)，，當(dāng)安排A型貨廂29輛，B型貨廂21輛時(shí)，W=31.3，當(dāng)安排A型貨廂30輛，B型貨廂20輛時(shí)，W=31，∴安排A型貨廂30輛，B型貨廂20輛時(shí)，運(yùn)費(fèi)最少，且最少運(yùn)費(fèi)為31萬元，答：安排A型貨廂30輛，B型貨廂20輛時(shí)，運(yùn)費(fèi)最少，且最少運(yùn)費(fèi)為31萬元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用問題、二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用問題，根據(jù)題意，找準(zhǔn)不等關(guān)系及等量關(guān)系，列出不等式組及等式，根據(jù)解分情況討論是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）（1）學(xué)習(xí)“完全平方公式”時(shí)，小明遇到課本上一道題目“計(jì)算”，他聯(lián)系所學(xué)過的知識和方法，想到兩種解決思路；①可以用“整體思想”把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為兩部分：或，然后可以利用完全平方公式解決，請你選擇一種變形方法寫出計(jì)算過程．②可以用“數(shù)形結(jié)合”的方法，畫出表示的圖形，根據(jù)面積關(guān)系得到結(jié)果．請你在下面方框中畫出圖形，并作適當(dāng)標(biāo)注．（2）利用（1）的結(jié)論分解因式：_______．（3）小明根據(jù)“任意一個(gè)數(shù)的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多項(xiàng)式的最大值或最小值，方法如下：①∵∴．故當(dāng)時(shí)代數(shù)式的最小值為2②∵∴故當(dāng)時(shí)代數(shù)式的最大值為4請你參考小明的方法，求當(dāng)x，y取何值時(shí)代數(shù)式有最小值，并確定它的最小值．【答案】（1）①見詳解，②見詳解（2）（3），，時(shí)，有最小值，為18．【分析】（1）①運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；②可畫出邊長為a+b+c的正方形即可；（2）將多項(xiàng)式組合后，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（3）將代數(shù)式化成完全平方式即可判斷出結(jié)果．【解析】解：（1）①第一種變形方法：====；第二種變形方法：====；②如圖，，（2）===，故答案為：；（3），∵，，∴當(dāng)，，即，時(shí)，有最小值，為18．即，，時(shí)，有最小值，為18．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，能靈活運(yùn)用完全平方公式解決問題是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）某地區(qū)為綠化環(huán)境，計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共計(jì)棵．有關(guān)甲、乙兩種樹苗的信息如圖所示．信息1．甲種樹苗每棵60元；2．乙種樹苗每棵90元；3．甲種樹苗的成活率為；4．乙種樹苗的成活率為．(1)當(dāng)時(shí)，如果購買甲、乙兩種樹苗公用27000元，那么甲、乙兩種樹苗各買了多少棵？(2)實(shí)際購買這兩種樹苗的總費(fèi)用恰好為27000元，其中甲種樹苗買了棵．①寫出與滿足的關(guān)系式；②要使這批樹苗的成活率不低于，求的最大值．【答案】(1)甲種樹苗購買了300棵，乙種樹苗購買了100棵(2)①；②375【分析】（1）解設(shè)甲種樹苗購買了棵，乙種樹苗購買了棵，根據(jù)題意，得二元一次方程組求解即可；（2）①根據(jù)題意，實(shí)際購買這兩種樹苗的總費(fèi)用恰好為27000元，列出m和n的關(guān)系式，批樹苗的成活率不低于，得出一元一次不等式即可求解；(1)解：設(shè)甲種樹苗購買了棵，乙種樹苗購買了棵，根據(jù)題意，得，解得，所以甲種樹苗購買了300棵，乙種樹苗購買了100棵．(2)①根據(jù)題意，得，即．②根據(jù)題意，得，把帶入，得，解得，所以的最大值為375．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，通過解二元一次方程，找出m與n的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·江蘇連云港·七年級?？计谀╅喿x理解：定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”．例如：的解為，的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以是的“子方程”．問題解決：（1）在方程①，②，③中，不等式組的“子方程”是；（填序號）（2）若關(guān)于x的方程是不等式組的“子方程”，求k的取值范圍；（3）若方程，都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）③；（2）；（3）．【分析】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）解不等式組求得其解集，解方程求出x=，根據(jù)“子方城”的定義列出關(guān)于k的不等式組，解之可得；（3）先求出方程的解和不等式組的解集，分＜與＞討論，即可得出答案．【解析】解：（1）解方程：3x1=0得：

