啟慧全國大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

啟慧全國大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.2．在正三棱錐S-ABC中，AB=4，D、E分別是SA、AB中點(diǎn)，且DE⊥CD，則三棱錐S-ABC外接球的體積為（）A.π B.πC.π D.π3．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積等于（）A.1 B.2C.4 D.64．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.25．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.6．下列命題中正確的是（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱7．若向量，，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.9．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，10．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-912．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為___________.14．牛頓迭代法又稱牛頓－拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取x0作為r的初始近似值，作曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線l1，設(shè)l1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，并稱x1為r的1次近似值；作曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線l2，設(shè)l2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，并稱x2為r的2次近似值．一般的，作曲線y＝f(x)在點(diǎn)(xn，f(xn))(n∈N)處的切線ln＋1，記ln＋1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn＋1，并稱xn＋1為r的n＋1次近似值．設(shè)f(x)＝x3＋x－1的零點(diǎn)為r，取x0＝0，則r的2次近似值為________15．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________16．?dāng)?shù)列滿足，，其前n項(xiàng)積為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且求A和B的大??；若M，N是邊AB上的點(diǎn)，，求的面積的最小值18．（12分）某廠有4臺大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)維修，都產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠在雇傭維修工人時(shí)，要保證在任何時(shí)刻多臺機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？19．（12分）已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)（1）求圓A的方程（2）當(dāng)時(shí)，求直線l方程20．（12分）設(shè)p：關(guān)于x的不等式有解，q：.（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得，所以.故選：C.2、C【解析】取中點(diǎn)，連接，證明平面，得證，然后證明平面，得兩兩垂直，以為棱把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由此計(jì)算可得【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，，，平面，所以平面，又平面，所以，D、E分別是SA、AB的中點(diǎn)，則，又，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，，是正三棱錐，因此，因此可以為棱把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由，得，所以所求外接球直徑為，半徑為，球體積為故選：C3、C【解析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，寫出切線方程，分別求得切線在兩坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，再由三角形面積公式求解【詳解】由，得，，又切線過點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，取，得，取，得的面積等于故選：C4、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即則，所以則故選：B5、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.6、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.7、D【解析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D8、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.9、D【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.10、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.11、D【解析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】解：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在中，，當(dāng)直線向下平移時(shí)，增大，因此把直線向上平移，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，故選：D12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、129【解析】依次寫出前6項(xiàng)，即可求得數(shù)列的前6項(xiàng)和.【詳解】數(shù)列中，，則，，，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為故答案為：12914、##【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)r的2次近似值的定義求解即可【詳解】由，得，取，，所以過點(diǎn)作曲線的切線的斜率為1，所以直線的方程為，其與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即，因?yàn)?，所以過點(diǎn)作曲線的切線的斜率為4，所以直線的方程為，其與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，故答案為：15、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去）故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.16、【解析】根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)的周期性，去求的值即可解決.【詳解】由，，可得，，，，，，由此可知數(shù)列的項(xiàng)具有周期性，且周期為4，第一周期內(nèi)的四項(xiàng)之積為1，所以數(shù)列的前2022項(xiàng)之積為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】利用正余弦定理化簡即求解A和B的大小利用正弦定理把CN、CM表示出來，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的面積的最小值【詳解】解：，由正弦定理得：，，，可得，即;,由由余弦定理可得：，，如圖所示:設(shè)，,在中由正弦定理,得,由可知,,所以:,同理,由于,故，此時(shí)故的面積的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的有界限求解最值范圍，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題18、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，由題意知，即可由二項(xiàng)分布求解；（2）設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時(shí)刻多臺機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計(jì)算3人，4人時(shí)的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為，4臺機(jī)器相當(dāng)于4次獨(dú)立試驗(yàn)設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設(shè)“在任何時(shí)刻多臺機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時(shí)刻多臺機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%當(dāng)該廠雇傭3名工人時(shí)，設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當(dāng)該廠雇傭4名工人時(shí)，4臺機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時(shí)刻多臺機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%時(shí)，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大19、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；（2）根據(jù)相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定直線方程【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓A半徑r，所以，所以圓A的方程為（2）設(shè)的中點(diǎn)為Q，則由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知，設(shè)動直線l方程為：或，顯然符合題意由到直線l距離為1知得所以或?yàn)樗笾本€方程【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題20、（1）（2）【解析】根據(jù)題意，解出p和q里面m的范圍即可求解﹒其中有解，則≥0﹒【小問1詳解】p為真命題時(shí)，，解得，所以m的取值范圍是；【小問2詳解】q為真命題時(shí)，即，解得，所以q為假命題時(shí)，或，由(1)知，p為假時(shí)，因?yàn)闉榧倜}，為真命題，所以p，q為一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，且“或”，解得；當(dāng)p假q真時(shí)，，解得；綜上：m的取值范圍是21、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當(dāng)時(shí)．函數(shù)有極大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數(shù)為減函數(shù)，有，故當(dāng)時(shí)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值來求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中，如果一階導(dǎo)數(shù)無法解決，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.22、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾，故說明假設(shè)錯(cuò)誤。從而證