2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊綜合測(cè)評(píng)A課后鞏固提升含解析北師大版選修2-2

PAGE1-模塊綜合測(cè)評(píng)(A)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為()A.-1 B.0 C.1 D.1或-1解析由z1=x2-i,z2=-1+xi,則z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i.若z1+z2為純虛數(shù),則解得x=-1.故選A.答案A2.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(x)=x2+2x·f'(1),則f'(0)等于()A.0 B.-4 C.-2 D.2解析因?yàn)閒(x)=x2+2x·f'(1),所以f'(x)=2x+2f'(1),f'(0)=2f'(1).因?yàn)閒'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2,故f'(0)=-4.答案B3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A. B.- C.i D.-i解析因?yàn)閺?fù)數(shù)=i,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是-i.答案D4.已知a,b是空間中兩不同直線,α,β是空間中兩不同平面,下列命題正確的是()A.若直線a∥b,b?α,則a∥αB.若平面α⊥β,a⊥α,則a∥βC.若平面α∥β,a?α,b?β,則a∥bD.若a⊥α,b⊥β,a∥b,則α∥β解析若直線a∥b,b?α,則a∥α或a?α,故A不對(duì);若平面α⊥β,a⊥α,則a∥β或a?β,故B不對(duì);若平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b或a,b是異面直線,故C不對(duì);依據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,可得D正確.答案D5.視察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,依據(jù)上述規(guī)律,13+23+33+43+53+63=()A.192 B.202 C.212 D.222解析歸納得13+23+33+43+53+63=(1+2+…+6)2=212.答案C6.函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖,則函數(shù)y=ax2+bx+的遞增區(qū)間是()A.(-∞,-2] B.C.[-2,3] D.解析由題圖可知d=0.不妨取a=1,∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c.由圖可知f'(-2)=0,f'(3)=0,∴12-4b+c=0,27+6b+c=0.∴b=-1.5,c=-18.∴y=x2-x-6,y'=2x-.當(dāng)x>時(shí),y'>0,∴y=x2-x-6的遞增區(qū)間為.故選D.答案D7.定積分dx的值為()A.+ln2 B. C.3+ln2 D.解析dx=dx=dx+xdx=lnxx2=ln2-ln1+×22-×12=+ln2.答案A8.函數(shù)y=lnx(x>0)的圖像與直線y=x+a相切,則實(shí)數(shù)a等于()A.ln2-1 B.ln2+1C.ln2 D.2ln2解析y'(x)=,由得切點(diǎn)為(2,ln2),代入y=x+a,得a=ln2-1.故選A.答案A9.已知過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線y=ex相切,則由曲線y=ex,y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積是()A.-1 B.e-1C. D.e+1解析由已知y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y'=ex,設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線y=ex相切于點(diǎn)(a,ea),則y'|x=a=ea,直線l的方程為y=ea(x-a)+ea,即y=eax-aea+ea.又直線l過(guò)原點(diǎn),則-aea+ea=0,解得a=1,所以直線l的方程為y=ex.由曲線y=ex,y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積為(ex-ex)dx=-1=e-1.故選A.答案A10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,則導(dǎo)數(shù)f'(1)的取值范圍是()A.[-2,2] B.[] C.[,2] D.[,2]解析∵f'(x)=sinθx2+cosθx,∴f'(1)=sinθ+cosθ=2sin.∵θ∈,∴θ+.∴sin.∴2sin∈[,2].答案D11.設(shè)m=exdx,n=dx,則m與n的大小關(guān)系為()A.m<n B.m≤n C.m>n D.m≥n解析m=exdx=ex=e-1>n=dx=lnx=1.答案C12.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,下列數(shù)值排序正確的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)解析視察圖像可知,該函數(shù)在(2,3)上為連續(xù)可導(dǎo)的增函數(shù),且增長(zhǎng)的越來(lái)越慢,所以各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在(2,3)上到處為正,且導(dǎo)數(shù)的值漸漸減小,所以f'(2)>f'(3),而f(3)-f(2)=,表示連接點(diǎn)(2,f(2))與點(diǎn)(3,f(3))割線的斜率,依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,肯定可以在(2,3)之間找到一點(diǎn),該點(diǎn)處的切線與割線平行,則割線的斜率就是該點(diǎn)處的切線的斜率,即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),則必有0<f'(3)<<f'(2).故選B.答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.設(shè)f(z)=,且z1=1+5i,z2=-3+2i,則f()的值是.

解析∵z1-z2=(1+5i)-(-3+2i)=4+3i,∴=4-3i.∵f(z)=,∴f(4-3i)=4+3i.答案4+3i14.已知函數(shù)f(x)=2x,若x1,x2是R上的隨意兩個(gè)數(shù),且x1≠x2,則,請(qǐng)對(duì)比函數(shù)f(x)=2x得到函數(shù)g(x)=lgx一個(gè)類似的結(jié)論:

.