解方程：得：，解方程：得：x=3，解不等式組：得：2＜x≤5，所以不等式組的“子方程”是③．故答案為：③；（2）解不等式3x6＞4x，得：＞，解不等式x1≥4x10，得：x≤3，則不等式組的解集為＜x≤3，解：2xk=2，得：x=，∴＜≤3，＜，解得：3＜k≤4；（3）解方程：2x+4=0得，解方程：得：，解關(guān)于x的不等式組當(dāng)＜時(shí)，不等式組為：，此時(shí)不等式組的解集為：＞，不符合題意，所以：＞所以得不等式的解集為：m5≤x＜1，∵2x+4=0，都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，∴，解得：2＜m≤3．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，解一元一次方程和一元一次不等式組，理解“子方程”的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·江蘇連云港·七年級校考期末）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過圖形面積的計(jì)算，常?？梢缘玫揭恍┯杏玫男畔ⅲ蚩梢郧蟪鲆恍┎灰?guī)則圖形的面積．（1）如圖1所示，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小長方形，且．觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為___________．（2）若圖1中每塊小長方形的面積為，四個(gè)正方形的面積和為，試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和．（3）將圖2中邊長為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一條直線上，連接和，若這兩個(gè)正方形的邊長滿足，，請求出陰影部分的面積．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）48cm；（3）29【分析】（1）依據(jù)大長方形的面積，即可得到2m2+5mn+2n2=（m+2n）（2m+n）；（2）依據(jù)mn=12，2n2+2m2=80，即可得到（m+n）2=n2+m2+2mn=64，進(jìn)而得出m+n=8，據(jù)此可得所有裁剪線（虛線部分）長之和=6（m+n）=48（cm）；（3）陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之和減去兩個(gè)直角三角形的面積．【解析】解：（1）∵大長方形的面積=2m2+5mn+2n2，大長方形的面積=（m+2n）（2m+n），∴2m2+5mn+2n2=（m+2n）（2m+n），故答案為：（m+2n）（2m+n）；（2）由題意得：mn=12，2n2+2m2=80，∴n2+m2=40，∴（m+n）2=n2+m2+2mn=64，∵m＞0，n＞0，∴m+n=8，∴圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和=6（m+n）=48（cm）；（3）陰影部分的面積=a2+b20.5a20.5b（a+b）=0.5（a2+b2ab）=0.5[（a+b）23ab]=0.5×（10042）=29．【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，讀懂圖形信息、掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）某商家線上銷售甲、乙兩種紀(jì)念品．為了吸引顧客，該商家推出兩種促銷方案A和B，且每天只能選擇其中一種方案進(jìn)行銷售．方案A、B分別對應(yīng)的甲、乙兩種紀(jì)念品的單件利潤（單位：元）如下表：甲紀(jì)念品單件利潤乙紀(jì)念品單件利潤方案A1220方案B1816該商家每天限量銷售甲、乙兩種紀(jì)念品共100件，且當(dāng)天全部售完．(1)某天采用方案A銷售，當(dāng)天銷售甲、乙兩種紀(jì)念品所獲得的利潤共1520元，求甲、乙兩種紀(jì)念品當(dāng)天分別銷售多少件？(2)某天銷售甲、乙兩種紀(jì)念品，要使采用方案B當(dāng)天所獲得的利潤不低于采用方案A當(dāng)天所獲得的利潤，求甲種紀(jì)念品當(dāng)天的銷量至少是多少件？(3)經(jīng)市場調(diào)研，甲種紀(jì)念品熱銷．為了提高乙種紀(jì)念品的銷量，要保證乙種紀(jì)念品每天的銷量不低于60件，且每天銷售甲、乙兩種紀(jì)念品所獲得的利潤不少于1760元，則甲種紀(jì)念品每天的銷量最多是_____件．【答案】(1)甲、乙兩種紀(jì)念品當(dāng)天的銷售量分別是60件、40件(2)甲種紀(jì)念品當(dāng)天的銷量至少是40件(3)30【分析】（1）按照題目中等量關(guān)系列方程組解答，題目中的等量關(guān)系為：①甲種紀(jì)念品銷售件數(shù)+乙種紀(jì)念品的銷售件數(shù)=100，②甲種紀(jì)念品的銷售利潤+乙種紀(jì)念品的銷售利潤=1520．（2）根據(jù)不等關(guān)系列不等式解答，題目中的不等關(guān)系為：方案B當(dāng)天所獲利潤≥方案A當(dāng)天所獲利潤．