2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題12平面向量含解析

PAGEPAGE1平面對(duì)量一．命題陷阱類型平面對(duì)量是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是每年高考必考的學(xué)問點(diǎn)，對(duì)初學(xué)者往往不能深刻理解有關(guān)概念和方法而陷入命題陷阱.關(guān)于平面對(duì)量的試題在命制時(shí)，主要有概念類、隱含條件類、迷惑性類、圖解類等幾類陷阱.其中：1.概念類陷阱，零向量的方向問題，向量與實(shí)數(shù)的運(yùn)算要與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算區(qū)分開，三點(diǎn)共線與向量共線區(qū)分開，向量的方向問題，向量的數(shù)量積與向量的夾角問題等.2.隱含條件陷阱,向量是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要工具之一，向量與不等式的綜合，要留意挖掘它們之間的關(guān)系和隱含條件.3.迷惑性陷阱，三角形中的重心、垂心、內(nèi)心、外心是重要的概念，用向量表示時(shí)要留意它們的區(qū)分.4.圖解類陷阱，向量與三角形的綜合，以及利用向量的幾何意義解決向量問題，要留意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法.二、學(xué)問——陷阱對(duì)應(yīng)關(guān)系三、常見陷阱展示陷阱1.零向量問題（概念類）【例1】下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．零向量沒有方向 B．零向量與任何向量平行C．零向量的長度為零 D．零向量的方向是隨意的【陷阱提示】牢記的定義.【防錯(cuò)良方】零向量的定義是：零向量是模等于0的向量，方向是隨意的,并規(guī)定零向量與任何向量平行.【例2】推斷：已知，，則.【解析】：這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，因?yàn)榧偃纾瑒t，，但與不肯定平行.【陷阱提示】當(dāng)問題涉及到向量平行（共線）時(shí)，必需考慮.【防錯(cuò)良方】：對(duì)于向量的平行和共線，必需考慮.陷阱2.向量與實(shí)數(shù)的運(yùn)算（概念類）【例3】下列關(guān)于向量，的敘述中，錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若，，所以或C．若，則或D．若，都是單位向量，則恒成立【解析】：選項(xiàng)A，若，則則因此是正確的；選項(xiàng)B，由向量的數(shù)乘概念若，，可得或，因此是正確的；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，所以若，則或是錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，因?yàn)?，都是單位向量，所以成立，因此選C.【陷阱提示】向量與實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算區(qū)分開.【防錯(cuò)良方】：對(duì)于向量的運(yùn)算，要嚴(yán)格依據(jù)向量的運(yùn)算法則和向量與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算，不能照搬實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算.陷阱3.三點(diǎn)共線問題（概念類）【例4】．已知向量，且，，，則肯定共線的三點(diǎn)是（）A.B.C.D.【陷阱提示】把向量共線與多點(diǎn)共線區(qū)分開，弄清它們之間的聯(lián)系.【防錯(cuò)良方】本題是一個(gè)利用平面對(duì)量的平行推斷平面內(nèi)三點(diǎn)共線的問題，屬于簡單題.解決本題的基本思路及切入點(diǎn)是，首先先判定兩個(gè)向量平行，一般的假如是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，并且，那么向量平行(共線)的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得.其次是假如非零向量共線，則三點(diǎn)共線.陷阱4.向量的方向（概念類）【例5】．已知是兩個(gè)非零向量，下列各命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）的方向與的方向相同，且的模是的模的2倍；（2）的方向與的方向相反，且的模是的模的；（3）與是一對(duì)相反向量；（4）與是一對(duì)相反向量.A.1B.2C.3D.4【解析】：由于是兩個(gè)非零向量，所以命題（1）的方向與的方向相同，且的模是的模的2倍是正確的；（2）的方向與的方向相反，且的模是的模的也是正確的；（3）與是一對(duì)相反向量也是正確的；由于，因此（4）與是一對(duì)相反向量是錯(cuò)誤的；故答案選C.【陷阱提示】留意一個(gè)向量假如乘以正數(shù)，方向不變，假如乘以負(fù)數(shù)，方向變?yōu)橄喾聪蛄浚痉厘e(cuò)良方】本題考查向量的方向問題，一個(gè)向量假如乘以正數(shù)，方向不變，假如乘以負(fù)數(shù)，方向變?yōu)橄喾聪蛄浚喾聪蛄渴欠较蛳喾?，模相等．陷?.向量的數(shù)量積與向量的夾角（概念類）【例6】．已知兩個(gè)向量滿意且與的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【陷阱提示】兩個(gè)向量夾角為鈍角時(shí)，它們的數(shù)量積為負(fù)值，這包括平角，所以必需把平角狀況去掉.【防錯(cuò)良方】對(duì)于兩個(gè)向量所成的角是鈍角時(shí)，它們的數(shù)量積為負(fù)值，這種狀況下包括平角，所以必需把平角狀況去掉.【例7】．