2024-2025學年高中數(shù)學第二章數(shù)列單元綜合檢測課時跟蹤訓練含解析新人教A版必修5

PAGE單元綜合檢測(二)時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0，則歸納該數(shù)列的通項不行能是()A．a(chǎn)n＝(－1)n－1＋1 B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù),0，n為偶數(shù)))C．a(chǎn)n＝2sineq\f(nπ,2) D．a(chǎn)n＝cos(n－1)π＋1解析：對于C，當n＝3時，sineq\f(3π,2)＝－1，則a3＝－2，與題意不符．答案：C2．設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為()A．15 B．16C．49 D．64解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案：A3．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝2(n＋1)＋3，則此數(shù)列()A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為3的等差數(shù)列C．是公差為5的等差數(shù)列D．不是等差數(shù)列解析：由題意可得，an＝2n＋5＝7＋2(n－1)，即此數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列．答案：A4．在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，則A．1 B．±1C．2 D．±2解析：因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以a2a3a4＝aeq\o\al(3,3)＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝eq\f(a3,q2)＝1，故選A.答案：A5．設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于()A．31 B．32C．33 D．34解析：由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝2，,5a1＋10d＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(26,3)，,d＝－\f(4,3)，))所以S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝32.答案：B6．《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，其次日、第五日、第八日所織之和為十五尺，則第九日所織尺數(shù)為()A．8 B．9C．10 D．11解析：該數(shù)列為等差數(shù)列，且S7＝28，a2＋a5＋a8＝15，即7a1＋21d＝28,3a1＋12d＝15，解得a1＝1，d＝1，a9＝a1＋8d＝9.答案：B7．等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，S7＋S5＝10，a3＝5，則S7＝()A．25 B．49C．－15 D．40解析：因為等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，S7＋S5＝10，a3＝5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋\f(7×6,2)d＋5a1＋\f(5×4,2)d＝10，,a1＋2d＝5，))解得a1＝eq\f(135,7)，d＝－eq\f(50,7)，所以S7＝7a1＋eq\f(7×6,2)d＝7×eq\f(135,7)＋eq\f(7×6,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(50,7)))＝－15.答案：C8．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝14，a3＝8，則a6＝()A．16 B．32C．64 D．128解析：設等比數(shù)列的公比為q，由S3＝14，a3＝8，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝14，,a3＝a1q2＝8，))解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故選C.答案：C9．已知a，b，c是三個不同的實數(shù)，若a，b，c成等差數(shù)列，且b，a，c成等比數(shù)列，則a∶b∶c為()A．2∶1∶4 B．(－2)∶1∶4C．1∶2∶4 D．1∶(－2)∶4解析：由a，b，c成等差數(shù)列，設a＝m－d，b＝m，c＝m＋d，d≠0，因為b，a，c成等比數(shù)列，所以a2＝bc，即(m－d)2＝m(m＋d)，化簡，得d＝3m，則a＝－2m，b＝m，c＝4m，所以a∶b∶c＝(－2)∶1∶4.答案：B10．已知a，b，c成等比數(shù)列，a，m，b和b，n，c分別成兩個等差數(shù)列，則eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)等于()A．4 B．3C．2 D．1解析：由題意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，則eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)＝eq\f(an＋cm,mn)＝eq\f(a·\f(b＋c,2)＋c·\f(a＋b,2),\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2))＝eq\f(ab＋ac＋ac＋bc,\f(ab＋ac＋b2＋bc,2))＝2.答案：C11．設直線nx＋(n＋1)y＝eq\r(2)(n∈N*)與兩坐標軸圍成的三角形面積為an，則a1＋a2＋…＋a2017＝()A.eq\f(2017,2018) B．eq\f(2016,2017)C.eq\f(2015,2016) D.eq\f(2017,2016)解析：分別令x＝0和y＝0，得到直線nx＋(n＋1)y＝eq\r(2)(n∈N*)與兩坐標軸的交點，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),n＋1)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),n)，0))，則an＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),n)·eq\f(\r(2),n＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，然后分別代入1,2，…，2017，則有a1＋a2＋…＋a2017＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2017)－eq\f(1,2018)＝1－eq\f(1,2018)＝eq\f(2017,2018).答案：A12．已知函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，且對隨意的正數(shù)x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿意f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，則an為()A．2n－1 B．nC．2n－1 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1解析：由f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，得Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，兩式相減得，2an＝3an－1(n≥2)，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(3,2).當n＝1時，S1＋2＝3a1＝a1＋2，解得a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為eq\f(3,2)的等比數(shù)列，則an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．某住宅小區(qū)安排植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則須要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．