（3）分別按照方案A，方案B兩種方案進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)題意列不等式組解答．【解析】（1）設(shè)甲、乙兩種紀(jì)念品當(dāng)天的銷售量分別是x件，y件．由題意得：解得答：甲、乙兩種紀(jì)念品當(dāng)天的銷售量分別是60件、40件．（2）設(shè)甲種紀(jì)念品當(dāng)天的銷量是m件，則乙種紀(jì)念品當(dāng)天的銷量是件解得答：甲種紀(jì)念品當(dāng)天的銷量至少是40件．（3）設(shè)甲種紀(jì)念品每天銷量為n件，則乙種紀(jì)念品每天的銷量是（100n）件，①按照方案A銷售：由題意，得．解這個(gè)不等式組，得n≤30．∴甲種紀(jì)念品每天銷量最多30件．②按照方案B銷售：由題意，得．解這個(gè)不等式組，得無解．綜上所述，符合要求的甲種紀(jì)念品每天的銷量最多是30件．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式（組）的應(yīng)用，弄清題意，找出（不）等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇蘇州·七年級?？计谀τ跀?shù)軸上不重合的兩點(diǎn)A，B，給出如下定義：若數(shù)軸上存在一點(diǎn)M，通過比較線段AM和BM的長度，將較短線段的長度定義為點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”．若線段AM和BM的長度相等，將線段AM或BM的長度定義為點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”．(1)當(dāng)數(shù)軸上原點(diǎn)為O，點(diǎn)A表示的數(shù)為1，點(diǎn)B表示的數(shù)為5時(shí)①點(diǎn)O到線段AB的“絕對距離”為______；②點(diǎn)M表示的數(shù)為m，若點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”為3，則m的值為______；(2)在數(shù)軸上，點(diǎn)P表示的數(shù)為6，點(diǎn)A表示的數(shù)為3，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度向正半軸方向移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B同時(shí)以每秒1個(gè)單位長度的速度向負(fù)半軸方向移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為秒，當(dāng)點(diǎn)P到線段AB的“絕對距離”為2時(shí)，求t的值．【答案】(1)①

；②﹣4或2或8(2)t的值為或【分析】(1))①分別求出OA、OB的長，然后比較大小，較短線段的長就是O點(diǎn)到線段AB的“絕對距離”．②分三種情況：點(diǎn)M在點(diǎn)A左邊時(shí)；點(diǎn)M在A、B中間時(shí)；點(diǎn)M在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)．(2)求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)需要的時(shí)間為秒，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)需要的時(shí)間為5秒，點(diǎn)P、點(diǎn)B相遇需要的時(shí)間為秒．再表示出移動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)B表示的數(shù)，然后分四種情況進(jìn)行討論：①；②；③；④t>5．根據(jù)點(diǎn)P到線段AB的“絕對距離”為2列出方程，解方程即可．【解析】（1）①∵OA=1，OB=5，1<5，∴點(diǎn)O到線段AB的“絕對距離”為1，故答案為1②點(diǎn)M表示的數(shù)為m，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為5，若點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”為3，則可分三種情況：Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左邊時(shí)，，∵點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”為3，∴，∴，符合題意；Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A、B之間時(shí)，∵，，如果，那么，此時(shí)，符合題意；Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右邊時(shí)，，∵點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”為3，∴，∴，符合題意；綜上，所求m的值為﹣4或2或8．故答案為﹣4或2或8．（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)需要的時(shí)間為秒，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)需要的時(shí)間為5秒，點(diǎn)P、點(diǎn)B相遇需要的時(shí)間為秒．