在中三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為則下列推斷錯(cuò)誤的是（）A.若則為鈍角三角形B.若則為鈍角三角形C.若則為鈍角三角形D.若A、B為銳角且則為鈍角三角形【解析】：,可得.A正確；由余弦定理可知，為鈍角，正確；,的夾角為鈍角，但是夾角并不是三角形內(nèi)角而是三角形外角，故錯(cuò)；由同一坐標(biāo)系下的三角函數(shù)圖象可知A、B為銳角且，可得.【答案】C【陷阱提示】兩個(gè)向量夾角問題必需要弄清它們所夾的角是什么.【防錯(cuò)良方】,的夾角為鈍角，但是夾角并不是三角形內(nèi)角而是三角形外角陷阱6.向量與不等式（隱含條件類）【例8】．如圖，矩形中，，，是對(duì)角線上一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交的延長線，,于.若，，則的最小值是（）cA．B．C．D．【陷阱提示】本題在解答過程中找到，然后得到，在利用“1”的變通，并利用均值不等式求解.【防錯(cuò)良方】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.【例9】．在△ABC中，已知，P為線段AB上的點(diǎn)，且的最大值為（）A.1B.2C.3D.4【陷阱提示】利用題意找到隱含條件．【防錯(cuò)良方】本題將向量的數(shù)量積公式和三角變換及基本不等式等學(xué)問有機(jī)地結(jié)合起來,綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法及運(yùn)用所學(xué)學(xué)問去分析問題解決問題的實(shí)力.求解時(shí),先將,再運(yùn)用已知得到,即.再將向量的數(shù)量積公式化為,從而求得,.最終通過構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系求出直線且,然后運(yùn)用基本不等式使得問題獲解.陷阱7向量與三角形的心（迷惑類）【例10】已知是平面上肯定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿意，則點(diǎn)的軌跡肯定通過的（）A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心【陷阱提示】依據(jù)幾何意義，畫出圖形，并由三角形的幾個(gè)心的概念得到結(jié)論.【防錯(cuò)良方】本題主要考查向量的加法和減法的幾何意義，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等學(xué)問.在幾何圖形中應(yīng)用平面對(duì)量加法和減法，往往要借助幾何圖形的特征，敏捷應(yīng)用三角形法則和平行四邊形.當(dāng)涉及到向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)，應(yīng)用向量共線的充要條件解題較為便利.三角形的四心是：內(nèi)心、外心、重心和垂心.【例11】已知是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿意，,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡肯定通過的（）A.垂心B.重心C．內(nèi)心D．外心【解析】∵，∴，即．又∵，∴與垂直，即，∴點(diǎn)在的高線上，即的軌跡過的垂心，故選A【陷阱提示】本題主要考查向量的加法和減法的幾何意義，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等學(xué)問.在幾何圖形中應(yīng)用平面對(duì)量加法和減法，往往要借助幾何圖形的特征，敏捷應(yīng)用三角形法則和平行四邊形.當(dāng)涉及到向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)，應(yīng)用向量共線的充要條件解題較為便利.三角形的四心是：內(nèi)心、外心、重心和垂心.【防錯(cuò)良方】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用、空間向量的加減法、軌跡方程、以及三角形的五心等學(xué)問，解答關(guān)鍵是得出與垂直，屬于基礎(chǔ)題．可先依據(jù)空間向量的加減法得出，與數(shù)量積為零故垂直，可得點(diǎn)在的高線上，從而得到結(jié)論．陷阱8向量與三角形的綜合（圖解類）【例12】已知非零向量與滿意，且，則的形態(tài)為（）A.等邊三角形B.三邊均不相等的三角形C.等腰非等邊三角形D.直角三角形【陷阱提示】做出圖形，考查向量的幾何意義.【防錯(cuò)良方】本題考查的是平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算，三角形形態(tài)的推斷，關(guān)鍵是推斷表示以與同向的單位向量和與同向的單位向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線，結(jié)合推斷出的平分線與垂直，從而推斷三角形為等腰三角形，現(xiàn)依據(jù)向量的數(shù)量積公式求得角為，所以為等腰非等邊三角形.【例13】在所在平面上有三點(diǎn)，滿意，，，則的面積與的面積之比為（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【陷阱提示】利用向量的運(yùn)算法則，考查它們的幾何意義，找尋面積之比.【防錯(cuò)良方】本題主要考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件和相像三角形的面積關(guān)系，涉及數(shù)形結(jié)合思想和一般與特殊思想，考查邏輯推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于較難題型．首先將已知向量等式變形，利用向量的運(yùn)算法則化簡得到，利用向量共線的充要條件得到為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，同理可得的位置；利用三角形的面積公式求出三角形的面積比．