江蘇省如東一中、徐州中學(xué)、宿遷一中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年高一階段性檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)2023.5一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則復(fù)數(shù)z為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，得到其在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，記復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，由于點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得B的坐標(biāo)，即可求得復(fù)數(shù)z．解：則在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為設(shè)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由于點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即復(fù)數(shù)z為：.故選：A.2.已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）.A若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷A、B、C，由線面垂直、面面平行的性質(zhì)判斷D即可.A：，，則或，錯(cuò)誤；B：，，則或，錯(cuò)誤；C：，，則相交或平行，錯(cuò)誤；D：，，則，又，故，正確.故選：D3.已知的外接圓圓心為，且，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知是圓的直徑，為等邊三角形，然后由平面向量的數(shù)量積求解即可因?yàn)?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，即是圓的直徑，又因?yàn)椋菆A的半徑，所以等邊三角形，所以，所以，故選：A4.在中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理把已知的等式化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦化簡(jiǎn)，求出，進(jìn)一步求得，即可得解．解：由，結(jié)合正弦定理可得：，

，可得：，

，則的形狀為等腰三角形．

故選：A5.已知水平放置的四邊形按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)法知，所以求出四邊形的面積，即可求出結(jié)果.根據(jù)直觀圖知，又因?yàn)?，所以，故選：B.6.設(shè)為銳角，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件求得，利用，結(jié)合兩角差的正切函數(shù)，即可求解.因?yàn)?，可得，由，所以，可得，所以故選：C.7.如圖，一個(gè)底面半徑為的圓錐，其內(nèi)部有一個(gè)底面半徑為a的內(nèi)接圓柱，且此內(nèi)接圓柱的體積為，則該圓錐的體積為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出該幾何體的軸截面，求出內(nèi)接圓柱的高，利用三角形相似求出圓錐的高，即可求的其體積.作出該幾何體的軸截面如圖示：AB為圓錐的高，設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，而,因?yàn)閮?nèi)接圓柱的體積為，即，則，由于,故，則,即，故，所以圓錐體積為，故選：B8.已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知只要將用與表示，展開利用數(shù)量積和模的運(yùn)算得到關(guān)于的二次函數(shù)，求最值．因?yàn)槠矫嫦蛄?，滿足，且與的夾角為，則，所以的最小值是；故選：A.二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式依次求解各選項(xiàng)即可得答案.解：對(duì)于A選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故正確；故選：BCD10.設(shè)向量，滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）.A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，從而求出的值，進(jìn)而可求出向量，的夾角余弦值，再由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)判斷各選項(xiàng)式子的正誤.解：，；；；；又；．故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D正確.故選：CD．11.下列四個(gè)命題中，不正確的是（）A.若復(fù)數(shù)z滿足，則B.若復(fù)數(shù)，滿足，則C.若復(fù)數(shù)（），則為純虛數(shù)的充要條件是D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用特值法與復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可對(duì)于A：令，則，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若復(fù)數(shù)，滿足，令，則，，故B正確；對(duì)于C：若復(fù)數(shù)（），則為純虛數(shù)的充要條件是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，，時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：ACD12.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，下列選項(xiàng)正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是B.三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成幾何體的體積是C.直線與所成的角為，則的最小值是D.存在某個(gè)位置，使得直線與平面所成的角為【答案】ABC【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，由可得出動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段，然后結(jié)合勾股定理，異面直線所成角，線面角，體積公式等逐一判斷即可以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，即，取得中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段，對(duì)于A：動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段，且，故A正確；對(duì)于B：三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成幾何體為三棱錐，且，故B正確；對(duì)于C：，直線與所成的角為，又，則的最小值是，故C正確；對(duì)于D：易知與重合時(shí)，直線與平面所成的角最大，且為，，，所以不存在某個(gè)位置，使得直線與平面所成的角為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則該正方體的體積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體外接球的半徑計(jì)算公式，可以推出正方體的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出正方體的體積設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則外接球的半徑，所以，所以正方體的體積故答案為：14.如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，若，其中，則________.【答案】【解析】【分析】由、分別是、的中點(diǎn)，根據(jù)相反向量的定義，易得，，利用平面向量加法的三角形法則，我們易將向量分別表示為和的形式，兩式相加后，易得到結(jié)論．解：、分別是、的中點(diǎn)，，，又，①同理②由①②得，．整理得：．又故答案為：.15.已知平面向量滿足，，且，若向量，的夾角為60°，則的最大值是________【答案】【解析】【分析】由數(shù)量積公式得出，再由圓的性質(zhì)得出點(diǎn)C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，的最大值是的外接圓的直徑，由余弦定理以及正弦定理得出的最大值.設(shè)，，，由，，且，可得，，因?yàn)橄蛄?，的夾角為60°，即，所以點(diǎn)C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，故的最大值是的外接圓的直徑，可算得，由正弦定理，直徑．故的最大值是故答案為：16.“牟和方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體如圖如圖所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分，其中與為相互垂直且全等的半圓面，它們的圓心為，半徑為用平行于底面的平面去截“四腳帳篷”.當(dāng)平面經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，截面圖形的面積為__________.【答案】##1.5【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性，可得截面的形狀為正方形，利用勾股定理得正方形的邊長(zhǎng)即可求.解：根據(jù)對(duì)稱性可得截面的形狀為正方形，對(duì)角線的一半等于，

所以邊長(zhǎng)為，故其面積為

故答案為：四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)z滿足，且z的虛部為1，z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.（1）求z；（2）若z，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)z代數(shù)形式，根據(jù)解得z；（2）先根據(jù)復(fù)數(shù)得向量的坐標(biāo)，再根據(jù)向量夾角公式得結(jié)果.【小問1】設(shè)，因?yàn)?，所以，得或，又z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以，

所以；【小問2】，所以，，，，，所以，，所以18.在條件：①，②③，．且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中：中，內(nèi)角，，所對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，．若，，______．求的面積．（選擇多個(gè)條件時(shí)，按你第一個(gè)選擇結(jié)果給分）【答案】【解析】【分析】選擇條件①：利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式、輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，推出，然后由，得解；選擇條件②：結(jié)合已知條件和余弦定理，可得，再由，得解；選擇條件③：結(jié)合平面向量共線的條件和正弦定理，推出，再由，得解．解：選擇條件①：由正弦定理知，，，，，，化簡(jiǎn)得，，，，即，，，即，，的面積．選擇條件②：，，由余弦定理知，，，，的面積．選擇條件③：，，且，，由正弦定理知，，，，，即，，，，的面積．19.已知四棱錐的底面是正方形，平面．（Ⅰ）設(shè)平面平面，求證：；（Ⅱ）求證：平面平面．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由得線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行；（Ⅱ）證明平面后可得面面垂直．證明：（Ⅰ）因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是正方形，所以，而與相交，與都在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以平面平面．20.如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中，，.設(shè)計(jì)時(shí)要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個(gè)關(guān)于走道對(duì)稱的三角形（和）.現(xiàn)考慮綠地最大化原則，要求點(diǎn)與點(diǎn)，均不重合，落在邊上且不與端點(diǎn)，重合.（1）設(shè)，若，求此時(shí)公共綠地的面積；（2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計(jì)時(shí)要求，的長(zhǎng)度最短，求此時(shí)綠地公共走道的長(zhǎng)度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)大三角形直角邊的比例關(guān)系，可得三角形，結(jié)合，可求得各邊的長(zhǎng)度以及三角形的面積（2）在中，由正弦定理求出的表達(dá)式，可化簡(jiǎn)為關(guān)于的三角函數(shù)形式，根據(jù)角的范圍求出三角函數(shù)的最值，從而求出的最值（1）由題意得：與全等，在中，，又，，，又，，，，為等邊三角形，公共綠地面積（2）由圖得：且在中，由正弦定理得：，令又由得，，當(dāng)即時(shí)取最大值，即最短，此時(shí)是等邊三角形，.21.如圖，長(zhǎng)方體中，，P為棱中點(diǎn)，E棱中點(diǎn)．（1）求二面角平面角的大??；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)、，先證明為二面角的平面角，利用長(zhǎng)度關(guān)系，可得；（2）利用等體積法，轉(zhuǎn)化到平面的距離為三棱錐的高，借助，即得解（1）取中點(diǎn)，連結(jié)、，在中，為中點(diǎn)，所以，又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，，所以為正方形，所以，又，所以平面，則為二面角的平面角，在直角三角形POC中，，所以，所以二面角平面角的大小為；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為，設(shè)，則，在直角三角形POE中，，在直角三角形DOE中，，所以，由，即，解得，所以存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)．22.已知向量，，函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，，試判斷這個(gè)三角形解的個(gè)數(shù)，并說明理由;（3）若時(shí)，關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍及的值.【答案】（1），；（2）答案見解析（3）的取值范圍為，的值為.【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間.（2）利用正弦定理分段討論判斷三角形解的數(shù)量.（3）利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式變形方程，再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【小問1】，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)