當(dāng)移動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為．分四種情況：①當(dāng)時(shí)，，∵，∴，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，如果，，此時(shí)，不合題意，舍去；如果，，此時(shí)，不合題意，舍去；③當(dāng)時(shí)，，∵，∴，符合題意；④當(dāng)時(shí)，，∵，∴，不合題意，舍去．綜上，所求t的值為或【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離．理解點(diǎn)到線段的“絕對距離”的定義，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期末）某鋼鐵廠每天可開采菱鐵礦1920t，其中含鐵率為50%，每天可開采的褐鐵礦要比菱鐵礦多330t，且褐鐵礦的含鐵率比菱鐵礦提高了10個(gè)百分點(diǎn)．鋼鐵廠一期開采某處菱鐵礦，二期開采某處褐鐵礦，雖然二期開采天數(shù)比一期減少3天，但總產(chǎn)鐵量比一期提高了3750t．（注：本題中含鐵率＝×100%）（1）設(shè)一期菱鐵礦開采了x天，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，用含x的式子填表（結(jié)果需要化簡）：開采天數(shù)（天）每天開采量（t）含鐵率總產(chǎn)鐵量（t）一期x192050%二期1920+33050%+10%并分別求出一期和二期的開采天數(shù)．（2）該廠將全部開采的鐵礦石煉制加工成鋼鐵，一期將鋼鐵按照每噸a萬元定價(jià)，且全部售出．由于成本增加，該廠將二期的鋼鐵每噸定價(jià)提高了0.1萬元，也全部售出，且二期的總售價(jià)比一期多4170萬元，求a的值．【答案】（1）填表見解析，一期和二期的開采天數(shù)分別為20天和17天；（2）0.5【分析】（1）根據(jù)題意填表和列一元一次方程，解方程即可；（2）根據(jù)二期的總售價(jià)比一期多4170萬元，列方程，解得a值即可．【解析】解：（1）根據(jù)題意，一期總產(chǎn)鐵量為：（噸）；二期開采天數(shù)為（x3），二期總產(chǎn)鐵量為：（噸）；填表得，開采天數(shù)（天）每天開采量（t）含鐵率總產(chǎn)鐵量（t）一期x192050%960x二期x31920+33050%+10%1350x4050根據(jù)題意列方程得，，解得，，，答：一期和二期的開采天數(shù)分別為20天和17天；（2）由（1）得，一期總產(chǎn)鐵量為噸，二期總產(chǎn)鐵量為噸，根據(jù)題意列方程得，，解得，，答：a的值為0.5【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是明確題目中的數(shù)量關(guān)系，找到等量關(guān)系列方程．20．（2021春·江蘇揚(yáng)州·七年級?？计谀鹃喿x?領(lǐng)會(huì)】怎樣判斷兩條直線否平行？如圖①，很難看出直線a、b是否平行，可添加“第三條線”（截線c），把判斷兩條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．我們稱直線c為“輔助線”．在部分代數(shù)問題中，很難用算術(shù)直接計(jì)算出結(jié)果，于是，引入字母解決復(fù)雜問題，我們稱引入的字母為“輔助元”．事實(shí)上，使用“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”可以更容易地解決問題．【實(shí)踐?體悟】（1）計(jì)算，這個(gè)算式直接計(jì)算很麻煩，請你引入合適的“輔助元”完成計(jì)算．（2）如圖②，已知∠C+∠E＝∠EAB，求證AB∥CD，請你添加適當(dāng)?shù)摹拜o助線”，并完成證明．【創(chuàng)造?突破】（3）若關(guān)于x，y的方程組的解是，則關(guān)于x，y的方程組的解為．（4）如圖③，∠A1＝∠A5＝120°，∠A2＝∠A4＝70°，∠A6＝∠A8＝90°，我們把大于平角的角稱為“優(yōu)角”，若優(yōu)角∠A3＝270°，則優(yōu)角∠A7＝．【答案】（1）；（2）見解析；（3）；（4）250°【分析】（1）設(shè)a＝，將式子進(jìn)行變形，即可求解；（2）延長BA交CE于點(diǎn)F，利用平行線的判定定理可得出結(jié)論；（3）把代入方程組得到不含x，y的方程組，通過與方程組比較便可得到答案；（4）連接A3、A7，分成兩個(gè)五邊形，利用多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行求解即可得到答案．【解析】解：（1）設(shè)a＝，原式＝（2+a）（a+）﹣a（2+a+）＝；（2）延長BA交CE于點(diǎn)F，如圖所示：∵∠EAB是∠EFA的外角，∴∠EAB＝∠E+∠EFA，又∵∠EAB＝∠E+∠C，∴∠EFA＝∠C，∴AB∥CD；（3）把代入方程組得：，與方程組比較得：，方程組的解為：；故答案為：（4）連接A3、A7，分成兩個(gè)五邊形，如圖所示：五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，兩個(gè)五邊形的內(nèi)角和為1080°，∠A7＝兩個(gè)五邊形的內(nèi)角和﹣2∠A1﹣2∠A2﹣2∠A6﹣∠A3＝1080°﹣2×120°﹣2×70°﹣2×90°﹣270°＝250°，故答案為：250°．