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文檔簡介

第二

篇熱學

熱學:研究熱現(xiàn)象宏觀規(guī)律及微觀本

質(zhì)。

熱力學系統(tǒng):大量粒子(如原子、分子)

組成的物質(zhì)體系。

熱力學:不注重物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu),只根

據(jù)觀察和實驗所得熱力學規(guī)

律,

用邏輯推理方法研究系統(tǒng)在

物態(tài)變化過程中有關(guān)熱功轉(zhuǎn)

換等。

(可檢驗統(tǒng)計物理學微觀

理論正確性)

氣體動理論:從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā),依

據(jù)力學規(guī)律,用統(tǒng)計方

法來推求宏觀量與

微觀量統(tǒng)計平均值間的關(guān)系,解釋宏

觀熱現(xiàn)象及有關(guān)規(guī)律的

微觀本質(zhì)。

(可揭示微觀機制使熱

力學理論獲得更深刻的

意義)

第六章氣體動理

本章以理想氣體為研究對象,從氣體

分子無規(guī)熱運動出發(fā),運用統(tǒng)計方法研

究大

量氣體分子的熱運動規(guī)律,給出微觀

模型解釋。

基本要求

*從宏觀和統(tǒng)計意義上理解壓強、溫

度、內(nèi)能等概念。

*理解理想氣體的壓強公式和溫度公

式,推導氣體壓強公式,

了解從模型、統(tǒng)計平均、宏觀量與

微觀量到宏觀量的微觀本質(zhì)。

*了解玻耳茲曼能量分布律,麥克斯韋

速率分布律及速度分布函數(shù)

和速率分布曲線的物理意義。

*了解氣體分子平均碰撞頻率及平均

自由程。

教學內(nèi)容

§6-1理想氣體物態(tài)方程

§6-2理想氣體的壓強和溫度

§6-3能量均分定理和理想氣體的

內(nèi)能

§6-4分子的速率分布和能量分布

§6-5氣體分子的碰撞

作業(yè)

6-02)、6-04)、6-06)、6-08)、6-10)

6-13)>6-15)、6-16)、6-18)、6-19)、

6-23)、6-26)、6-29)、6-31)、6-33)。

助教

§6-1理想氣體物

態(tài)方程

一氣體的狀態(tài)參量

對一定量氣體,其宏觀狀態(tài)可用氣體體

積V、壓強P、溫度T來描述,這三個

理量稱為氣體的狀態(tài)參量。

1體積:

盛氣體容器的容積,

SI制:米3(m,常用:升(L)

1m3=1000L

2壓強:

大量氣體分子頻繁碰撞容器壁產(chǎn)

生的平均效果的宏觀表現(xiàn),

與分子無規(guī)則熱運動的頻繁程度

和劇烈程度有關(guān)。

國際單位制:帕斯卡(Pa),常用:

厘米汞高、標準大氣壓等,

IcmHg(厘米汞高)=

1.333X103Pa

latm(標準大氣壓)=

76cmHg=1.013X105Pa

3溫度:

*熱力學第零定律:

設(shè)系統(tǒng)A和B原處在各自的平衡

態(tài),讓它們互相接觸,熱傳遞,最

后必達到一

個共同熱平衡態(tài)。

當A和B分別與系統(tǒng)C處于熱平

衡,那么A和B必處于熱平衡。

*溫度:處于同一熱平衡態(tài)的所有

熱力學系統(tǒng)都具有某種共同的宏觀性

質(zhì),描述這

個宏觀性質(zhì)的物理量就是

溫度。

*國際單位制:開爾文,符號K(熱

力學溫標)

*攝氏溫標與熱力學溫標的關(guān)系:

7^273.15

二平衡態(tài)

氣體的狀態(tài)參量不隨時間而變化,這

樣的狀態(tài)稱為平衡態(tài)。

平衡態(tài)是一理想的熱動平衡狀態(tài)。

三理想氣體物態(tài)方程

1.理想氣體的微觀模型:分子沒有大

小,可看成彈性質(zhì)點,除碰撞外分子間

沒有作

用力,由這種運動著的彈性分子組

成的氣體叫做理想氣體。

2.理想氣體物態(tài)方程:

一定量的理想氣體處于平衡態(tài)

時,狀態(tài)參量滿足

PV=vRT

(6-1)

上式稱為理想氣體物態(tài)方程。

式中:R=8.31J?moL?父1為

普適氣體常量,

—mN

v一立一瓦為氣體的摩爾數(shù),

其中:3為氣體質(zhì)量,M為氣體摩

爾質(zhì)量,N為氣體分子數(shù),

NA=6.02X1023mol-i為阿

伏加德羅常量。

可寫成:

P=-

VNA

或:

P=rrkT(6-2)

N

式中:"=歹稱為氣體分

子的數(shù)密度;

"一=1.38X10-23J?KT為玻耳茲

曼常量。

注意:

1.理想氣體的宏觀模型:密度不太高、

溫度不太低,壓強不太大時,相當

好地遵從

氣體實驗定律(玻意耳定律、查理定

律和蓋-呂薩克定律)的氣體叫理想氣

體。

實際上,這兩種模型是一致的。

2.理想氣體物態(tài)方程的適用條件:(1)

理想氣體(2)處于平衡態(tài)

3.摩爾定義為:(1)摩爾是一物系的

物質(zhì)的量,該物系中所包含的結(jié)構(gòu)

粒子與

12克碳12的原子數(shù)目相等。(2)在

使用摩爾時應(yīng)指明結(jié)構(gòu)粒子,它可以

原子、分子、離子、電子以及其它

粒子,或是這些粒子的特定組合體。

由此

可見,物質(zhì)的量實際上就是粒子數(shù),

更確切地講,它是以12克碳中原子的

數(shù)

目(其測量值即阿伏加德羅常數(shù))

為單位表示的粒子數(shù)。

§6-2理想氣體壓強公式

和溫度公式

一統(tǒng)計規(guī)律的基本特征

大量的偶然無序的分子熱運動包含著

一種規(guī)律性—統(tǒng)計規(guī)律。

1.統(tǒng)計規(guī)律例子:

*擲骰子:每次擲出的數(shù)字都是隨機

的,大量投擲時,就會發(fā)現(xiàn)各種數(shù)

值出

現(xiàn)的比率,會隨投擲次數(shù)

的增加而逐漸趨于一個穩(wěn)定的分

布。

*電子單縫衍射實驗:

加速的電子垂直射向一條細縫的

擋板,使電子一個一個不連續(xù)地通過單

縫到達底板上,當電子數(shù)目很少

時,顯示電子位置的感光點將是分散的

和毫無規(guī)則的;隨電子數(shù)目增多,

感光點分布逐漸顯現(xiàn)一定規(guī)律性--電子

衍射條紋。

2.統(tǒng)計平均值和分布函數(shù)(統(tǒng)計規(guī)律描

述常用):

理想氣體壓強公式和溫度公式及能

量均分定理等用統(tǒng)計平均值描述。

麥克斯韋分子速率分布律等是用統(tǒng)

計分布函數(shù)來描述其統(tǒng)計規(guī)律。

3.兩個常用的平均值計算公式

f+g=f+g

(物理量的和的平均值等于物

理量的平均值之和)

cf=cf

(物理量與常數(shù)積的平均值等

于物理量平均值與常數(shù)之積)

二理想氣體的微觀模

型和統(tǒng)計性假設(shè)

1.理想氣體的微觀模型

*分子永不停息地無規(guī)運動,頻繁碰

撞;

*分子體積可忽略不計,采用質(zhì)點模

型;

*除碰撞瞬間外,分子與容器壁及分

子間相互作用力忽略不計;

*碰撞屬于完全彈性碰撞。

2.氣體的平衡態(tài)統(tǒng)計性假設(shè)-----等概率

原理和各向同性

平衡態(tài)下:(1)在容器內(nèi)任意位置

處,單位體積內(nèi)分子數(shù)目相同。

(2)向各方向運動氣體

分子數(shù)相同,即分子向各個方向運動的

概率相同,具有運

動各向同性。

3.氣體分子速度分量的方均值

據(jù)假設(shè)推斷分子沿各方向運動的速

度分量的各種平均值應(yīng)相等。

例如:沿X、產(chǎn)2方向速度分量的方均

值應(yīng)相等。

速度分量的方均值定義為該方向

上速度分量平方的平均值,為:

文Z姿z

_一=1Z=1

-7V-

有:

22

--TZ---1Z

y-n

由:

22,2,22,2,2

V=Vx+Vy+Vz=Vx+Vy+Vz

有:

叱2

=叱2=叱2

:yn3

理想氣體壓強公式的推導

如圖討論S面上所受到的壓強。

設(shè)氣體共有N個分子,分子的質(zhì)量均

m

為o

設(shè)分子/以速度{"*%,匕2}運動

(匕%>0)并與S面碰撞,

一次碰撞中一個分子給s面的沖量為

2mvix.

碰撞周期為,頻率為2x;

單位時間內(nèi)給S面的沖量為:

vmv2

2"tiz?<=——工

IX

2xx

氣體的N個分子在單位時間內(nèi)給S面

的沖量一平均沖

力廣為:

N2N

Vmv^=mv2

i=l%%,=1

>NV2

i=l

按N以及

v2

|72

3,

平均沖力為:

壓強為:

FFmN,mN,

P=

~Syz3xyz3V

是氣體

的分子數(shù)密度)

即:

P=—nmv2

3

(6-3)

由平均平動動能

2

7t=-rny=-rm^

’22,可得:

P=—rb£

3-t

(6-4)

—理

想氣體的壓強公式

注意:

(1)公式的物理意義

由公式可知,P正比于n和J,由于務(wù)

具有統(tǒng)計平均的物理意義,公式不是

單純的力學規(guī)律,具有力學規(guī)律和統(tǒng)

計規(guī)律的雙重特性。

(2)壓強的微觀本質(zhì)

氣體壓強產(chǎn)生的原因,不是因為氣體

分子有重量,而是由于氣體分子作無規(guī)

熱運動,與器壁不斷碰撞而產(chǎn)生的(即

所有分子單位時間施于單位器壁面積的

總平均沖量)

(3)公式適用條件

氣體壓強是一個統(tǒng)計平均值,是大量

分子對時間、對面積的一個統(tǒng)計平均值,

因此對個別分子或少量分子不能說產(chǎn)

生的壓強有多大,也不能用此公式。公

只適用于大量分子組成的系統(tǒng),而大

量分子集體行為遵守統(tǒng)計規(guī)律性。

(4)在公式推導過程中,并沒有考慮

氣體分子之間的碰撞,也沒有考慮氣體

子與器壁分子之間的相互作用力,如

考慮這些因素,對所得結(jié)果沒有影響。

壓強公式的結(jié)果與推導時所采用容器

的形狀無關(guān)。

例6—1某理想氣體壓強尸=1.00X10

-3atm,密度『=1.24XI。一

3kg/m3,

求:氣體分子的方均根速率(即

方均速率的平方根)。

若該氣體為雙原子理想氣

體,且溫度為t=0℃,

問該氣體是何種氣體?

Q2

解:按壓強公式尸=5mmz,方

均根速率為:

不[3P

nm

氣體密度P與分子數(shù)密度n

和分子質(zhì)量&的關(guān)系為:

p=nm

將其代入上式,即得:

K府3x1.00x1。-3x1,13x12:495口

VP\1.24x10-3

由理想氣體的物態(tài)方程

m

pV=——RT

M,可得:

RT_pV_p

Mmp

故氣體的摩爾質(zhì)量為:

M=也

p

1.24X10~3X8.31X273

=---------------------七28x

1.00X10~31.013X105

所以,該氣體是N2或CO。

四理想氣體的溫度公式

2——

由尸=三〃巴和

P=nkT(玻耳茲曼常量)

消去壓強P,可得:

—£=—3k…T

't2

(6-5)

—平衡態(tài)下理想

氣體的溫度公式

注意:

(1)氣體溫度的統(tǒng)計意義

公式表明宏觀溫度的本質(zhì)是與微觀分

子的平均平動動能相聯(lián)系的,是大量分

子平均

平動動能的量度。溫度是分子無規(guī)熱

運動的劇烈程度的宏觀標志,

(2)由于0是物質(zhì)內(nèi)部大量分子熱運動

的集體表現(xiàn),具有統(tǒng)計平均的物理意義,

所以

溫度對個別分子是無意義的,對個別

分子也無法求得它的平均平動動能,公

式對象是

由大量分子組成的理想氣體,對少量

分子不成立。

例6-2溫度姑=300K的氣體分子的平

均平動動能為多少電子伏特?