解析由題意知函數(shù)f(x)=2x是一個(gè)凹函數(shù),函數(shù)g(x)=lgx是一個(gè)凸函數(shù),所以x1,x2是R上的隨意兩個(gè)數(shù),且x1≠x2,則<lg.答案x1,x2是R上的隨意兩個(gè)數(shù),且x1≠x2,則<lg15.曲線y=x2-1與直線y=2x+2圍成的封閉圖形的面積為.

解析由可得可知所求的封閉圖形的面積S=[2x+2-(x2-1)]dx=x2+3x-x3=(9+9-9)-1-3+=.答案16.已知點(diǎn)P(-1,-1)在曲線y=上,則該曲線在點(diǎn)P處的切線方程為.

解析由于點(diǎn)P(-1,-1)在曲線y=上,則-1=,得a=2,即有y=,導(dǎo)數(shù)y'=,則曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k==2.故曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案y=2x+1三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx的微小值為-8,其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),,如圖所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若對(duì)x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),,∴∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,由圖像可知函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2)上是削減的,在上是增加的,在上是削減的,由f(x)微小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1.∴f(x)=-x3-2x2+4x.(2)要使對(duì)x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,只需f(x)min≥m2-14m即可.由(1)可知函數(shù)y=f(x)在[-3,-2)上是削減的,在上是增加的,在上是削減的,且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8,∴f(x)min=f(3)=-33.∴-33≥m2-14m?3≤m≤11.故所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|3≤m≤11}.18.(本小題滿分12分)(2024江蘇,15)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分別是AC,B1C的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面AB1C1;(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1.證明(1)因?yàn)镋,F分別是AC,B1C的中點(diǎn),所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因?yàn)锽1C⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC,B1C?平面AB1C,AC?平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C.又因?yàn)锳B?平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.19.(本小題滿分12分)如圖,某小區(qū)有一矩形地塊OABC,其中OC=2,OA=3.已知OEF是一個(gè)游泳池,安排在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊EF相切于點(diǎn)M的直路l(寬度不計(jì)),交線段OC于點(diǎn)D,交線段OA于點(diǎn)N.現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以線段OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,若池邊EF滿意函數(shù)y=-x2+2(0≤x≤)的圖像,點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離記為t.(1)當(dāng)t=時(shí),求直路l所在的直線方程;(2)當(dāng)t為何值時(shí),地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積取到最大,最大值是多少?解(1)當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=,將其代入函數(shù)y=-x2+2,得M,∵y'=-2x,∴k=-.∴直線方程為y=-x+.(2)由(1)知,直線的方程為y=-2tx+t2+2,令y=0,得x=,令x=0,得y=t2+2,∴≤2,t2+2≤3.∴2-≤t≤1.∴S△OND=(t2+2)=.令g(t)=,則g'(t)=,當(dāng)t=時(shí),g'(t)=0,當(dāng)t∈時(shí),g'(t)<0,當(dāng)t∈時(shí),g'(t)>0,g(t)≥g,故所求面積的最大值為6-.20.(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且其中隨意兩邊長(zhǎng)均不相等,若成等差數(shù)列.(1)比較的大小,并證明你的結(jié)論;(2)求證:角B不行能是鈍角.(1)解.證明如下:要證,只需證.∵a,b,c>0,∴只需證b2<ac.∵成等差數(shù)列,∴≥2,∴b2≤ac.又a,b,c均不相等,∴b2<ac.故所得大小關(guān)系正確.(2)證明方法一在△ABC中,由余弦定理得,cosB=>0,∴角B不行能是鈍角.方法二假設(shè)角B是鈍角,則角B的對(duì)邊為最大邊,即b>a,b>c,∴>0,>0,則,這與沖突,故假設(shè)不成立.∴角B不行能是鈍角.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=alnx+x,g(x)=xex-a.(1)若x=1是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a=1,證明f(x)≤g(x).解(1)由已知可得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=+1.因?yàn)閤=1是f(x)的極值點(diǎn),所以f'(1)=a+1=0,解得a=-1,此時(shí)f'(x)=-+1=.故當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0.所以f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(0,1).(2)若a=1,則f(x)=lnx+x,g(x)=xex-1.設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-xex+1,x∈(0,+∞),則h'(x)=+1-(x+1)ex=(x+1).令t(x)=-ex,x∈(0,+∞),則t'(x)=--ex<0對(duì)隨意x∈(0,+∞)恒成立,所以t(x)=-ex在(0,+∞)上是削減的.又t=2->0,t(1)=1-e<0,所以?x0∈,使得t(x0)==0,即,則ln=ln,即-lnx0=x0.因此,當(dāng)0<x<x0時(shí),t(x)>0,即h'(x)>0,則h(x)是增加的;當(dāng)x>x0時(shí),t(x)<0,即h'(x)<0,則h(x)是削減的.故h(x)≤h(x0)=lnx0+x0-x0+1=0-1+1=0,即f(x)≤g(x).22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿意:Sn=-1,且an>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3