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，平行線的性質(zhì)與判斷，解二元一次方程組，多邊形的內(nèi)角和等知識，加入了“輔助”的思想解題的關(guān)鍵是正確找到“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”．21．（2022春·江蘇南京·七年級?？计谀╊佒魅斡?jì)劃為年級“英文歌曲大賽”購買獎(jiǎng)品．已知購買個(gè)種獎(jiǎng)品和個(gè)種獎(jiǎng)品共需元；購買個(gè)種獎(jiǎng)品和個(gè)種獎(jiǎng)品共需元．顏主任準(zhǔn)備購買、兩種獎(jiǎng)品共個(gè)，且種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于種獎(jiǎng)品數(shù)量的，問：(1)、兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是多少元？（用二元一次方程組解決問題）(2)種獎(jiǎng)品至少買幾個(gè)？（用一元一次不等式解決問題）(3)在購買方案中最少費(fèi)用是______元．【答案】(1)、兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是元和元(2)6個(gè)(3)660【分析】（1）設(shè)種獎(jiǎng)品的單價(jià)為元，種獎(jiǎng)品的單價(jià)為元，根據(jù)“購買個(gè)種獎(jiǎng)品和個(gè)種獎(jiǎng)品共需元；購買個(gè)種獎(jiǎng)品和個(gè)種獎(jiǎng)品共需元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值．（2）設(shè)購買種獎(jiǎng)品個(gè)，則購買種獎(jiǎng)品個(gè)，根據(jù)購買種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于種獎(jiǎng)品數(shù)量的，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)即可得出．（3）設(shè)購買總費(fèi)用為元，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于的關(guān)系式，再利用不等式的性質(zhì)求解即可．（1）解：設(shè)種獎(jiǎng)品的單價(jià)為元，種獎(jiǎng)品的單價(jià)為元，依題意得：，解得：．答：、兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是元和元．（2）解：設(shè)購買種獎(jiǎng)品個(gè)，則購買種獎(jiǎng)品個(gè)，種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于種獎(jiǎng)品數(shù)量的，，，又為整數(shù)，．種獎(jiǎng)品至少買個(gè)；（3）解：設(shè)購買總費(fèi)用為元，購買種獎(jiǎng)品個(gè)，則，∵（當(dāng)時(shí)）∴當(dāng)越大時(shí)，w越大，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值．∴購買方案中，最少費(fèi)用是660元，故答案為：660．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·江蘇蘇州·七年級?？计谀╅喿x材料題：我們知道，所以代數(shù)式a2的最小值為0，學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項(xiàng)式的最小值．例如：求的最小值問題．解：∵，又∵，∴∴的最小值為﹣6．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：；(2)代數(shù)式有最（填“大”或“小”）值為；(3)如圖，長方形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的棚欄的總長是20m，棚欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)(2)大，16(3)當(dāng)長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時(shí)，花圃的面積最大，最大為【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）仿照題意利用配方法求解即可；（3）設(shè)長方形花圃垂直于墻的長度為xm，則平行于墻的長度為（202x）m，長方形花圃面積為S，利用長方形面積公式得到，據(jù)此求解即可．【解析】（1）解：，故答案為：；（2）解：∵，又∵，∴，∴，∴的最大值為16，故答案為：大，16；（3）解：設(shè)長方形花圃垂直于墻的長度為xm，則平行于墻的長度為（202x）m，長方形花圃面積為S，∴，又∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為50，∴當(dāng)長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時(shí)，花圃的面積最大，最大為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確理解題意掌握配方法是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考期末）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值；解：因?yàn)?