解:按照溫度公式(6-5)

一33

—左T=—xL38xW23x300(J)

3x1.38x10-23*300

2

二一0B—(eV)=3.88xl0(eV)

2x1.6x10

(只有百分之幾個電子

伏特)

§6-3能量均分定理和理

想氣體的內(nèi)能

—3

溫度公式仃表明平衡態(tài)下分子

平均平動動能與溫度的關(guān)系。

實際氣體分子都有一定的結(jié)構(gòu),除平

動外,還存在轉(zhuǎn)動、振動等,

都具有相應(yīng)的能量。

一自由度

確定一個物體的空間位置所需的獨立

坐標數(shù),叫做這個物體的運動自由度數(shù)。

單原子分子

平動自由度-3,轉(zhuǎn)動自由度廣???/p>

自由度

剛性雙原子分子

平動自由度-3,轉(zhuǎn)動自由度42,總

自由度/=5;

非剛性雙原子分子

平動自由度-3,轉(zhuǎn)動自由度42,振

動自由度s=l,總自由度i=6;

剛性多原子分子

平動自由度t=3,轉(zhuǎn)動自由度尸3,總

自由度1=6。

非剛性多原子分子(設(shè)有n個原子組

成,則有3n個自由度)

平動自由度—3,轉(zhuǎn)動自由度廠為振

動自由度s=%-6,總自由度i=3n;

二能量均分定理

*一個分子的平動動能為:

心=!帆匕2/(云+琮+丈

*大量分子的平均平動動能為:

—121,222\12

8=

t—Cmv=—ml\vxr+vyv+z)1=—、mvxv+

由于

22y2

分配)

按1=2上7,可得每個自由

度的平均平動動能為:

r1

工2工2工2,7T

—mv^——mv,=—mv,=—KT

22yy22

*推廣:

推廣到轉(zhuǎn)動和振動,分子運動每個

1

自由度都均分萬人丁平均動能。

能量按自由度均分定理(可由經(jīng)典

統(tǒng)計物理學證明):在溫度為T的平衡狀

態(tài)下,物質(zhì)(氣體、液體或固體)分

子的每一個自由度都具有相同的平

1,一

均動能,其大小等于萬^7。

注意:

(1)能量均分定理是關(guān)于分子熱運動的

統(tǒng)計規(guī)律,是對大量分子進行統(tǒng)計平

均所得結(jié)果,對個別分子是不適用

的。只有大量分子才能通過無規(guī)則熱運

所引起的碰撞來實現(xiàn)能量按自由

度均分。

(2)分子平均動能

若某氣體分子有t平動、r個轉(zhuǎn)動、

s個振動自由度,

分子的平均動能=

t+r+SkT

2(6-6)

(3)分子的平均能量

分子的平均能量=分子的平均

動能+分子中原子的平均振動勢能

由振動學知:在一個周期內(nèi),諧振

動的平均動能和平均勢能是相等的。

因此若分子的平均振動動能為

kT

2,則平均振動勢能也等于

—kT

2。

分子的平均能量

t+r+2skT=-KT

22

其中

i=t+r+2s

三理想氣體的內(nèi)能

氣體的內(nèi)能=所有分子的平均能量

+所有分子間的相互作用勢能。

理想氣便不考慮分子間相互作用和

分子中原子的振動,因此

理想氣體內(nèi)能=所有分子的平均能

量之和。

一個分子的平均動能=

t+r+sI—

------------kl

2

一個分子的平均能量=

t+r+2skT=-KT

22

一摩爾理想氣體的內(nèi)能=

t+r+2si

NA-----------------

iyA2kT=—2RT

m千克理想氣體的內(nèi)能E=

ffiiii

------RT=v—RT=—PV

M222

(6-7)

理想氣體的內(nèi)能只取決于溫度,即

內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。

內(nèi)能的變化

ZLE=x^—RAT

2(6-8)

或記作

*

▲石=PV)

(與狀態(tài)變化所經(jīng)歷

的具體過程無關(guān))

例6-3一容器內(nèi)有理想氣體氧氣,p=

l.OOatm,t=27.0℃,V=

2.00m3o

求:⑴氧分子的平均平動動能

(2)氧分子的平均轉(zhuǎn)動動

能J;

(3)氧氣的內(nèi)能。

解氧分子為雙原子分子,自由度》=

5,其中,平動自由度,=3,

轉(zhuǎn)動自由度尸=2。

由能量均分定理和理想氣體的內(nèi)能

公式可得:

(1)氧分子的平均平動動能與為:

-33”

£t=—xl.38xio-23x(2

22

=6.21X10-21J=3.88xlO-2eV

(2)氧分子的平均轉(zhuǎn)動動能卻為:

—22—01

£Y=—kr=—£t=4.14x10—21)二

23

⑶容器內(nèi)氧氣的內(nèi)能為:

??二

E=v—RT=—pV=—x1.013x105x2.00=5

222

例6—4一摩爾的水蒸氣分解成同溫

度的氫氣和氧氣,

求:分解前后的平均平動動能

比和內(nèi)能比。

(設(shè)分解前后的氣體均為

剛性理想氣體分子)

M:由化學方程式2H2。-2H2+O2

Imol的水蒸氣將分解成Imol的

氫氣和0.5mol的氧氣。

H2O(多原子分子)自由度,

=6,

凡和。2(雙原子分子)自由度

,=5O

(1)因分解后氣體的溫度未變,平動

自由度r=3也未變,

故分子的平均平動動能為

It=—kT/?、

2(不變)

分解前后:

N土2

(2)分解前,水蒸氣的總內(nèi)能為:

?J

E^v—RT^lx—RT^3RT

}22

分解后,氫氣和氧氣的總內(nèi)能

為:

55r

E2=EH2+石Q=lx—^+0.5x—^

故分解前后的內(nèi)能比為:

El3RT丑

石215RT5

4

§6-4分子的速

率分布和能量分布

理想氣體的壓強、溫度、分子平均平

動動能等物理量都屬于統(tǒng)計平均值,

下面將用分布函數(shù)來描述系統(tǒng)的統(tǒng)計

規(guī)律,具體討論分子的速率分布。

一分子的速率分布

用分布函數(shù)表示統(tǒng)計分布規(guī)律

有:

離散值的方式(例如:擲骰子中

的統(tǒng)計規(guī)律);

連續(xù)值的方式(例如:氣體分子

速率分布規(guī)律)。

(1)擲骰子描述

假設(shè)擲了N次,其中出現(xiàn)匕值次數(shù)

有M次(,可取1,2,3,4,5,6),

比率為:

叱=乂

'N

當N充分大時,這個比率趨于一

個穩(wěn)定值—數(shù)值1的分布函數(shù)。

意義:

擲出數(shù)值5的次數(shù)”占總投

擲次數(shù)N的比率;

任意投擲一次,擲出數(shù)值為上

的概率。

只要N充分大,出現(xiàn)各為的概

率肯定是無限接近,

且滿足歸一化條件:

畢鵬;r\(6.10)

(即全部事件的總概率是

1)

(2)分子速率分布函數(shù)

反映一定質(zhì)量的理想氣體在熱平衡

狀態(tài)下,分布在各個速率附近單位速率

區(qū)間內(nèi)

的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率的規(guī)

律叫做速率分布律。

假設(shè)系統(tǒng)的總分子數(shù)為N,在速率

o?Hdo之間的分子數(shù)為dN,

則:v-v+dv間的分子數(shù)占系統(tǒng)總分

子數(shù)的比率或概率為:

,dN

ClW---

N

它的含義也可表為:任意一個分子,

它的速率處于0?o+do之間的概率。

由于〃川和改成正比,通常用

dw_dN

蘇=而反映速率分布,定義:

速率分布函數(shù):

、dwdN

f(v)==-----

dvNdv(6-H)

/(v)物理意義:任意一個分子,它的

速率出現(xiàn)在速率。處單位速率區(qū)間內(nèi)的

概率。

或者說在速率。附近,單

位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)在總分子數(shù)中的

比率。

*分子速率分布函數(shù)計算統(tǒng)計數(shù)據(jù)

1)v~v+dv區(qū)間的分子數(shù):

dN=A5r

v~v+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)

dN

=fMdv

中的比率

幾何意義:/.)曲線下一個

微元矩形的面積。

2)匕?「2區(qū)間的分子數(shù):

AN=J平(v”v

V2區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中

的比率為:

夕=r/(->

NJvi

(幾何意義為:八口曲線下

Vl-V2區(qū)間的面積)

3)歸一化條件:

令匕=°,%=00則:

AN=N

故有:

(6-⑵

(幾何意義為:,(叱)曲線下

的總面積為1)

二統(tǒng)計平均速率

計平均町面討論用統(tǒng)計分布函數(shù)求統(tǒng)

為假定某量有?個測量值,測量結(jié)果

值為勺的有M

個,為*2

個,……為居的有名

的有能

*該量的個,

全部加起來,再除了測量總次數(shù)N,

就可得”;

k

2)與W/,?意味每一種測量值先乘以

它出現(xiàn)的概率,再把每一種測量值

與它對應(yīng)的概率的乘積加起來得

至!I%o

(兩種方法計算的結(jié)果一

樣)

*同理,該量測量的方均值(先平方后

再求平均值)為:

k

kNk

”—I

?Az—叱

Ni=l

(6-14)

(對于總分子數(shù)%很大的平衡態(tài)氣

體)

1.分子的平均速率:

?OO

Nv?dNjv.Nf(v)dv

i=i10

Ev二-------------------

NNN

(6-15)

2.方均速率與方均根速率:

?OOc

2

|v?dN_「v?.Nf{y}d?

v2o

~~NN

=J7/?f(v)dv

(6-16)

Vv^=JJV2-f(v)dv

(6-17)

3.最概然速率(速率分布函數(shù)的峰

值速率):

根據(jù)求極值的方法,令:

d

--f(v)=O

av

(6-18)

即可求出PO

(?、

的特征速率)

例6-5由N個粒子組成的系統(tǒng),平衡

態(tài)下粒子速率分布曲線如圖。

試求:(1)速率分布函數(shù);

(2)速率在O-Vo/2范

圍內(nèi)的粒子數(shù);

(3)粒子的平均速率、

方均根速率和最概然速率。

伍)

解:(1)按圖示的速率分布曲線形狀,

有:

kv(v<v)

/(V)=o

O(v>vo)

由速率分布函數(shù)的歸一化條件:

?OO/*VQ

f(y)dv=Ikvdv=5牖=1

0Jo

可得:

^=4

V。

故速率分布函數(shù)為:

2y

/Ci)

o

(2)由dN=Nf(y)dv,速率在

0~v。

2范圍內(nèi)的分子數(shù)為:

Jo%

2Nf(v)dv=J2N-^-dv=J

AN=

oo

vyf

⑶由o和

/?OO

2

二IVy(v)<s/v

Jo,可得:

*平均速率為:

-「心2v2

=~vo

v。3

*方均速率為:

__V7

2f°22VVQ

JoVQ2

*方均根速率為:

幣=與丫0

*最概然速率“P(川)具有最大

值,由圖中的速率

分布曲線可得):

Vp=%)

三麥克斯韋速率分布

1.由經(jīng)典統(tǒng)計物理理論,可導出平衡

態(tài)理想氣體分子速率分布函數(shù)

m

/”)=4TT(2V矢

2jvkT

(6-19)

麥克斯韋速率分布函數(shù)

式中:T為熱力學系統(tǒng)的溫度,

a為氣體分子的質(zhì)量,

A為玻耳茲曼常量。

(不僅是速率0的函數(shù),還與分子質(zhì)量a

和溫度丁有關(guān))

/(v)

3)同種氣體,不同溫度(b)同一溫

度,不同氣體(c)三種速率的比較

圖6-6麥克斯韋速

率分布曲線

2.由麥克斯韋速率分布函數(shù)可得平衡

態(tài)下理想氣體:

*最概然速率:

(6-20)

*平均速率:

—_\3kT8RT

V7UTIy

(6-21)

*方均根速率:

3kT3RT

V-3m~VM

(6-22)

可見:

1)三個特征速率

和"成正比,和M成反比。

當溫度7和摩爾質(zhì)量"相同

時,有:

:V:口=1.41:1.60:1.73

2)應(yīng)用:

在討論速率分布時用最概

然速率;

在計算平均自由程時用平

均速率;

在計算平均平動動能時用

方均根速率。

3)麥克斯韋速率分布的實驗驗證

(1956年密勒一庫什實驗):

S是熾熱的牡分子射線源,C是

可繞中心軸旋轉(zhuǎn)的鋁合金圓柱體,

S'是根據(jù)電離計原理制成的分子射

線探測器,

可通過短分子電離空氣產(chǎn)生電

流大小,測出進入探測器鉉分子射線強

度。

實驗表明:

實驗結(jié)果與麥克斯韋速率分

布符合得相當好!

例6-6對于給定的理想氣體,

試求:v二寸,2Vp和3Vp的速

率附近與最概然速率,的

附近相比,在△。相同

的速率小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比。

解由"=可9)小,可得任意

v?v+Av速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

pv+Av

△N=Nf(v)dv

Jv

當很小時,/(V)在該速率

區(qū)間內(nèi)近似不變,

可將上式簡化為:

A7V=7\5f(v)Av

因而,當速率分別為。和即時,

由乙。相同,有:

NN=<(v)Av=f(v)

"Nf(vp)Av"/(Vp)

理想氣體的分子速率,遵守麥克

斯韋速率分布,

可得:

7TZV2

2

A7V=JO)_ve2仃

7TZV2

"P/(小2

ve2仃

p

[2kT

以最概然速率。1匕丁代入上

式,又有:

<\2—

1——

A7V_(y]2「<PJ

zVZVp[vpJ

vD

V=-----2"p和3Vp代

分別以2,

入上式,可以算出:

_vp

時,

3

==53%

必4

v=2vP時,

=4e-3=19.9%

v=3vp時,

8=0.302%

顯然,速率越偏離最概然速率,

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少。

(注意:麥克斯韋分子速率分布沒有

涉及力場對氣體分子的影響)

四玻耳茲曼能量分布

將麥克斯韋速率分布函數(shù)

T1

「/、..TYI、3/22—二

/“)=4H)1ve

2成1

代入dN=Nf

得:

m)3%』/仃4郎2d

dN=N(lz

2兀kT

(6-23)

式中:

121/222x

=-mv=-m(yx+v+vz}

22

為分子的動能。

在保守力場,有動能和勢能,式中

應(yīng)用粒子總能量£=4+%

代替。

而:動能是速率的函數(shù)

4=4⑺,

勢能是空間位置坐標的函數(shù)

玻耳茲曼運用統(tǒng)計物理學基本原理

得:

分子速度處于匕?匕+"匕,

?匕?匕+4匕區(qū)間,

坐標處于x~x+dx,y?y+dy,

z~z+dz的空間體積元dv=dxdydz內(nèi)的

分子數(shù)為;

2k+£夕

m

dN=%()3/2/F-dvA

0271kl"

或:

m

-引kTdVdVdv(

dN=%(/e汽yyz

2欣T

(6-24)

—麥克斯韋一玻耳茲曼能

量分布律(簡稱玻耳茲曼能量分布律)

式中:為表示在勢能處

單位體積內(nèi)所含各種速度的分子數(shù)。

討論:

1)對位置積分可回到麥克斯韋速率

分布:

麥克斯韋速率分布是玻耳茲曼能

量分布律的一個直接結(jié)果。

2)當溫度給定時在確定速度區(qū)間和

坐標區(qū)域內(nèi),

-slkT

分子數(shù)只取決于因子e-

一概率因子。

說明:能量越大,概率因子越小,

分子數(shù)就越少。

氣體分子占據(jù)能量較低狀態(tài)

概率,比占據(jù)能量較高狀態(tài)概率大。

占據(jù)基態(tài)概率比占據(jù)激發(fā)態(tài)

概率大得多。

3)氣體分子在重力場中按高度分布的

規(guī)律

根據(jù)玻耳茲曼能量分布律,可以

推出:

mgh/kT

n=noe-

(6-25

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