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文檔簡介
云南省文山州硯山縣第二高級中學2025屆數學高三第一學期期末達標檢測試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個結論:①曲線有四條對稱軸;②曲線上的點到原點的最大距離為;③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為;④四葉草面積小于.其中,所有正確結論的序號是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④2.已知正項數列滿足:,設,當最小時,的值為()A. B. C. D.3.若將函數的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數的圖象,則下列說法正確的是()A.函數在上單調遞增 B.函數的周期是C.函數的圖象關于點對稱 D.函數在上最大值是14.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x5.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.6.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.7.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計算機輸出的數是()A. B. C. D.8.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.49.已知拋物線的焦點為,準線為,是上一點,是直線與拋物線的一個交點,若,則()A. B.3 C. D.210.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.611.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱,登泰山的路線有四條:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時,發(fā)現三人走的線路均不同,且均沒有走天外村汽車登山線路,三人向其他旅友進行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路;事實上,甲、乙、丙三人的陳述都只對一半,根據以上信息,可判斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路12.設點,P為曲線上動點,若點A,P間距離的最小值為,則實數t的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,則____________.14.已知隨機變量,且,則______15.已知為雙曲線:的左焦點,直線經過點,若點,關于直線對稱,則雙曲線的離心率為__________.16.函數在上的最小值和最大值分別是_____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,為的中點,點在線段上,且平面.(1)求證:;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.18.(12分)在中,.(1)求的值;(2)點為邊上的動點(不與點重合),設,求的取值范圍.19.(12分)已知函數,其中.(1)當時,求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.20.(12分)已知三點在拋物線上.(Ⅰ)當點的坐標為時,若直線過點,求此時直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當,且時,求面積的最小值.21.(12分)已知函數.(1)若曲線在處的切線為,試求實數,的值;(2)當時,若有兩個極值點,,且,,若不等式恒成立,試求實數m的取值范圍.22.(10分)某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從五所高校中任選2所.(1)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;(2)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選校,另在四校中再隨機選1所;而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛,因此他們每人在五所高校中隨機選2所.(i)求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率;(ii)記為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數,求隨機變量的分布列及數學期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數;②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值;③將面積轉化為的關系式,然后根據基本不等式求解出最大值;④根據滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系,從而判斷出面積是否小于.【詳解】①:當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;綜上可知:有四條對稱軸,故正確;②:因為,所以,所以,所以,取等號時,所以最大距離為,故錯誤;③:設任意一點,所以圍成的矩形面積為,因為,所以,所以,取等號時,所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;④:由②可知,所以四葉草包含在圓的內部,因為圓的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用,其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用,難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性,可通過替換方程中去分析證明.2、B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當且僅當時取得最小值,此時.故選:B【點睛】本題主要考查了數列中的最值問題,遞推公式的應用,基本不等式求最值,考查了學生的運算求解能力.3、A【解析】
根據三角函數伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增,正確;關于點對稱,錯誤;根據正弦型函數最小正周期的求解可知錯誤;根據正弦型函數在區(qū)間內值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當時,在上單調遞增在上單調遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當時,,關于點對稱,錯誤;當時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數的性質,涉及到三角函數的伸縮變換、正弦型函數周期性、單調性和對稱性、正弦型函數在一段區(qū)間內的值域的求解;關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式,通過正弦函數的圖象來判斷出所求函數的性質.4、A【解析】分析:根據離心率得a,c關系,進而得a,b關系,再根據雙曲線方程求漸近線方程,得結果.詳解:∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛:已知雙曲線方程x2a25、D【解析】
根據拋物線的定義,結合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設,則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.6、A【解析】
先根據已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算,意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.7、B【解析】
先明確該程序框圖的功能是計算兩個數的最大公約數,再利用輾轉相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算,中的最大公約數,所以,,,故當輸入,,則計算機輸出的數是57.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎題.8、A【解析】
由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設雙曲線的半個焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質,屬于基礎題9、D【解析】
根據拋物線的定義求得,由此求得的長.【詳解】過作,垂足為,設與軸的交點為.根據拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數形結合的數學思想方法,屬于基礎題.10、C【解析】
根據列方程,由此求得的值,進而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數量積的運算,考查向量模的求法,屬于基礎題.11、D【解析】
甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選:D【點睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點是找到三人中都提到的內容進行分類討論,屬于基礎題型.12、C【解析】
設,求,作為的函數,其最小值是6,利用導數知識求的最小值.【詳解】設,則,記,,易知是增函數,且的值域是,∴的唯一解,且時,,時,,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點睛】本題考查導數的應用,考查用導數求最值.解題時對和的關系的處理是解題關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據并集的定義計算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為:【點睛】本題考查集合的并集運算,屬于容易題.14、0.1【解析】
根據原則,可得,簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:隨機變量,則期望為所以故答案為:【點睛】本題考查正態(tài)分布的計算,掌握正態(tài)曲線的圖形以及計算,屬基礎題.15、【解析】
由點,關于直線對稱,得到直線的斜率,再根據直線過點,可求出直線方程,又,中點在直線上,代入直線的方程,化簡整理,即可求出結果.【詳解】因為為雙曲線:的左焦點,所以,又點,關于直線對稱,,所以可得直線的方程為,又,中點在直線上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因為,所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質,先由兩點對稱,求出直線斜率,再由焦點坐標求出直線方程,根據中點在直線上,即可求出結果,屬于常考題型.16、【解析】
求導,研究函數單調性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點睛】本題考查了導數在函數最值的求解中的應用,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
(1)如圖,連接,交于點,連接,,則為的中點,因為為的中點,所以,又,所以,從而,,,四點共面.因為平面,平面,平面平面,所以.又,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以(2)因為,為的中點,所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分別以,,的方向為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,因為,,所以,,,,所以,,.設平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個法向量為.設平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個法向量為,所以,所以平面與平面所成二面角的正弦值為.18、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數關系求得,再由求解即可;(2)在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:(1)在中,,所以,所以(2)由(1)可知,所以,在中,因為,所以,因為,所以,所以.【點睛】本題考查已知三角函數值求值,考查正弦定理的應用.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導,代入,求出在處的導數值及函數值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當時,,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當時,恒成立,此時函數在上單調遞減,∴函數無極值;②當時,令,解得,令,解得或,∴函數在上單調遞增,在,上單調遞減,∴;③當時,令,解得,令,解得或,∴函數在上單調遞增,在,上單調遞減,∴,綜上,函數的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導數求切線方程,考查利用導數研究函數的極值,考查分類討論的數學思想方法,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】
(Ⅰ)設出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標,,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面積的最小值.【詳解】解:(Ⅰ)設直線的方程為.聯立方程組,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨設的三個頂點中的兩個頂點在軸右側(包括軸),設,,,的斜率為,又,則,①因為,所以②由①②得,,(且)從而當且僅當時取“”號,從而,所以面積的最小值為.【點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)根據題意,求得的值,根據切點在切線上以及斜率等于,構造方程組求得的值;(2)函數有兩個極值點,等價
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