解析：每天植樹的棵數(shù)構成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，其前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64,27＝128，則n＋1≥7，即n≥6.答案：614．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿意a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f(a2,b2)＝________.解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由題意得－1＋3d＝－q3＝8?d＝3，q＝－2?eq\f(a2,b2)＝eq\f(－1＋3,－1×－2)＝1.答案：115．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，記Sn為{an}的前n項和，則S2018＝________.解析：因為數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，所以a2＝－(1＋1)＝－2，a3＝－2＋1＝－1，a4＝－(－1＋1)＝0，a5＝0＋1＝1，a6＝－(1＋1)＝－2，a7＝－2＋1＝－1，…，所以{an}是以4為周期的周期數(shù)列，因為2018＝504×4＋2，所以S2018＝504×(1－2－1＋0)＋1－2＝－1009.答案：－100916．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.解析：因為an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.答案：2n＋1－2三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6(1)求a4，a7；(2)求a1＋a10.解析：(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a4a7＝a5a6＝－8，與a4＋a7＝2聯(lián)立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2.))(2)當a4＝4，a7＝－2時，q3＝eq\f(a7,a4)＝－eq\f(1,2)，a1＝eq\f(a4,q3)＝－8，所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7；當a4＝－2，a7＝4時，q3＝eq\f(a7,a4)＝－2，a1＝eq\f(a4,q3)＝1，所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.綜上，a1＋a10＝－7.18．(12分)已知{an}是首項為19，公差為－2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和．(1)求通項an及Sn；(2)設{bn－an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Tn.解析：(1)因為{an}是首項為19，公差為－2的等差數(shù)列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，Sn＝19n＋eq\f(nn－1,2)·(－2)＝－n2＋20n.(2)由題意得bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1－2n＋21，則Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋eq\f(3n－1,2).19．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，a2＝8，a3＝24，{an＋1－2an}為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求Sn.解析：(1)因為a2－2a1＝4，a3－2a2＝8，所以an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．所以eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)＝n，所以an＝n×2n.(2)由(1)可得an＝n×2n，所以Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②由①－②及整理得Sn＝(n－1)×2n＋1＋2.20．(12分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)(1)求d，an；(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解析：(1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，因為d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，則當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－eq\f(1,2)n2＋eq\f(21,2)n，當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝eq\f(1,2)n2－eq\f(21,2)n＋110.綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)n2＋\f(21,2)n，n≤11，,\f(1,2)n2－\f(21,2)n＋110，n≥12.))21．(12分)已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk(1)求a及k的值；(2)已知數(shù)列{bn}滿意bn＝eq\f(Sn,n)，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn.解析：(1)設該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋eq\f(kk－1,2)·d＝2k＋eq\f(kk－1,2)×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)證明：由(1)得Sn＝eq\f(n2＋2n,2)＝n(n＋1)，則bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝eq\f(n2＋n＋1,2)＝eq\f(nn＋3,2).22．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1＝1，S2＝4，且當n≥3時，Sn－1＋eq\f(3,2)是Sn與Sn－2的等差中項．數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b2＝eq\f(1,a2＋1)，b3＝eq\f(1,a3＋2).(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.解析：(1)因為當n≥3時，Sn－1＋eq\f(3,2)是Sn與Sn－2的等差中項，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－1＋\f(3,2)))＝Sn＋Sn－2，即Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋3，也就是(Sn－Sn－1)－(Sn－1－Sn－2)＝3，即an－an－1＝3(n≥3)．而a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3，明顯a2－a1＝2≠3，所以數(shù)列{an}從第2項起構成等差數(shù)列，公差d＝3.故當n≥2時，an＝a2＋(n－2)d＝3＋(n－2)×3＝3n－3.故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3n－3，n≥2.))等比數(shù)列{bn}中，b2＝eq\f(1,a2＋1)＝eq\f(1,4)，b3＝eq\f(1,a3＋2)＝eq\f(1,8).故其公比q＝eq\f(b3,b2)＝eq\f(1,2).所以其通項bn＝b2·qn－2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2＝eq\f(1,2n).(2)令cn＝an·bn，由(1)知，cn＝an·bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs