專題09 立體幾何初步-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題09立體幾何初步命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)立體幾何初步的考查，重點(diǎn)是掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征、解決多面體和球體的相關(guān)計(jì)算問題。同時(shí)需要關(guān)注異面直線的判定和成角問題、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系問題、夾角距離問題、截面問題。這些問題對(duì)考生的空間想象能力要求有所提升，需要考生有強(qiáng)大的邏輯推理能力。柱、錐、臺(tái)體的表面積與體積2022·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，142024·新高考Ⅰ卷，52022·新高考Ⅱ卷，112023·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，14球的切接問題2022·新高考Ⅰ卷，82023·新高考Ⅰ卷，122022·新高考Ⅱ卷，7夾角問題2022·新高考Ⅰ卷，92024·新高考Ⅱ卷，7命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，Ⅱ卷考查了以棱臺(tái)為背景的線面角的求法，總的來說，基本立體圖形的表面積和體積屬于?？键c(diǎn)，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提升計(jì)算能力比較重要。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算。試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.2．（2024新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C．2．（2022新高考Ⅰ卷·8）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是3．（2022新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

二、多選題4．（2022新高考Ⅰ卷·9）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD5．（2023新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.6．（2022新高考Ⅱ卷·11）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.7．（2023新高考Ⅱ卷·9）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

三、填空題8．（2023新高考Ⅰ卷·14）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為．【答案】【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)椋瑒t，故，則，所以所求體積為.故答案為：.9．（2023新高考Ⅱ卷·14）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．【答案】【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：棱臺(tái)的體積為.故答案為：.一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體．2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、組合體1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3、圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）．5、由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．三、表面積與體積計(jì)算公式1、表面積公式表面積柱體為直截面周長錐體臺(tái)體球2、體積公式體積柱體錐體臺(tái)體球四、空間幾何體的直觀圖1、斜二測畫法斜二測畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．注：直觀圖和平面圖形的面積比為．五、四個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法基本事實(shí)2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．六、直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)a∥b公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)七、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)∥公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10八、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號(hào)∥，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上九、等角定理1、定義：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．十、直線和平面平行1、定義直線與平面沒有公共點(diǎn)，則稱此直線與平面平行，記作∥2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（簡記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言線∥面線∥線如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行十一、兩個(gè)平面平行1、定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面和，若，則∥2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理線∥面面∥面如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（簡記為“線面平行面面平行線面面∥面如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線，那么這兩個(gè)平面平行∥3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言面//面線//面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面中的所有直線都平行于另外一個(gè)平面性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）面//面線面如果兩個(gè)平面中有一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線十二、直線與平面垂直1、直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直．2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言判斷定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直___a平行與垂直的關(guān)系一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直__平行與垂直的關(guān)系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號(hào)語言垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行__線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直十三、平面與平面垂直1、平面與平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直__知識(shí)點(diǎn)6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直___a十四、直線與平面所成的角1、定義①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.2、直線與平面所成的角的范圍①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是.②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.④直線與平面所成的角的取值范圍是.十五、二面角1、二面角的定義①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.2、二面角的表示①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角-l-，如圖(1).②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P，Q，這個(gè)二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).3、二面角的平面角①自然語言在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②圖形語言③符號(hào)語言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.4、二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.②當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.一、單選題1．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得圓錐底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】圓錐的母線長為2，母線與底面所成角為，所以底面圓的半徑為，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：C2．（2024·河北秦皇島·三模）已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】若，，則可能平行，異面或者相交，故A錯(cuò)誤；若，，則與可能平行，可能相交，也可能，故B錯(cuò)誤；若，，則與可能平行，也可能，故C錯(cuò)誤；若，，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故D正確；故選：D3．（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為16，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，確定（或其補(bǔ)角）為直線與所成的角，求出，進(jìn)而求解.【詳解】如圖，連接，則，取的中點(diǎn)，連接，則，所以（或其補(bǔ)角）為直線與所成的角，又正四棱柱的體積為16，則該棱柱的高為，又，所以，即直線與所成角的余弦值為.故選：C4．（2024·山東濰坊·三模）某同學(xué)在勞動(dòng)課上做了一個(gè)木制陀螺，該陀螺是由兩個(gè)底面重合的圓錐組成．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓錐的體積公式及圓錐高、半徑與母線的關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】設(shè)上、下兩圓錐的底面半徑為，高分別為，體積分別為，因?yàn)樯蠄A錐的高與底面半徑相等，所以，則得，，上圓錐的母線為，下圓錐的母線為，所以上、下兩圓錐的母線長之比為，故選：A．5．（2024·陜西·三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級(jí)瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（

）（附：的值取3，）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求圓臺(tái)母線長，再代入圓臺(tái)和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點(diǎn)且平行于底面的平面截?cái)M柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為，其中分別是上?下底面的面積，是中截面的面積，為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對(duì)應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長?寬比下底的長?寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運(yùn)走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運(yùn)，則至少需要運(yùn)（

）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）A．51車 B．52車 C．54車 D．56車【答案】B【分析】由圖形直接解出上下底面及中截面面積，再由解出擬柱體的體積，最后結(jié)合實(shí)際求出需要的卡車數(shù)量即可.【詳解】由條件可知：上底長為米，寬為米；中截面長米，寬米；則上底面積平方米，中截面積平方米，下底面積平方米，所以該建筑材料的體積為(立方米)，所以建筑材料重約（噸），需要的卡車次為，所以至少需要運(yùn)車.故選：B7．（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（

）A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5【答案】D【分析】根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合棱臺(tái)的體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)三棱柱的高為h，上下底面面積均為S，體積為V，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，故,結(jié)合題意可知幾何體為棱臺(tái)，則，故,故，故選：D8．（2024·新疆·三模）設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用體積相等可得答案.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的球心為，連接，則把四棱臺(tái)分割成六個(gè)四棱錐，且六個(gè)四棱錐的高都為內(nèi)切球的半徑，四棱臺(tái)的高為，所以，化簡可得.故選：D.9．（2024·天津北辰·三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合軸截面分析可知，，再利用圓柱以及圓臺(tái)的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái)，取軸截面，如圖所示，分別為的中點(diǎn)，可知：∥∥，且，可得，即，所以該容器中液體的體積為.故選：A.10．（2024·山東泰安·二模）已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記球心為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，的中點(diǎn)為，證明為矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半徑，再由球的表面積公式可得.【詳解】記球心為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，的中點(diǎn)為.因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，由球的性質(zhì)可知，平面，所以，同理，所以四邊形為矩形，因?yàn)?，所以，，所以，所以外接球的表面積為.故選：B11．（2024·天津·二模）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，，，，均與底面垂直，且，點(diǎn)E、F分別為線段、的中點(diǎn)，記該幾何體的體積為，平面將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求幾何體的體積，再求被截較小部分的體積即可.【詳解】由題意可知，如圖所示，，所以平面即為平面截幾何體的截面.因?yàn)椋?所以幾何體的體積,被截棱臺(tái)的體積,較大部分體積為,且,所以較小部分的體積為.故選：D.12．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】如圖所示：由題意在菱形中，互相垂直且平分，點(diǎn)為垂足，，由勾股定理得，所以，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則外接圓的半徑為，，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，，如圖所示：設(shè)三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點(diǎn)，而均垂直平分，所以點(diǎn)在面，面內(nèi)的射影分別在直線上，即，由題意，且二面角為直二面角，即面面，，所以，即，可知四邊形為矩形，所以，由勾股定理以及，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.二、多選題13．（2024·山西·三模）將一個(gè)直徑為的鐵球磨制成一個(gè)零件，能夠磨制成的零件可以是（

）A．底面直徑為，高為的圓柱體 B．底面直徑為，高為的圓錐體C．底面直徑為，高為的圓錐體 D．各棱長均為的四面體【答案】ABD【分析】根據(jù)球的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,若圓柱的底面直徑為8，則半徑為4，此時(shí)球心到圓柱底面的距離為，故圓柱的高可以為6，A符合，對(duì)于B，若圓錐的底面直徑為8，則半徑為4，此時(shí)球心到圓錐底面的距離為，故圓錐的高最大時(shí)為，B符合，對(duì)于C，若圓錐的底面直徑為7，則半徑為，此時(shí)球心到圓錐底面的距離為，故圓錐的高最大時(shí)為，C不符合，對(duì)于D,若將各棱長均為的四面體放入到棱長為的正方體中，此時(shí)正方體的外接球直徑為，故D符合，故選：ABD14．（2024·浙江·二模）正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．平面B．平面C．異面直線與所成角為60°D．平面截正方體所得截面為等腰梯形【答案】ACD【分析】于A，連接，利用三角形中位線證得，結(jié)合線面平行判定定理即可判斷A；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為，根據(jù)線段長度結(jié)合勾股定理判斷與是否垂直，即判斷與是否垂直，從而可判斷B；對(duì)于C，連接，根據(jù)正方體的面對(duì)角線性質(zhì)，即可得異面直線與所成角的大小，從而判斷C；對(duì)于D，連接，確定截面完整圖形為四邊形，再計(jì)算其四邊長度與位置關(guān)系，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖，連接，因?yàn)椋謩e為棱和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，如圖，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為，中點(diǎn)，則，故，設(shè)正方體棱長為，則，故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，連接，在正方體中，，即為正三角形，又因?yàn)椋謩e為棱和的中點(diǎn)，所以，故異面直線與所成角即為，故C正確；對(duì)于D，如圖，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，所以四點(diǎn)共面，故平面截正方體所得截面為四邊形，設(shè)正方體棱長為，則，所以，又，故截面為四邊形為等腰梯形，故D正確.故選：ACD.15．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為為的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．異面直線與所成角為B．平面C．平面平面D．三棱錐的體積為定值【答案】BCD【分析】在正方體中，異面直線與所成角即為或其補(bǔ)角，求出即可判斷A；利用線面垂直的判定定理可以證明平面，判斷B；利用面面垂直的判定定理可以證明平面平面，判斷C；由平面，得點(diǎn)到平面的距離為定值，再由，可得三棱錐的體積為定值，判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，如圖，連接，則，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，因?yàn)椋?，故異面直線與所成角為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由已知得為等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)與交于點(diǎn)，其中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又平面平面，所以平面，故選項(xiàng)正確.；對(duì)于選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知，平面，而平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面平面，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，由，平面，平面，得平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積確定，，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確.故選：.16．（2024·湖南長沙·三模）已知一圓錐的底面半徑為，該圓錐的母線長為2，A，B為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形B．該圓錐的體積為πC．從A點(diǎn)經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為D．過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為2【答案】ABD【分析】求出底面圓周期判斷A；求出圓錐的高并求出體積判斷B；展開半圓錐的側(cè)求出弦長判斷C；求出軸截面頂角，再求出截面最大值判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓錐底面圓周長為，而圓錐側(cè)面展開圖扇形半徑為2，所以側(cè)面展開圖的圓心角為，A正確；對(duì)于B，圓錐的高，因此圓錐的體積，B正確；對(duì)于C，依題意，將半圓錐的側(cè)面展開，如圖，則從A點(diǎn)經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐軸截面頂角為，則，，則圓錐軸截面頂角為，因此過該圓錐的頂點(diǎn)的圓錐截面等腰三角形頂角，此截面三角形積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD17．（2024·河北保定·二模）如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（

）

A． B．平面平面C．多面體為三棱臺(tái) D．直線與平面所成的角為【答案】ABD【分析】求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得平面與平面位置關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利用三棱臺(tái)定義判斷選項(xiàng)C；求得直線與平面所成的角判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，所以，A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，又，平面，所以平面平面，B正確.對(duì)于C，因?yàn)?，，則，所以多面體不是三棱臺(tái)，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，延長，相交于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，則為直線與平面所成的角.因?yàn)?，所以，解得，，，則，D正確.

故選：ABD三、填空題18．（2024·重慶·二模）將一個(gè)半徑為的鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的鐵錠，若這個(gè)鐵錠的底面邊長為和，則它的高為.【答案】【分析】利用球和正四棱臺(tái)的體積相等直接計(jì)算即可．【詳解】球的體積為①，設(shè)鐵錠的高為，則正四棱臺(tái)的體積為②，由解得．故答案為：．19．（2024·浙江·三模）已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的高為.【答案】3【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積求圓臺(tái)的母線，再根據(jù)圓臺(tái)軸截面求出高即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，設(shè)母線長為，高為.則，解得.如圖所示圓臺(tái)的軸截面，在中，，由勾股定理得：圓臺(tái)的高.故答案為：3.20．（2024·貴州黔東南·二模）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為4，用一個(gè)平行于該圓錐底面的平面截圓錐，若截得的小圓錐的底面半徑為2，則截得的小圓錐的側(cè)面積與截得的圓臺(tái)的側(cè)面積之比為.【答案】/【分析】設(shè)出小圓錐的母線長，利用三角形的相似確定大圓錐的母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式，即可求得答案.【詳解】如圖所示，，，設(shè)，由∽，得，故截得的小圓錐的側(cè)面積為，截得的圓臺(tái)的側(cè)面積為，，故截得小圓錐的側(cè)面積與截得的圓臺(tái)的側(cè)面積之比為.故答案為：21．（2024·上海奉賢·二模）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型，如圖所示.該模型為長方體中挖去一個(gè)四棱錐，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，，，