陷阱9幾何意義解決向量問題（圖解類）【例14】．已知點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【解析】：當(dāng)在上時(shí)，，因此當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，有，由在如圖所求內(nèi)部（不含邊界），其中，表示與點(diǎn)連線的斜率，，，所以．故選A．【陷阱提示】利用向量的幾何意義得到線性可行域，再利用斜率求解.【防錯(cuò)良方】本題首先考查向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量共線的性質(zhì)，如當(dāng)在上時(shí)，，從而得出當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，滿意的約束條件，其次作出可行域是解題常用方法，的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【例15】．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),且,若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最大值為（）A．B．C．D．【解析】：因?yàn)?點(diǎn)在圓上,故過圓心,,,當(dāng)與同向共線時(shí),即時(shí),取最大值．故選B．【陷阱提示】利用向量的加法的幾何意義求解.【防錯(cuò)良方】首先把式子考，化簡后考查幾何意義求得最值.四．陷阱演練1．已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，，且∠BAC=60°，則△OBC的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【方法總結(jié)】此題是個(gè)中檔題．本題考查向量的平行四邊形法則；向量的數(shù)量積公式及三角形的面積公式，特殊留意已知是內(nèi)部一點(diǎn)，為三角形的重心，以及敏捷應(yīng)用學(xué)問分析解決問題的實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.2．在中，若分別為邊上的三等分點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】若兩邊平方得，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)，故選A3．已知△ABC和點(diǎn)M滿意.若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則m＝__________.【答案】3【解析】試題分析：由條件知是的重心，設(shè)是邊的中點(diǎn)，則，而，所以，故選B.4．已知O是銳角的外心，，若則m＝（）A.B.C.3D.【答案】A【解析】由正弦定理可得化為故答案選5．如圖，在中，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)，∴．又,∴，解得．∴．選D．6．已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則的最小值為()A.B.C.D.【答案】C7．若O為平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，且，則△ABC是()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不肯定是直角三角形D.直角三角形但不肯定是等腰三角形【答案】C【解析】由＝0得·＝0，∴2－2＝0，即||＝||，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不肯定是直角三角形．選C.8．已知向量,若與的夾角為60°,且,則實(shí)數(shù)的值為A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，∴．∴．∴選A．【方法總結(jié)】（1）在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，常常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)要引起足夠重視，它是求距離常用的公式．（2）要留意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)分和聯(lián)系．在向量的運(yùn)算中，敏捷運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的．9．P、Q為三角形ABC中不同兩點(diǎn),若,,則為A.B.C.D.【答案】B【方法總結(jié)】平面對(duì)量的計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用，利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．本題的解答中利用共線向量，得到，從而確定三角形的面積比.10．設(shè)為單位向量，滿意，非零向量，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵為單位向量，滿意，非零向量∴令，當(dāng)時(shí)，最大，最大值為故選D11．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)，恒有，則肯定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定【答案】B【解析】由題知：化簡得到，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，兩邊平方可得，即，由題意可得，即為c≤bsinC，由正弦定理可得sinC≤sinBsinC，則sinB≥1，但sinB≤1，則sinB=1，可得B=90°．即三角形ABC為直角三角形．故答案為：B。