專題10 統(tǒng)計(jì)（3大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題10統(tǒng)計(jì)命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對統(tǒng)計(jì)的考查，重點(diǎn)是以下考點(diǎn)（1）分層隨機(jī)抽樣（2）統(tǒng)計(jì)圖表（3）會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)．（4）能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度．（5）了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.（6）理解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運(yùn)用這些方法解決簡單的實(shí)際問題.頻率分布直方圖、頻數(shù)分布表2022·新高考Ⅱ卷，19（1）2023·新高考Ⅱ卷，19（1）2024·新高考Ⅱ卷，4獨(dú)立性檢驗(yàn)2022·新高考Ⅰ卷，20（1）數(shù)據(jù)的數(shù)字特征2023·新高考Ⅰ卷，9命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷未考查統(tǒng)計(jì)相關(guān)內(nèi)容，Ⅱ卷中考查了頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的求法。統(tǒng)計(jì)的考查應(yīng)關(guān)注：相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析等。這些考驗(yàn)的是學(xué)生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，可以多留意方差的計(jì)算方法！試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅱ卷·4）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（均在之間，單位：kg）并部分整理下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)612182410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間【答案】C【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯(cuò)誤；對于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；對于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；對于D，由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在的頻數(shù)為，所以平均值為，故D錯(cuò)誤.故選；C.一、多選題1．（2023新高考Ⅰ卷·9）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差【答案】BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值，則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確；故選：BD.二、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·20）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.2．（2022新高考Ⅱ卷·19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；【答案】(1)歲；【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；【詳解】（1）平均年齡

（歲）．3．（2023新高考Ⅱ卷·19）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；【答案】(1)，；【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出，再根據(jù)第二個(gè)圖求出的矩形面積即可解出；【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．一、分層隨機(jī)抽樣1、分層隨機(jī)抽樣的概念一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.2、分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為和，抽取的樣本量分別為和，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為，，樣本平均數(shù)位，則.我們可以采用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)二、樣本的數(shù)字特征1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平．（3）平均數(shù)：個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：．2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差（1）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差．（2）方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．在解決實(shí)際問題時(shí)，多采用標(biāo)準(zhǔn)差．（3）數(shù)據(jù)特征標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小．三、頻率分布直方圖1、頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于.2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算（1）最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個(gè)小長方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長方形的面積．四、百分位數(shù)1、定義一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．2、計(jì)算一組個(gè)數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．（2）計(jì)算．（3）若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3、四分位數(shù)我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第百分位數(shù)．在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．五、變量間的相關(guān)關(guān)系1、變量之間的相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系．由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用．我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷．注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2、散點(diǎn)圖將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系．（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示．3、相關(guān)系數(shù)若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測值為，則變量與的相關(guān)系數(shù)，通常用來衡量與之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，的范圍為．（1）當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．（2）越接近，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；越接近，表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上．（3）通常當(dāng)時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．六、線性回歸1、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2、殘差分析對于預(yù)報(bào)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．七、非線性回歸解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤．1、建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．八、獨(dú)立性檢驗(yàn)1、分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2、等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3、獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算隨機(jī)變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【統(tǒng)計(jì)常用結(jié)論】均數(shù)、方差的性質(zhì)：如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么①一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．②一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．③一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．常見的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)型（且，）兩邊取自然對數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（2）對數(shù)函數(shù)型令，原方程變?yōu)椋缓蟀淳€性回歸模型求出，．（3）冪函數(shù)型兩邊取常用對數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)椋缓蟀淳€性回歸模型求出，．（4）二次函數(shù)型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（5）反比例函數(shù)型型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．一、單選題1．（2024·河南·三模）已知某學(xué)校高三年級甲、乙、丙三個(gè)班級人數(shù)分別為40，30，50，學(xué)校計(jì)劃采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個(gè)班級中評選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則高三年級三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（

）A．16 B．30 C．24 D．18【答案】C【分析】利用分層隨機(jī)抽樣及已知，求出三個(gè)班級分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.【詳解】甲、乙、丙三個(gè)班級人數(shù)比為，由分層隨機(jī)抽樣知，三個(gè)班級優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8，6，10，所以高三年級三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為人.故選：C2．（2024·山東·二模）某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為，則估計(jì)獲得的考生人數(shù)約為（

）A．100 B．75 C．50 D．25【答案】C【分析】首先計(jì)算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得的考生人數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為，所以獲得的考生人數(shù)約為人，故選：C.3．（2024·浙江紹興·三模）有一組樣本數(shù)據(jù)：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（

）A．第75百分位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．眾數(shù)【答案】A【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù)，比較大小，即可得到答案.【詳解】計(jì)算第75百分位數(shù)：，則取第8位數(shù)據(jù)，即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為5；平均數(shù)為；極差為；眾數(shù)為3.綜上，第75百分位數(shù)最大.故選：A.4．（2024·山西·三模）某次趣味運(yùn)動(dòng)會，設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門，學(xué)生守門.已知參與射門比賽的教師有60名，進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13，其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8，女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2，則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【分析】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為，根據(jù)總體的平均數(shù)求出，設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為，根據(jù)方差公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為，則全部參賽教師進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)，解得，即參賽的男女教師各有人，設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為，依題意可得，解得.故選：B5．（2024·四川涼山·三模）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)，方差分別為（

）A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1【答案】A【分析】由平均值、方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【詳解】由，得樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，由，得樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為.故選：A6．（2024·四川成都·三模）“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開始計(jì)算，每九天為一個(gè)單位，冬至后的第81天，“數(shù)九”結(jié)束，天氣就變得溫暖起來.如圖，以溫江國家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023一2024年從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”(單位:)，下列說法正確的是（

）

A．“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升B．“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1”C．“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差D．“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差【答案】D【分析】由圖表數(shù)據(jù)分析可判斷A，B；由方差的意義可判斷C；由極差的計(jì)算公式分析D.【詳解】對于A，“八九”、“九九”的平均氣溫比“七九”的“平均氣溫”低，故A錯(cuò)誤；對于B，“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”高”，故B錯(cuò)誤；對于C，由圖表，“平均氣溫”的波動(dòng)比“多年平均氣溫”的波動(dòng)大，則“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差大于“多年平均氣溫”的方差，故C錯(cuò)誤；對于D，“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差為：，“多年平均氣溫”的極差為，則“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差，故D正確.故選：D.7．（2024·陜西·三模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】先對各題得分情況分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，再對總得分情況分析排序，根據(jù)中位數(shù)規(guī)定即可求得.【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分：第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；第三題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；由于相同總分只記錄一次，因此小明的總得分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為.故選：C.8．（2024·浙江·三模）在對某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為（

）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，結(jié)合方差的公式，分析選項(xiàng)，即可求解.【詳解】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，則，，結(jié)合選項(xiàng)，可得A項(xiàng)不符合.故選：A.9．（2024·安徽安慶·三模）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，其中，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．的大小關(guān)系不確定【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義表示，結(jié)合已知列等式，作差比較即可.【詳解】由題意可知，，，于是，又，所以，所以，兩式相減得，所以.故選：B10．（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)?？贾?，從甲?乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績，甲班的十個(gè)人成績分別為，乙班的十個(gè)人成績分別為.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同?方差也相同，則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后（

）A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小【答案】A【分析】不妨設(shè)，表達(dá)出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)相同得到或，則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是或者，中位數(shù)不變，再設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，第二組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，根據(jù)公式得到合并后平均數(shù)為，方差為，，得到結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)，則的中位數(shù)為，的中位數(shù)為，因?yàn)?，所以或，則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是或者，所以中位數(shù)不變.設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，第二組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，合并后總數(shù)為20，平均數(shù)為，方差為，如果均值相同則方差不變，如果均值不同則方差變大.故選：A.二、多選題11．（2024·全國·三模）在某次數(shù)學(xué)測試中，甲、乙兩個(gè)班的成績情況如下表：班級人數(shù)平均分方差甲45881乙45902記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績的總平均分為，總方差為，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】代入公式計(jì)算即可.【詳解】依題意得，.故選：BD.12．（2024·廣東廣州·三模）在某次學(xué)科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則（

）A．圖中a的值為0.005 B．低于70分的考生人數(shù)約為40人C．考生成績的平均分約為73分 D．估計(jì)考生成績第80百分位數(shù)為83分【答案】AC【分析】利用頻率分布直方圖逐項(xiàng)求解【詳解】對于A，由，解得，故A對；對于B，低于70分的考生人數(shù)約為，故B錯(cuò)；對于C，考生成績的平均分約為，故C對；對于D，成績落在內(nèi)頻率為，落在內(nèi)頻率為，故考生成績第80百分位數(shù)落在，設(shè)為m，由，解得，故考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故D錯(cuò)誤；故選：AC13．（2024·河北·三模）根據(jù)中國報(bào)告大廳對2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量進(jìn)行監(jiān)測統(tǒng)計(jì)，太陽能發(fā)電量（單位：億千瓦時(shí)）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：月份3456發(fā)電量/億千瓦時(shí)242.94230.87240.59259.33月份78910發(fā)電量/億千瓦時(shí)258.9269.19246.06244.31關(guān)于2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量，下列四種說法正確的是（