，所以，即：，又因?yàn)?，所以．根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，求的值；(2)填空：①若，則＝；②若，則＝．(3)如圖，在長方形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長方形外側(cè)作正方形和，若長方形的面積為200平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【答案】(1)(2)①6；②17(3)500平方米【分析】對于（1），根據(jù)，代入計(jì)算即可；對于（2）①，設(shè)，，求出，，再根據(jù)，求出答案即可；②，令，，求出，，再根據(jù)，計(jì)算即可；對于（3），根據(jù)題意得，設(shè)，，再表示，，然后根據(jù)代入計(jì)算即可.【解析】（1）∵，∴；（2）①令，，則，，∴，∴；故答案為：6．②令，，則，，∴，∴，故答案為：17；（3）由題意得：，令，，則：，，∴，∴，所以陰影部分的面積和為500平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，理解公式的變形是解題的關(guān)鍵．即，，.24．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）先閱讀下面材料，再解答：例題：解一元二次不等式．解：因?yàn)?，所以．由有理?shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，有①或②解不等式組①，得．解不等式組②，得．故的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．(1)求的解集；(2)已知，求的解集．【答案】(1)或(2)【分析】（1）讀懂題意，結(jié)合一元二次不等式的特征選擇恰當(dāng)?shù)囊蚴椒纸獾姆椒?，根?jù)“兩數(shù)相乘，同號得正”，分別解原不等式分類得到的兩個(gè)不等式組，得到最終解集即可；（2）方法與第（1）題類似．（1）解：由得，由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，有或，解不等式組①，得，解不等式組②，得，故的解集為或，即的解集為或；（2）解：由題可得，由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負(fù)”，有或，解不等式組①，得無解，解不等式組②，得，故的解集為，即的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，涉及到分解因式，讀懂題意，掌握題中告知的解法是解決問題的關(guān)鍵．25．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，求的值；解：因?yàn)椋裕矗?，又因?yàn)椋裕?．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，求的值；(2)填空：①若，則＝；②若，則＝．(3)如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)12(2)①6；②17(3)【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整體法的運(yùn)用，將（4x）、（5x）看成一個(gè)整體去求解；（3）表示兩個(gè)正方形的面積、，得到，結(jié)合，推出，再去計(jì)算陰影部分面積．（1）∵，∴，，又∵，∴＝64－40＝24，∴；（2）①＝16－10＝6；②＝＝17；（3）∵AB＝6，∴，∴，又∵，∴，∴，∵BC＝CF，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的靈活運(yùn)用，其中既要注意整體法的運(yùn)用，又要注意數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)．26．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）題目：已知關(guān)于x、y的方程組，求：（1）若3x＋3y＝18，求a值；（2）若－5x－y＝16，求a值.

問題解決：(1)王磊解決的思路：觀察方程組中x、y的系數(shù)發(fā)現(xiàn)，將①＋②可得3x＋3y＝3a＋3，又因?yàn)?x＋3y＝18，則a值為________；(2)王磊解決的思路：觀察方程組中x、y的系數(shù)發(fā)現(xiàn)，若將方程組中的①與②直接進(jìn)行加減，已經(jīng)不能解決問題，經(jīng)過思考，王磊將①×m，②×n，得，再將③＋④得：（m+2n）x+（2m+n）y=（m+4n）a+3m，又因?yàn)?xy=16，……，請根據(jù)王磊的思路，求出m、n及a的值；問題拓展：(3)已知關(guān)于x、y的不等式組，若x＋5y＝2，求a的取值范圍．【答案】(1)5；(2)m=1，n=3，a=1；(3)a的取值范圍為．【分析】（1）將方程組中的兩個(gè)方程直接相加，整體代換求值；（2）通過對比得到關(guān)于m，n，a的方程組求值；（3）利用不等式的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍．【解析】（1）解：，①+②得：3x+3y=3a+3，∵3x+3y=18，∴3a+3=18，∴a=5．故答案為：5；（2）解：∵（m+2n）x+（2m+n）y=（m+4n）a+3m，又因?yàn)?xy=16，∴，∴m=1，n=3，a=1；（3）解：已知關(guān)于x，y的不等式組，①×3得：3x+6y＞3a+9④，②×（1）得：2xy＞4a⑤，④+⑤得：x+5y＞7a+9，∵x+5y=2，∴2＞7a+9．∴a＞1．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，不等式，根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)姆匠毯筒坏仁绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵．27．（2022春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）規(guī)定符號f（x）（x是正整數(shù)）滿足下列性質(zhì)：①當(dāng)x為質(zhì)數(shù)時(shí)，f（x）＝1（質(zhì)數(shù)：是指除了本身和1之外，再?zèng)]有其他因數(shù)的數(shù)）．②對于任意兩個(gè)正整數(shù)m和n，f（m?n）＝mf（n）＋nf（m）．例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）＋3f（2）＝2×1＋3×1＝5．（1）直接寫出f（3）＝，f（4）＝．（2）求f（18）和f（24）的值；（3）求滿足不等式組的x的值．【答案】（1）1，4；（2）21，44；（3）．【分析】（1）先判斷3時(shí)質(zhì)數(shù)，4不是質(zhì)數(shù)，且4＝2×2，結(jié)合定義求出f（3），f（4）；（2）由18＝3×6，24＝4×6，結(jié)合f（3），f（4），f（6）和定義，求出f（18）和f（24）；（3）先將f（18x），f（2x）化簡，然后將不等式變形化簡，從而求出x的值．【解析】解：（1）∵3是質(zhì)數(shù)，4＝2×2，且2是質(zhì)數(shù)，∴f（3）＝1，f（4）＝f（2×2）＝2f（2）＋2f（2）＝2×1＋2×1＝4．故答案為：1，4．（2）f（18）＝f（3×6）＝3f（6）＋6f（3）＝3×5＋6×1＝21，f（24）＝f（4×6）＝4f（6）＋6f（4）＝4×5＋6×4＝44．（3）∵f（18x）＝18f（x）＋xf（18）＝18f（x）＋21x，f（2x）＝2f（x）＋xf（2）＝2f（x）＋x，∴不等式組可化為，解得．【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景，考查了學(xué)生對質(zhì)數(shù)的了解情況、解一元一次不等式組．本題解題的關(guān)鍵是理解新定義，在理解的基礎(chǔ)上將數(shù)字或代數(shù)式進(jìn)行拆分成質(zhì)數(shù)相乘的形式．28．（2022春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）某商場的運(yùn)動(dòng)服裝專柜，對兩種品牌的運(yùn)動(dòng)服分兩次采購試銷后，效益可觀，計(jì)劃繼續(xù)采購進(jìn)行銷售．已知這兩種服裝過去兩次的進(jìn)貨情況如下表．第一次第二次品牌運(yùn)動(dòng)服裝數(shù)/件2030品牌運(yùn)動(dòng)服裝數(shù)/件3040累計(jì)采購款/元1020014400（1）問兩種品牌運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)貨單價(jià)各是多少元？（2）由于品牌運(yùn)動(dòng)服的銷量明顯好于品牌，商家決定采購品牌的件數(shù)比品牌件數(shù)的倍多5件，在采購總價(jià)不超過21300元的情況下，最多能購進(jìn)多少件品牌運(yùn)動(dòng)服？【答案】（1）兩種品牌運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)貨單價(jià)分別為240元和180元；（2）最多能購進(jìn)65件品牌運(yùn)動(dòng)服.【分析】（1）直接利用兩次采購的總費(fèi)用得出等式進(jìn)而得出答案；（2）利用采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的倍多5件，在采購總價(jià)不超過21300元，進(jìn)而得出不等式求出答案．【解析】（1）設(shè)兩種品牌運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)貨單價(jià)分別為元和元.根據(jù)題意，得，解之，得.經(jīng)檢驗(yàn)，方程組的解符合題意.答：兩種品牌運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)貨單價(jià)分別為240元和180元.（2）設(shè)購進(jìn)品牌運(yùn)動(dòng)服件，則購進(jìn)品牌運(yùn)動(dòng)服件，∴，解得，.經(jīng)檢驗(yàn)，不等式的解符合題意，∴.答：最多能購進(jìn)65件品牌運(yùn)動(dòng)服.【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．