福建省永春一中、培元、季延、石光中學(xué)四校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

福建省永春一中、培元、季延、石光中學(xué)四校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.42．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.3．點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則（）A.55 B.65C.15 D.605．以下四個(gè)命題中，正確的是（）A.若，則三點(diǎn)共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底6．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項(xiàng)和為，滿足，且是與的等差中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C D.7．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為300的樣本，則應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）A.20 B.40C.60 D.808．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A B.C. D.9．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）10．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C. D.812．已知點(diǎn)，分別在雙曲線的左右兩支上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，的左焦點(diǎn)為，直線與的左支相交于另一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__14．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，，則__________15．在數(shù)列中，，，則數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為_(kāi)_________16．點(diǎn)P(8，1)平分橢圓x2+4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2的周長(zhǎng)為6，離心率等于.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(4，0)的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求直線l的方程.18．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值19．（12分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)（1）求直線與直線所成角余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)，使MN//平面PAB？說(shuō)明理由21．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）求及；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知直線l過(guò)點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.2、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結(jié)合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.3、A【解析】由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最值【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則又因?yàn)?，，所以，則故選：A4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，.故選:B5、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確.故選：D.6、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故B錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.7、C【解析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計(jì)算作答.【詳解】依題意，三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，從1500人中用分層隨機(jī)抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.故選：C8、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.9、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A10、A【解析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理為故選：A11、B【解析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B12、D【解析】根據(jù)雙曲線的定義及，，應(yīng)用勾股定理，可得關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接,,,如圖：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性及可知，四邊形為矩形.設(shè)因?yàn)?，所以，又，所以?在和中，，①，②由②化簡(jiǎn)可得，③把③代入①可得：，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，勾股定理，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】取點(diǎn)，可得，從而，，從而可求解【詳解】解：由圓，得圓心，半徑，取點(diǎn)A（3，0），則，又，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)直線時(shí)取等號(hào)故答案為：14、【解析】拋物線焦點(diǎn)為,由于直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標(biāo)為,橫坐標(biāo)為.不妨設(shè),故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡(jiǎn)得,解得,故.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過(guò)程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的定義:到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).最后求得面積比.15、【解析】用累加法求出通項(xiàng)，再由通項(xiàng)表達(dá)式確定最大項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為故答案為:16、【解析】結(jié)合點(diǎn)差法求得正確答案.【詳解】橢圓方程可化為，設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，所以弦所在直線方程為，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）由條件得，再結(jié)合，可求得橢圓方程；（2）由題意設(shè)直線l：x=my+4，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，整理后利用根與系的關(guān)系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，從而可列出關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出的值，即可得到直線的方程【詳解】（1）由條件知，解得，則故橢圓的方程為（2）顯然直線l的斜率存在，且斜率不為0，設(shè)直線l：x=my+4交橢圓C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，當(dāng)=(24m)2-4(3m2+4)×36>0時(shí)，有，，由條件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，從而有(my1+4)(my2+4)+y1y2=0，(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0，，解得，故且滿足>0從而直線l方程為或18、（1）；詳見(jiàn)解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條件可依次求各項(xiàng)，即得；猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即得；（2）設(shè)，由題可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件即求.【小問(wèn)1詳解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，等式也成立，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，，即，∴，又，，，∴，，，，，，∴，，，∴，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，∴，解得，由，∴，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問(wèn)的關(guān)鍵是由條件猜想，然后數(shù)學(xué)歸納法證明，第二問(wèn)求出，，即得.19、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法由求解；（1）建立空間直角坐標(biāo)系，先取得平面的一個(gè)法向量，，，然后由求解【小問(wèn)1詳解】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，所以，2，，，2，，則直線與直線所成角的余弦值為；【小問(wèn)2詳解】，2，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，則，取，得，1，，又，點(diǎn)到平面的距離20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）為中點(diǎn)，連接，由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論；（2）取中點(diǎn)N，連接，，根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性【小問(wèn)1詳解】如下圖，若為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，所以且，又BC//平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，而面，面，則面.小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)N，連接，，∵E，N分別為，的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面，線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，∴平面平面，又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，∴平面PAB，∴線段存在點(diǎn)N，使得MN∥平面21、（1）；（2）【解析】(1)先根據(jù)已知求出，再求及.(2)先根據(jù)已知得到，再利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，所以，解得，所以?=.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和求法，考查分組求和和等比數(shù)列的求和公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)有一類(lèi)數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見(jiàn)特殊數(shù)列，則可以將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.22、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【