）A．中位數(shù)是259.115 B．極差是38.32C．第85百分位數(shù)是259.33 D．第25百分位數(shù)是240.59【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個(gè)數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是，故A錯(cuò)誤；極差是，故B正確；因?yàn)椋缘?5百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)，即，故C正確；因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是，故D錯(cuò)誤；故選:BC14．（2024·廣東汕頭·三模）下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（

）A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)C．樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差D．樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值判斷A；根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結(jié)合圖象判斷BCD.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)介于[1.5,7.5]之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于[2.5,8.5]，極差小于或等于6；從而甲和乙的極差可能相等，A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于[2.5,5.5)之間，乙的眾數(shù)介于(5.5,6.5]，乙的眾數(shù)大于甲的眾數(shù)，B正確；對于C，甲的數(shù)據(jù)比較分散，乙的數(shù)據(jù)比較集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正確；對于D，甲的各組頻率依次為：，其中位數(shù)位于[3.5,4.5)之間，乙的各組頻率依次為：，其中位數(shù)位于[5.5,6.5)之間，所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，D正確.故選：BCD15．（2024·黑龍江·三模）在某市初三年級舉行的一次體育考試中(滿分100分)，所有考生成績均在[50,100]內(nèi)，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五組，甲、乙兩班考生的成績占比如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．成績在[70,80)的考生中，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)B．甲班成績在[80,90)內(nèi)人數(shù)最多C．乙班成績在[70,80)內(nèi)人數(shù)最多D．甲班成績的極差比乙班成績的極差小【答案】ACD【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對于A，由圖知，每一組中的成績占比都是以各自班級的總?cè)藬?shù)為基數(shù)的，所以每一組中的甲班、乙班人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故A錯(cuò)誤；對于BC，由圖可知甲班成績主要集中在[80,90)，乙班成績主要集中在[60,70)，B正確，C錯(cuò)誤；對于D，由圖可知甲班成績的極差和乙班成績的極差的大小無法確定，故D錯(cuò)誤.故選：ACD三、解答題16．（2024·青海海南·二模）某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對他們進(jìn)行了成績測試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.(2)我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前強(qiáng)化訓(xùn)練后合計(jì)將上面的表格補(bǔ)充完整，并回答能否有的把握認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).附:.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)表格見解析，有.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)公式，即可求解；（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算卡方，并與臨界值對比分析即可求解.【詳解】（1）強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績約為（2）根據(jù)圖1可知，強(qiáng)化訓(xùn)練前的優(yōu)秀人數(shù)為，此時(shí)非優(yōu)秀人數(shù)為，根據(jù)圖2可知，強(qiáng)化訓(xùn)練后的優(yōu)秀人數(shù)為，此時(shí)非優(yōu)秀人數(shù)為，補(bǔ)充完整的表格為優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100合計(jì)100100200則，所以有的把握認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).17．（2024·陜西·模擬預(yù)測）某公司新研發(fā)了一款智能燈，此燈有拍照搜題功能，學(xué)生遇到疑難問題，通過拍照搜題后，會在顯示屏上顯示該題的解答過程以及該題考查的知識點(diǎn)與相應(yīng)的解題方法該產(chǎn)品投入市場三個(gè)月后，公司對部分用戶做了調(diào)研：抽取了200位使用者，每人填寫一份評分表（滿分為100分），現(xiàn)從200份評分表中，隨機(jī)抽取40份（其中男?女使用者的評分表各20份）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的數(shù)據(jù)：女生使用者評分：67，71，72，75，80，83，83，83，84，84，85，86，88，90，90，91，92，92，92，92男生使用者評分：67，68，69，69，70，72，72，73，74，75，76，76，77，78，79，82，84，84，89，92記該樣本的中位數(shù)為，按評分情況將使用.都對該智能燈的態(tài)度分為兩種類型：評分不小于的稱為“滿意型”，其余的都稱為“不滿意型”.(1)求的值，填寫如下列聯(lián)表女生評分男生評分合計(jì)“滿意型”人數(shù)“不滿意型”人數(shù)合計(jì)(2)能否有的把握認(rèn)為滿意與性別有關(guān)？參考公式與數(shù)據(jù)：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635【答案】(1)，表格見解析(2)有的把握認(rèn)為滿意與性別有關(guān)【分析】（1）根據(jù)題意求中位數(shù)，結(jié)合題意完善列聯(lián)表；（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)求，并與臨界值對比分析.【詳解】（1）將40份評分按從小到大的順序排列，，，中位數(shù)是第20個(gè)數(shù)80與第21個(gè)數(shù)82的平均值，即中位數(shù)等于，所以，女生男生合計(jì)“滿意型”人數(shù)15520“不滿意型”人數(shù)51520合計(jì)202040（2）由（1）可得所以有的把握認(rèn)為滿意與性別有關(guān).18．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會會同國家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》，并向社會公開發(fā)布．下表是2017-2021年五年《中國生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國土面積的百分比：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼123456.45.55.04.83.8(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(2)請用樣本相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述，并求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)預(yù)測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比．（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：附：樣本相關(guān)系數(shù)，．【答案】(1)(2)(3)預(yù)測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比為2.15%【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出相關(guān)數(shù)值，代入相關(guān)系數(shù)，即可得出答案；（2）由（1）知，接近1，即可說明線性相關(guān)關(guān)系極強(qiáng)；根據(jù)（1）中求出的數(shù)據(jù)，即可求出，，進(jìn)而得到回歸直線方程；（3）將代入回歸直線方程，即可預(yù)測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比.【詳解】（1）由己知可得，，，由題可列下表：0121.30.4，．（2）由小問1知，與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行描述．由小問1知，，，所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．（3）令，則，預(yù)測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比為2.15%．19．（2024·陜西渭南·三模）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按，，，，，分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖．