29．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）某電器超市銷售每臺進(jìn)價(jià)分別為元、元的、兩種型號的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷售情況：銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入種型號種型號第一周臺臺元第二周臺臺元（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤銷售收入進(jìn)貨成本）(1)求、兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；(2)若超市準(zhǔn)備用不多于元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共臺，求種型號的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？(3)在的條件下，超市銷售完這臺電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤為元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由．【答案】(1)、兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為元、元(2)超市最多采購種型號電風(fēng)扇臺時(shí)，采購金額不多于元(3)在的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤元的目標(biāo)【分析】（1）設(shè)、兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為元、元，根據(jù)臺型號臺型號的電扇收入元，臺型號臺型號的電扇收入元，列方程組求解；（2）設(shè)采購種型號電風(fēng)扇臺，則采購種型號電風(fēng)扇臺，根據(jù)金額不多余元，列不等式求解；（3）設(shè)利潤為元，列方程求出的值為，不符合的條件，可知不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．【解析】（1）設(shè)、兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為元、元，依題意得：，解得：，答：、兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為元、元；（2）設(shè)采購種型號電風(fēng)扇臺，則采購種型號電風(fēng)扇臺．依題意得：，解得：．答：超市最多采購種型號電風(fēng)扇臺時(shí)，采購金額不多于元；（3）依題意有：，解得：，，在的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤元的目標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解30．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）某校組織師生外出進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，打算租用某汽車租賃公司的客車．如果租用甲種客車3輛，乙種客車2輛，則可載195人；如果租用甲種客車2輛，乙種客車4輛，則可載210人．(1)請問甲、乙兩種客車每輛分別能載客多少人？(2)若該校有303名師生，旅行社承諾每輛車安排一名導(dǎo)游，導(dǎo)游也需一個(gè)座位．①現(xiàn)打算同時(shí)租甲、乙兩種客車共8輛（甲、乙都有租），請幫助旅行社設(shè)計(jì)租車方案；②出發(fā)前，旅行社的一名導(dǎo)游由于有特殊情況，旅行社只能安排7名導(dǎo)游，為保證所租的每輛車均有一名導(dǎo)游，租車方案調(diào)整為：同時(shí)租65座、45座和30座的大小三種客車（三種車都有租），出發(fā)時(shí)，所租的三種客車的座位恰好坐滿，請問旅行社的租車方案如何安排？【答案】(1)甲種客車每輛能載客45人，乙種客車每輛能載客30人(2)①方案一：租甲種客車5輛，則租乙種客車3輛．方案二：租甲種客車6輛，則租乙種客車2輛；方案三：租甲種客車7輛，則租乙種客車1輛；②租65座的客車2輛，45座的客車2輛，30座的3輛【分析】（1）設(shè)甲種客車每輛能載客x人，乙種客車每輛能載客y人，由題意：租用甲種客車3輛，乙種客車2輛，則可載195人；如果租用甲種客車2輛，乙種客車4輛，則可載210人．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）①設(shè)租甲種客車a輛，則租乙種客車（8a）輛，由題意：該校有303名師生，旅行社承諾每輛車安排一名導(dǎo)游，導(dǎo)游也需一個(gè)座位．列出一元一次不等式，解不等式，即可解決問題；②設(shè)同時(shí)租65座、45座和30座的大小三種客車分別為m輛、n輛、（7mn）輛，由題意：旅行社只能安排7名導(dǎo)游，為保證所租的每輛車均有一名導(dǎo)游，所租的三種客車的座位恰好坐滿，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．（1）解：設(shè)甲種客車每輛能載客x人，乙種客車每輛能載客y人，根據(jù)題意得：，解得：，答：甲種客車每輛能載客45