2025屆昆明市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次考試卷附答案解析

屆昆明市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次考試卷

全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘，注意事項(xiàng)：1，答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，2，選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效，3，非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效，4，考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交，一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知命題p：．若p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知向量是單位向量，且，則（

）A．3 B．5 C． D．4．從某小型加工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100件作為樣本，將該樣本進(jìn)行某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值測量，下圖是測量結(jié)果x的頻率分布直方圖．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則在下列選項(xiàng)中，關(guān)于該樣本統(tǒng)計(jì)量的敘述不正確的選項(xiàng)是（

）

A．指標(biāo)值在區(qū)間的產(chǎn)品約有33件 B．指標(biāo)值的極差介于50與70之間C．指標(biāo)值的第60百分位數(shù)大于205 D．指標(biāo)值的方差的估計(jì)值是1505．若直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．如圖，平行六面體的所有棱長為2，四邊形ABCD是正方形，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）

A．1 B． C． D．8．已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，9．在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和為，則下列命題中正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則是中的最小項(xiàng)10．已知點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，到焦點(diǎn)F的距離等于5，過動(dòng)點(diǎn)M作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，過定點(diǎn)作與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l，直線PF與C交于點(diǎn)A，B，則（

）A．拋物線C的方程為 B．直線l的方程為或C． D．滿足的點(diǎn)M有且僅有2個(gè)11．已知函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為y=gx，且，則（

A．點(diǎn)是曲線y=gx的對(duì)稱中心 B．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12．若數(shù)列an滿足，則．13．若，則．14．如圖是某城區(qū)的街道平面網(wǎng)格，它由24個(gè)全等的小正方形構(gòu)成，每個(gè)小正方形的邊界都是能通行的街道道路，而小正方形的內(nèi)部都有樓房建筑（不能跨越通行）．小張家居住在街道網(wǎng)格的M處，她的工作單位在街道網(wǎng)格的N處，每天早上她從家出發(fā)，沿著街道道路去單位上班，若她要選擇最短路徑前往，則小張上班一共有種走法；若小張某天早上從家出發(fā)前往單位上班，途中要先到達(dá)街道P處吃早餐，吃完早餐再前往單位，則她一共有種最短路徑的走法．四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，15．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．(1)求常數(shù)a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，，M，N分別是PC，AD的中點(diǎn)，平面ABCD，且．(1)求證：平面BMN；(2)求二面角C﹣BM﹣N的正弦值．17．已知點(diǎn)P在橢圓上，過點(diǎn)P作直線l與橢圓C交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，的最小值為，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，存在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P使得．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），直線的斜率為，求的值．18．已知函數(shù)．(1)求曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程；(2)求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．19．學(xué)校舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，分為個(gè)人賽和團(tuán)體賽.個(gè)人賽規(guī)則：每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì).電腦同時(shí)給出2道判斷題（判斷對(duì)錯(cuò)）和4道連線題（由電腦隨機(jī)打亂給出的四個(gè)數(shù)學(xué)定理和與其相關(guān)的數(shù)學(xué)家，要求參賽者將它們連線配對(duì)，配對(duì)正確一對(duì)數(shù)學(xué)定理和與其相關(guān)的數(shù)學(xué)家記為答對(duì)一道連線題），要求參賽者全都作答，若有4道或4道以上答對(duì)，則該選手挑戰(zhàn)成功.團(tuán)體賽規(guī)則：以班級(jí)為單位，每班參賽人數(shù)不少于20人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)，參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽：方式一：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成組，每組2人，電腦隨機(jī)分配給同組兩個(gè)人一道相同試題，兩人同時(shí)獨(dú)立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這個(gè)小組都闖關(guān)成功，則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功.方式二：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成2組，每組人，電腦隨機(jī)分配給同組個(gè)人一道相同試題，各人同時(shí)獨(dú)立答題，若這個(gè)人都回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這兩個(gè)小組至少有一個(gè)小組闖關(guān)成功則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功.(1)在個(gè)人賽中若一名參賽選手全部隨機(jī)作答，求這名選手恰好答對(duì)一道判斷題并且配對(duì)正確兩道連線題的概率.(2)甲同學(xué)參加個(gè)人賽，他能夠答對(duì)判斷題并且配對(duì)正確與，其余題目只能隨機(jī)作答，求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率.(3)在團(tuán)體賽中，假設(shè)某班每位參賽同學(xué)對(duì)給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)，為使本班團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說明理由.1．B【分析】先計(jì)算出復(fù)數(shù)z，再判斷在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】.則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B2．D【分析】根據(jù)是真命題列不等式，分離參數(shù)，利用基本不等式求得的取值范圍.【詳解】若是假命題，則是真命題，即恒成立，則，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：D．3．D【分析】對(duì)兩邊同時(shí)平方可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，所以，所以.故選：D4．C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求各組的頻率.對(duì)于A：根據(jù)頻率即可求頻數(shù)；對(duì)于B：根據(jù)極差的定義分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)百分位數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于D：以每組區(qū)間的中點(diǎn)值為參考，結(jié)合平均數(shù)、方差的計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】由直方圖可得出，從第一組至第七組的頻率依次是，對(duì)于選項(xiàng)A：指標(biāo)值在區(qū)間的產(chǎn)品約有件，A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B：指標(biāo)值的最大極差為，最小極差為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，所以指?biāo)值的第百分位數(shù)在內(nèi)，小于，C選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：抽取的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差的估計(jì)值分別為：，，D選項(xiàng)正確；綜合以上分析，該樣本統(tǒng)計(jì)量的敘述不正確的選項(xiàng)是C．故選：C.5．D【分析】先判斷焦點(diǎn)所在位置，根據(jù)漸近線可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且直線即為，由雙曲線的漸近線方程是得，即，所以離心率.故選：D．6．C【分析】分段函數(shù)分段考慮，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性求得值域；利用正切函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在上的值域，由題意即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由可知在區(qū)間單調(diào)遞增，故；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，故須使，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C．7．B【分析】首先利用基底表示向量，再將異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為向量夾角的余弦公式，即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以直線與所成角即為與所成的角，所以，