(1)請通過頻率分布直方圖估計(jì)這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)；(2)該市決定表彰知識競賽成績排名前30%的市民，某市民知識競賽的成績是78，請估計(jì)該市民能否得到表彰．【答案】(1)平均值68.3，中位數(shù)71.5625；(2)該市民能得到表彰．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)以及中位數(shù)的計(jì)算公式，即可求得答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本的第70百分位數(shù)，與78比較，即可得結(jié)論.【詳解】（1）100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為．根據(jù)圖象可得，對應(yīng)的頻率為0.05，對應(yīng)的頻率為0.10，對應(yīng)的頻率為0.10，對應(yīng)的頻率為0.20，對應(yīng)的頻率為0.32，對應(yīng)的頻率0.23.設(shè)中位數(shù)為t，則t在中.，解得．（2）成績低于70分的頻率為0.45，成績低于80分的頻率為0.77，則被表彰的最低成績?yōu)榈?0%分位數(shù)：，所以估計(jì)該市民能得到表彰．20．（2024·江西九江·三模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過實(shí)驗(yàn)測得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下表所示：行駛里程萬0.00.41.01.62.42.83.44.4輪胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0(1)求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關(guān)系數(shù)，并判斷二者之間是否具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）(2)根據(jù)我國國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當(dāng)凹槽深度低于時(shí)剎車距離增大，駕駛風(fēng)險(xiǎn)增加，必須更換新輪胎）.某人在保養(yǎng)汽車時(shí)將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對輪胎再次更換？附：變量與的樣本相關(guān)系數(shù)；對于一組數(shù)據(jù)，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.【答案】(1)，具有很強(qiáng)的線性關(guān)系(2)6.4萬公里【分析】（1）根據(jù)題意，由相關(guān)系數(shù)的公式代入計(jì)算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由最小二乘法公式代入計(jì)算，分別求得，即可得到線性回歸方程，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）計(jì)算得，，由公式知，二者之間具有很強(qiáng)的線性關(guān)系.（2）設(shè)輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，則==線性回歸方程為令，得即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬公里需要對輪胎再次更換.21．（2024·內(nèi)蒙古·三模）現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了甲12次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙8次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投籃次數(shù)的平均數(shù)，乙8次投籃次數(shù)的平均數(shù).(1)求這20次投籃次數(shù)的中位數(shù)，估計(jì)甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過的概率；(2)求這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)與方差.【答案】(1)(2)平均數(shù)為78，方差為33【分析】利用中位數(shù)、平均數(shù)