【方法總結(jié)】本題考查向量不等式恒成立問題的解法，考查三角形的形態(tài)推斷和正弦定理的運(yùn)用，運(yùn)用向量的平方即為模的平方，以及二次不等式恒成立問題的解法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿意，若（），點(diǎn)為直線外一點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，滿意，其中A，B，C在一條直線上，O為直線AB外一點(diǎn)，∴a1+a2017=1，∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴{an}的=1，.故答案為：D。13．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，，過點(diǎn)P的直線分別交DA的延長線，AB，DC于點(diǎn)M，E，N.若(m>0，n>0)，則2m＋3n的最小值是()A.B.C.D.【答案】C當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選【方法總結(jié)】在利用基本不等式求最值的時(shí)候，要特殊留意“拆，拼，湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)），“定”（不等式的另一邊必需為定值），“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。14．給出以下結(jié)論：①在四邊形中，若＝＋，則四邊形是平行四邊形；②已知三角形中，，，，則·；③已知正方形的邊長為1，則；④已知，，，則三點(diǎn)共線．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【答案】C故答案為：C。15．(2017·邯鄲月考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C在直線l上，點(diǎn)O在直線l外，且滿意，那么S13的值為()A.B.C.D.【答案】D【解析】由三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C在直線l上，點(diǎn)O在直線l外，且滿意，得a2＋a7＋a12＝1.因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以由等差中項(xiàng)公式，得3a7＝1，a7＝，所以S13＝13a7＝.故選D.16．如圖，在△ABC中，若,則的值為()A.－3B.3C.2D.－2【答案】B【解析】∵∴又，∴故選B.17．已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿意，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為()A.B.1C.2D.3【答案】A【解析】設(shè)AC、BC邊的中點(diǎn)為E、F，則由，得∴點(diǎn)O在中位線EF上．∵△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，∴點(diǎn)O為EF上靠近E的三等分點(diǎn)，∴λ＝.18．設(shè)、、、是半徑為1的球面上的四個(gè)不同點(diǎn)，且滿意，，，用、、分別表示、、的面積，則的最大值是（）A.B.2C.4D.8【答案】B【解析】設(shè)，，∵，，

∴，，兩兩相互垂直，擴(kuò)展為長方體，它的對(duì)角線為球的直徑，即∵、、分別表示、、的面積∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)∴的最大值是故選B【方法總結(jié)】本題考查球的內(nèi)接多面體及基本不等式求最值問題，能夠把幾何體擴(kuò)展為長方體，推知多面體的外接球是同一個(gè)球，是解答本題的關(guān)鍵．19．已知是平面上不共線的三點(diǎn)，是的重心，動(dòng)點(diǎn)滿意：，則肯定為的A.重心B.邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.邊中線的中點(diǎn)D.邊的中點(diǎn)【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)的中點(diǎn)是，是三角形的重心，

在邊的中線上，是中線的三等分點(diǎn)，不是重心故選B20．已知是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，滿意，則（）A.B.5C.2D.【答案】C【解析】令，，則，由向量加法的平行四邊形法則可知為平行四邊形，所以．因?yàn)?，所以，．故C正確．21．設(shè)，且，則在上的投影的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】D【解析】法1：因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線.如圖（1），當(dāng)在之間時(shí)（含兩點(diǎn)），在的投影的取值范圍是；如圖（2），當(dāng)在的延長線上時(shí)（不含點(diǎn)），在的投影的取值范圍是（當(dāng)接近于平行時(shí)，在的投影無限接近于）；如圖（3），當(dāng)在的延長線上時(shí)（不含點(diǎn)），在的投影的取值范圍是（當(dāng)接近于平行時(shí)，在的投影的無限接近于）；綜上，在的投影的取值范圍是.法2：不妨設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則，也就是.而在上的投影為.令，假如，則，所以也就是，所以；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以也就是，所以.綜上，的取值范圍為.【方法總結(jié)】處理平面對(duì)量的有關(guān)問題時(shí)，先分析題設(shè)中的向量等式是否具有明確的幾何意義.本題中的向量等式蘊(yùn)含三點(diǎn)共線，因此考慮動(dòng)點(diǎn)的三種位置關(guān)系就可以探