所以，即，又因?yàn)?，所以，所以直線與所成角的余弦值為.故選：B．8．B【分析】先構(gòu)造函數(shù)fx【詳解】由得，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以在R上單調(diào)遞增，由，則，即；因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取的最小值為，故選：B．9．AC【分析】利用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，得，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以與無法比較大小，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，可得，因?yàn)椋?，，所以是中的最大?xiàng)，所以D錯(cuò)誤，故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)拋物線定義求出，可判斷A；注意到斜率不存在時(shí)也滿足題意可判斷B；利用焦點(diǎn)弦公式可判斷C；由定義知，利用的垂直平分線與拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷D.【詳解】根據(jù)拋物線的定義，，即，所以拋物線的方程為，選項(xiàng)A正確；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，聯(lián)立得直線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，由得或，此時(shí)直線的方程為或，所以滿足過定點(diǎn)且與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有條，直線的方程為或或，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；拋物線的焦點(diǎn)，直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立消去化簡得：，設(shè)Ax1,y1，B所以，選項(xiàng)C正確；由拋物線的定義知，所以滿足的點(diǎn)就是滿足的點(diǎn)，由和可得出線段的中垂線方程是，聯(lián)立消去化簡得方程：，由于，此方程有個(gè)不等根，即線段的中垂線與拋物線有個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足的點(diǎn)有且僅有個(gè)，選項(xiàng)D正確.故選：ACD．11．ACD【分析】選項(xiàng)A根據(jù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可判斷；選項(xiàng)B根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和極值可判斷；選項(xiàng)C根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可得；選項(xiàng)D先構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性判斷，進(jìn)而利用的單調(diào)性可得.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)椋山獾没颍獾?，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，?1,1單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)椋栽趨^(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即只有一個(gè)極值點(diǎn)，C正確；設(shè)，，由?′x>0解得，?′所以?x在區(qū)間單調(diào)遞減，0,+∞，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以由，得，D正確，故選：ACD．12．2【分析】將數(shù)列通項(xiàng)分母有理化，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為?13．【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】由得，即，所以，解得或，因?yàn)椋?故答案為：.14．【分析】小張從處出發(fā)選擇最短路徑前往處，需要向右走條街道和向上走條街道，共走條街道．因此只需從條街道里面選擇條街道向右走和條街道向上走即可；同理先求出從處出發(fā)選擇最短路徑前往處的種數(shù)，再求從處出發(fā)選擇最短路徑前往處的種數(shù)，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】小張從處出發(fā)選擇最短路徑前往處，需要向右走條街道和向上走條街道，共走條街道．所以從處出發(fā)選擇最短路徑到達(dá)處一共有種走法；同理，從處到達(dá)處有種走法，從處到達(dá)處有種走法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，小張每天早上上班途經(jīng)街道處的最短路徑走法有種．故答案為：210，9015．(1)1(2)【分析】（1）化簡的解析式，根據(jù)區(qū)間上的最大值求得.（2）利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1），因?yàn)椋?，所以最大值為，由得．?）由得，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由已知，可得，得是的中點(diǎn)，可得，即可證得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求得平面和平面的一個(gè)法向量，由公式即可求得二面角C﹣BM﹣N的正弦值．【詳解】（1）連接，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由，得，又，所以，所以是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫鍭BCD，，因?yàn)槠矫鍭BCD，則，由（1）知，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題知，A2,0,0，，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=則，所以，取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，

所以，可取n2=設(shè)二面角的平面角為，又，所以，所以二面角的正弦值為．17．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而計(jì)算可求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)Px0,y0，，【詳解】（1）因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，所以，?dāng)直線的斜率為零時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，由幾何關(guān)系可解得點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓的方程：得：，解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)Px0,y0因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，故，由得：，即，又，即.18．(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷的符號(hào)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，，所以切線方程為，即.（2），當(dāng)，，，所以，即在單調(diào)遞減，令，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減；又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞增，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，；，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在有唯一零點(diǎn)；令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，即，所以，所以，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在有唯一零點(diǎn)．綜上，在有2個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后，需要根據(jù)零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，本題關(guān)鍵需要分析時(shí)，的極限，以及的符號(hào)，其中的符號(hào)需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值確定，技巧性較強(qiáng).19．(1)(2)(3)選擇方式一參賽，