數(shù)學(xué)同步測控：函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基,我達(dá)標(biāo)1。函數(shù)y=3x+2的單調(diào)增區(qū)間是()A。(—∞,］B.［，］C.［，+∞）D.（—∞,+∞）解析:對于a〉0的一次函數(shù),它在定義域范圍內(nèi)為增函數(shù)。答案：D2.關(guān)于函數(shù)y=x2-2x+10的單調(diào)性的表述正確的是（）A。在（-∞，+∞)上遞增B.在（—∞,1］上遞增C.在(-∞,1）上遞減D.在［1，+∞)上遞減解析：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）,對稱軸為x=，當(dāng)a〉0時，在區(qū)間(—∞，]上是單調(diào)遞減函數(shù),在區(qū)間［,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).簡稱為“a〉0，左減右增”;當(dāng)a<0時,在區(qū)間(-∞,］上是單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間［，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).簡稱為“a〈0,左增右減”。答案:C3.關(guān)于函數(shù)y=的單調(diào)性的表述正確的是…(）A.在(—∞,0)上增加，在（0,+∞)上減少B。在(-∞，0）∪(0,+∞)上減少C.在［0,+∞）上減少D.在（-∞,0)和(0，+∞）上都減少解析:對于反比例函數(shù)y=（k≠0）,當(dāng)k>0時,在區(qū)間(—∞,0)上是單調(diào)遞減函數(shù),在區(qū)間（0，+∞)上也是單調(diào)遞減函數(shù),這種函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能分開寫;當(dāng)k〈0時，在區(qū)間（-∞，0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間(0，+∞)上也是單調(diào)遞增函數(shù)。答案：D4。關(guān)于函數(shù)y=kx+b，下列論述錯誤的是()A.單調(diào)性只與k有關(guān)B.不論k>0,還是k<0，函數(shù)的單調(diào)性不變C。在(-∞，0］上單調(diào)增加的前提是k>0D。當(dāng)k>0時,函數(shù)在（—∞,+∞)上增加解析：根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)情況，它與x的系數(shù)k的符號有關(guān),當(dāng)k>0時,它在（—∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)k<0時,它在（-∞，+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).答案：B5.函數(shù)y=x2+ax+7在［1，+∞）上增加，則實數(shù)a的取值范圍是___________。解析:二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間取決于該函數(shù)的二次項系數(shù)a的符號以及它的對稱軸。a>0，左減右增，所給區(qū)間為其單調(diào)增區(qū)間的一個子區(qū)間,即≤1。所以a≥-2。答案：a≥-26.已知函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)增加，則實數(shù)k的取值范圍是___________。解析：反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間取決于該函數(shù)的系數(shù)k的符號。當(dāng)k<0時，在區(qū)間(—∞,0）上是單調(diào)遞增函數(shù),在區(qū)間（0,+∞)上也是單調(diào)遞增函數(shù)。所以該函數(shù)的系數(shù)2k—1〈0.答案：k〈7。求函數(shù)f（x)=x+的單調(diào)區(qū)間.分析：按照定義去判斷單調(diào)性時，我們可以用口訣“同向則增，異向則減”幫助理解。解：設(shè)x1、x2∈(0,1］,且x1<x2,則f（x1)—f(x2)=（x1-x2).∵0<x1<x2≤1,∴x1-x2<0,x1x2-1〈0，x1x2〉0.∴f(x1)-f（x2)>0，即f(x)在(0，1］上是減函數(shù)，同理可證f(x）在［1,+∞）及(-∞，—1］上是增函數(shù)，f(x)在［-1，0）上是減函數(shù)。我綜合，我發(fā)展8.函數(shù)f（x）是［0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù),f（x）≠0且f（2)=1，求函數(shù)F（x）=f(x）+在［0，2］上的單調(diào)性.分析：函數(shù)f（x)沒有給出解析式,因此對F(x)的函數(shù)值作差后，需由f（x）的單調(diào)性,確定作差后的符號。解:任取0≤x1〈x2≤2.F（x1）—F（x2)=f(x1)+—f（x2）=f(x1)—f（x2）+=［f（x1）—f(x2)］·［1］.∵0≤x1<x2≤2且f（x)是[0,+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù),∴f(x1）〉f（x2）≥f(2）=1?！鄁（x1）—f（x2）>0，f（x1）·f(x2)>1，〈1,1〉0。∴F（x1)-F(x2）>0,F(x1)>F（x2）。∴F(x）是[0,2］上的單調(diào)遞減函數(shù).9。已知f(x)是定義在［-1,1］上的函數(shù)，且f(1）=1,f(x）=-f(-x），若m、n∈［—1，1］，m+n≠0,〉0。（1）用定義證明f（x)在［—1,1]上是增函數(shù)；(2）若f（x)≤t2—2at+1對所有x∈［-1,1］,a∈［—1,1］恒成立,求實數(shù)t的范圍.分析：本題給出的是抽象函數(shù),進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.（1)證明:〉0說明f（m）+f（n）與m+n同號,①如果m+n〉0，則f（m)+f（n)>0，也即m〉-n時有f(m）>—f(n)=f（—n）；②如果m+n〈0,則f（m）+f(n）〈0，也即m<—n時有f（m)〈—f(n）=f(—n);顯然只要m〉-n就有f(m)>f(-n）,根據(jù)m、n的任意性知函數(shù)在［—1，1］上是增函數(shù).（2)解：f(x）在［—1，1]上是增函數(shù)，所以f(x)≤f（1)=1,顯然t=0時f（x）≤1成立;t≠0時,f(x)≤t2—2at+1對所有x∈[—1，1］,a∈[-1，1]恒成立，即轉(zhuǎn)化為1≤t2—2at+1對所有a∈［-1，1］恒成立，即轉(zhuǎn)化為0≤t2-2at對所有a∈[-1，1］恒成立,所以只要即可,解得t≤-2或t≥2.所以t≤—2或t=0或t≥2。10.設(shè)f（x）=x2+1,g（x)=f[f(x)］,F(x)=g（x）—λf(x），問是否存在實數(shù)λ，使F（x）在區(qū)間(-∞，）上是減函數(shù)且在區(qū)間（，0）上是增函數(shù)?分析：這是一個存在性問題,我們處理這種題型時，應(yīng)當(dāng)首先假設(shè)所求參數(shù)存在。解:f（x）=x2+1,g(x)=f［f(x)］,F(x）=g(x)—λf（x）,由f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)],得g（x)=(x2+1）2+1,∴F(x）=g(x)—λf(x)=x4+(2—λ)x2+2—λ。不妨設(shè)存在實數(shù)λ的值，使F（x）滿足題設(shè),則任取x1〈x2〈0，有—x1〉-x2〉0,x12〉x22，F(xiàn)(x1）—F（x2）=(x12-x22)(x12+x22+2-λ）.(1）當(dāng)x1、x2∈（—∞,）時，∵F(x)單調(diào)遞減,∴F（x1）〉F(x2）.∴x12+x22+2—λ>0，而x12+x22〉+=1，所以只需λ≤3.(2)當(dāng)x1、x2∈(,0）時，∵F(x）單調(diào)遞增,∴F(x1)<F(x2）?！鄕12+x22+2-λ〈0，而x12+x22〈1,所以只需λ≥3.綜合（1)（2）知,當(dāng)λ=3時，F(xiàn)（x)符合題意.11.某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi),西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖2-1—15（1）的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2-1—15（2）的拋物線段表示。（1）寫出圖（1)表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=f(t）；寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g（t）;（2)認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益,問何時上市的西紅柿純收益最大？圖2-1—15(注：市場售價和種植成本的單位:元/102分析：本題主要考查由一次、二次函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.（1）由函數(shù)的圖象，可知函數(shù)P=f(t）是分段函數(shù),并且每一段上均是一次函數(shù),函數(shù)Q=g（t）是二次函數(shù),故用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式；（2)純收益是上市時間的函數(shù),這個函數(shù)也是分段函數(shù),其最值是在每段上的最大值中的最大值.解：(1)由圖(1)可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為f（t)=由圖(2）可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g(t）=（t—150）2+100,0≤t≤300。（2）設(shè)西紅柿上市t天后的純收益為h（t），則由題意得h（t)=f（t）—g（t).h(t）=當(dāng)0≤t≤200時，配方整理得h（t)=（t—50)2+100，所以,當(dāng)t=50時，h(t)取得區(qū)間[0,200］上的最大值100;當(dāng)200<t≤300時,配方整理得h（t)=(t—350)2+100，所以,當(dāng)t=300時,h(t)取得區(qū)間（200，300]上的最大值87。5。綜上所得，由100>87。5,可知h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100,此時t=50,即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大.我創(chuàng)新,我超越12.如圖2—1-16，正方形ABCD的頂點圖2-1—16A(0,)，B(，0)，頂點C、D位于第一象限。直線l:x=t（0≤t≤2)將正方形ABCD分成兩部分,記位于直線l左側(cè)部分的面積為f(t）,則函數(shù)S=f（t)的圖象大致是（）圖2—1-17解析：判斷函數(shù)S=f（t）的圖象可以用“觀察法",直線l在運動到點B之前，左側(cè)的面積增大的速度是越來越快,而過了點B之后，左側(cè)的面積增大的速度是越來越慢.而速度的快慢反映在圖象上就是陡與緩。當(dāng)然也可以根據(jù)題意求出函數(shù)解析式,用描點法畫出函數(shù)圖象.答案：C13.設(shè)0<x〈1，則函數(shù)y=+的最小值是____________.解析:y=，當(dāng)0〈x<1時,x(1—x)=-(x)2+≤，∴y≥4。答案：414。設(shè)f（x)是定義在[0,1］上的函數(shù),若存在x*∈(0,1),使得f（x）在［0，x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1］上單調(diào)遞減，則稱f（x)為［0，1］上的單峰函數(shù)，x＊為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間。對任意的[0，1］上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）。求證:對任意的x1、x2∈（0，1)，x1〈x2,若f(x1）≥f（x2)，則（0，x2)為含峰區(qū)間;若f(x1）≤f(x2），則（x1,1）為含峰區(qū)間。分析：因為f（x)為［0，1］上的單峰函數(shù)，故含峰區(qū)間內(nèi)必含有峰點x*,若不是含峰區(qū)間，則必然單調(diào)，而單調(diào)性便于研究自變量大小與函數(shù)值大小的相關(guān)性，因此本題可采用反證法證明.證明:設(shè)x*為f(x）的峰點,則由單峰函數(shù)定義,可知f(x