數(shù)學同步練習：等比數(shù)列等比數(shù)列

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3等比數(shù)列2．3。1等比數(shù)列1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則公比q為（）A．2B．3C．4D．82．若正數(shù)a，b,c依次成公比大于1的等比數(shù)列,則當x>1時，logax，logbx，logcx（）A．依次成等差數(shù)列B．依次成等比數(shù)列C．各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D．各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列3．在等比數(shù)列｛an｝中，若已知a3·a4·a5＝8,則a2·a3·a4·a5·a6等于____________．4．等比數(shù)列｛an}中，an∈R＋，a3·a6＝32，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值為________．答案:1．A∵a4＝a1·q3，即64＝8·q3，∴q＝2。2．C∵正數(shù)a,b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac,logax，logbx，logcx的倒數(shù)分別為logxa，logxb，logxc，∵logxa＋logxc＝logxac＝logxb2＝2logxb，∴l(xiāng)ogxa，logxb，logxc成等差數(shù)列．3．32由等比數(shù)列的性質，有a3·a4·a5＝aeq\o\al(3，4)＝8，所以a4＝2.則a2·a3·a4·a5·a6＝aeq\o\al（5,4)＝25＝32.4．20log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1a2…a8）＝log2［(a1a8)(a2a7）(a3a6)（a4a5)]＝log2（a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.課堂鞏固1．｛an}是等比數(shù)列，下面四個命題中真命題的個數(shù)為（)①｛aeq\o\al(2，n）｝也是等比數(shù)列②{can}（c≠0)也是等比數(shù)列③｛eq\f(1,an）｝也是等比數(shù)列④｛lnan}也是等比數(shù)列A．4B．3C．2D．12．在等比數(shù)列{an}中,如果a6＝6，a9＝9,那么a3等于()A．4B。eq\f（3，2)C。eq\f（16，9)D．23．已知等差數(shù)列{an｝的公差d≠0,且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)等于__________．4．在數(shù)列｛an｝和｛bn}中,bn是an與an＋1的等差中項,a1＝2,且對任意n∈N＋，都有3an＋1－an＝0,則數(shù)列｛bn｝的通項公式為________．5．在4與eq\f(1,4）之間插入3個數(shù),使這5個數(shù)成等比數(shù)列,求插入的三個數(shù)．6．在等比數(shù)列{an｝中,已知a2＝4,a5＝－eq\f（1，2)，求an。答案：1．B{lnan}應是等差數(shù)列，其他都是等比數(shù)列．2．A因為a3，a6，a9仍成等比數(shù)列且a6是a3與a9的等比中項,所以a3＝eq\f（a\o\al(2，6）,a9）＝eq\f(36,9）＝4.3.eq\f（13,16）由a1，a3,a9成等比數(shù)列，可得aeq\o\al(2，3）＝a1·a9，即(a1＋2d）2＝a1（a1＋8d）,∴d2＝a1d.∵d≠0，∴a1＝d?！鄀q\f（a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10）＝eq\f（3a1＋10d,3a1＋13d)＝eq\f（13d,16d）＝eq\f（13,16）.4。bn＝eq\f（4,3n）∵bn是an與an＋1的等差中項，∴2bn＝an＋an＋1?！遖1＝2，對任意n∈N＋都有3an＋1－an＝0，∴eq\f(an＋1，an)＝eq\f（1,3）?！鄘an}是以2為首項，eq\f（1,3）為公比的等比數(shù)列．∴an＋1＝a1·qn＝2（eq\f(1，3））n，an＝3an＋1.∴bn＝eq\f（an＋an＋1,2)＝eq\f（3an＋1＋an＋1，2）＝2an＋1＝2·2（eq\f（1，3)）n＝eq\f（4,3n)。5．解:此等比數(shù)列共5項，a3是a1與a5的等比中項，因此a3＝±eq\r(a1a5)＝±1。a2是a1與a3的等比中項，a4是a3與a5的等比中項．因為一個正數(shù)和一個負數(shù)沒有等比中項，所以a3＝1,a2＝±eq\r（a1a3)＝±2，a4＝±eq\r（a3a5）＝±eq\f（1,2）。因此，插入的3項依次為2,1，eq\f(1，2），或－2,1，－eq\f(1,2).6．解法一:設等比數(shù)列的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝4,,a1q4＝－\f（1，2)。)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝－8，，q＝－\f(1，2)。)）∴an＝a1qn－1＝（－8)（－eq\f(1,2））n－1＝（－eq\f(1,2）)n－4。解法二：設等比數(shù)列的公比為q，則eq\f（a5，a2）＝q3，即q3＝－eq\f（1,8)，q＝－eq\f(1，2)。∴an＝a5qn－5＝（－eq\f(1,2)）·(－eq\f（1，2））n－5＝(－eq\f(1，2))n－4.1．設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3·a6·a9·…·a30等于（)A．210B．220C．216D．2151．答案：B∵a1a2a3＝aeq\o\al（3,2)，a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)，a7a8a9＝aeq\o\al（3，8)，…,a28a29a30＝aeq\o\al(3,29)，∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝（a2a5a8…a29)3＝230?！郺2a5a8…a29＝210.∴a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210·210＝220.2。（江西高考，文8）公差不為零的等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項,S8＝32，則S10等于（)A．18B．24C．60D．902．答案：C設公差為d，由已知aeq\o\al(2，4）＝a3·a7，可得2a1＝－3d.又S8＝4(a1＋a8）＝8a1＋28d＝16d＝32，∴d＝2?！郤10＝10a1＋45d＝30d＝60。3．（廣東高考，文5)已知等比數(shù)列｛an}的公比為正數(shù),且a3·a9＝2aeq\o\al(2，5），a2＝1，則a1等于（)A。eq\f（1,2）B.eq\f(\r(2)，2)C。eq\r(2）D．23．答案：B由a3·a9＝2aeq\o\al（2,5)，得q2＝2。∵q〉0,∴q＝eq\r(2）?！遖2＝a1q＝eq\r（2)a1＝1,∴a1＝eq\f(\r(2）,2）。4．設等差數(shù)列｛an}的公差d不為0，a1＝9d。若ak是a1與a2k的等比中項,則k等于(）A．2B．4C．6D．84．答案：B用首項、公差(基本量）表示出ak、a2k，解關于k的方程即可．由題意得：aeq\o\al（2,k）＝a1·a2k，即[9d＋(k－1)d]2＝9d·[9d＋(2k－1）d]，解得k＝4。5．據(jù)某校環(huán)保小組調查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2004年產(chǎn)生的垃圾量為a，由此預測，該區(qū)下一年的垃圾量為__________噸，年的垃圾量為__________噸．5．答案：a(1＋b）a(1＋b)5該地區(qū)垃圾量的年增長率為b，因此垃圾量構成一個公比為1＋b的等比數(shù)列．把2004年的垃圾量a作為首項，則下一年的垃圾量為a(1＋b)噸,而年為該數(shù)列的第6項，即a(1＋b)5噸．6．(江蘇高考，理14）設｛an}是公比為q的等比數(shù)列，|q｜〉1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37，82｝中,則6q＝__________.6．答案：－9由題意：等比數(shù)列{an}有連續(xù)四項在集合｛－54，－24,18，36,81｝中，由等比數(shù)列的定義知：四項是兩個正數(shù)、兩個負數(shù),故－24,36,－54，81符合題意，則q＝－eq\f（3，2)，∴6q＝－9。7．在等比數(shù)列｛an}中,若a9·a11＝4，則數(shù)列{logeq\f（1,2）an}的前19項之和為__________．7．答案：－19由題意an>0，且a1·a19＝a2·a18＝…＝a9·a11＝aeq\o\al(2,10)，∴a10＝2或－2（－2顯然不滿足logeq\f（1，2)an中an>0的條件)．又a9·a11＝4,故a1a2…a19＝219，故logeq\f(1，2）a1＋logeq\f（1，2)a2＋…＋logeq\f（1,2）a19＝logeq\f(1,2)(a1a2…a19）＝－19。8．數(shù)列｛an｝中,a1＝2，an＋1＝an＋cn(c為常數(shù)，n＝1，2，3，…),且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列．（1）求c的值；（2）求｛an}的通項公式．8．答案：解:（1)a1＝2，a2＝2＋c,a3＝2＋3c。因為a1，a2,a3成等比數(shù)列，所以（2＋c）2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2。當c＝0時,a1＝a2＝a3，不符題意舍去，故c＝2。（2)當n≥2時,由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c，……an－an－1＝(n－1）c，所以an－a1＝［1＋2＋…＋（n－1）]c＝eq\f(n(n－1),2）c.又a1＝2，c＝2,故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n＝2,3，…),當n＝1時,上式也成立．∴an＝n2－n＋2,n∈N＋。9．（全國高考卷Ⅱ，理19)設數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.（1）設bn＝an＋1－2an,證明數(shù)列｛bn}是等比數(shù)列;(2）求數(shù)列{an｝的通項公式．9．答案：解：（1)由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an）,即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列｛bn｝是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．（2)由(1)知等比數(shù)列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是eq\f（an＋1，2n＋1）－eq\f(an,2n)＝eq\f（3,4）,因此數(shù)列｛eq\f(an,2n）｝是首項為eq\f（1,2），公差為eq\f（3,4）的等差數(shù)列,eq\f(an,2n）＝eq\f(1,2）＋（n－1）×eq\f（3,4）＝eq\f（3，4)n－eq\f(1,4），所以an＝（3n－1）·2n－2。10．有純酒精aL(a〉1）,從中取出1L，再用水加滿,然后再取出1L,再用水加滿,如此反復進行．問第九次和第十次共取出多少升純酒精?10．答案：解：第一次取出純酒精1L，記為a1；加水后，濃度為eq\f(a－1,a）＝1－eq\f(1，a）,所以第二次取出純酒精（1－eq\f(1,a））·1L，記為a2＝1－eq\f(1,a）;加水后,濃度為（1－eq\f（1，a）)·eq\f（a－1,a）＝