2023-2024學年廣東省廣州市天河區(qū)學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024學年學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，向量，，若，則（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗向量，，由，得，解得.故選：A.2.已知一個矩形較長邊長為2用斜二測畫法畫出矩形的直觀圖是菱形，則直觀圖的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，是矩形的直觀圖，則，，，所以的高為，則直觀圖的面積為.故選：A.3.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，與函數(shù)的圖象重合，則的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗將的圖象向左平移個單位長度，得，其圖象與的圖象重合，則，解得，值不可能為1，3，4，可以為2.故選：B.4.已知兩條不同的直線，及三個不同的平面，，則下列推理正確的是（）A.， B.C.，， D.，〖答案〗C〖解析〗對于A，由，得，則在內(nèi)存在直線垂直于直線，又，于是可以在內(nèi)，A錯誤；對于B，，則與可以平行，也可以相交，B錯誤；對于C，由于，則存在過直線的平面分別與相交，令交線分別為，于是，，則，又，，因此，所以，C正確；對于D，，，則或，D錯誤.故選：C.5.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，事件“兩枚硬幣都正面朝上”，事件“至少一枚硬幣反面朝上”則（）A.與獨立 B.與互斥C. D.〖答案〗D〖解析〗樣本空間{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，事件{(正，正)，(正，反)}，事件{(正，反)，(反，反)}，事件{(正，正)}，事件{(正，反)，(反，正)，(反，反)}，對于A，，而，，與不獨立，A錯誤；對于B，事件可以同時發(fā)生，與不互斥，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，{(正，正)，(正，反)，(反，反)}，，D正確.故選：D.6.已知樣本數(shù)據(jù)都為正數(shù)，其方差，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗令樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，而，因此，又樣本數(shù)據(jù)均為正數(shù)，所以.故選：C.7.的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，若三角形有唯一解，則整數(shù)構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理，得，則，由于有唯一解，則或，解得或，所以整數(shù)構(gòu)成的集合為.故選：C.8.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在秒時相對于平衡位置的高度厘米由關(guān)系式確定，其中，，.小球從最低點出發(fā)，經(jīng)過2秒后，第一次回到最低點，則下列說法中正確的是（）A.B.秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為2C.當時，若小球有且只有三次到達最高點，則D.當時，若時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，則〖答案〗B〖解析〗由題可知小球運動的周期，又，所以，解得，當時，，即，，所以，則，故A錯誤；因為，，所以秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為，故B正確；若，則，又當時，小球有且只有三次到達最高點，所以，解得，即，故C錯誤；因為，令，，則，，滿足且時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，此時，故D錯誤.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知一組數(shù)據(jù)6，13，14，15，18，13，則特征量為13的是（）A.極差 B.眾數(shù) C.中位數(shù) D.第40百分位數(shù)〖答案〗BD〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列為、、、、、，所以極差為，眾數(shù)為，中位數(shù)為，故A、C錯誤，B正確；又，所以第40百分位數(shù)為，故D正確.故選：BD.10.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）A.的虛部為B.若是復(fù)數(shù)，滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限C.若、是非零復(fù)數(shù)，且，則D.若、是非零復(fù)數(shù)，且，則〖答案〗AD〖解析〗對于A，依題意，，的虛部為，A正確；對于B，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第二象限，B錯誤；對于C，取，，滿足，而，，C錯誤；對于D，由，得，而，則，D正確.故選：AD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，則下列說法中正確的是（）A.若點為的中點，則平面B.連接，則直線與平面成角正弦值為C.若點為線段上的動點（包含端點），則的最小值為D.若點在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界），且，則點的軌跡長度為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，四邊形是正方體的對角面，則四邊形是矩形，，由點、分別為、的中點，得，平面，平面，因此平面，A正確；對于B，連接，則，由平面，平面，得，又平面，則平面，過作交于，連接，于是平面，是直線與平面所成的角，，，，B錯誤；對于C，把正方形與正方形置于同一平面內(nèi)，且在直線兩側(cè)，連接，則的最小值為，C正確；對于D，延長與的延長線交于，由，得為平行四邊形，，取中點，連接交于，連接，由，得四邊形是平行四邊形，，為的中點，由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，則，同理，因此，而，平面，于是平面，又，則平面，又平面，因此點的軌跡是平面與正方形相交所得線段，而，所以點的軌跡長度為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的一個根為，則______.〖答案〗〖解析〗在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的一個根為，所以，則.故〖答案〗為：.13.在中，已知，則向量在向量上的投影向量為______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知一個圓臺的上、下底面直徑分別為2、8，母線長為6，則在圓臺內(nèi)部放置半徑最大的球的表面積為______.〖答案〗〖解析〗圓臺軸截面等腰梯形的兩腰延長線交于點，等腰即為圓臺母線延長線交點為頂點，圓臺下底面為底的圓錐的軸截面，由，而，解得，則，即為正三角形，正的高為，正的高為，因此等腰梯形的高為，正的內(nèi)切圓半徑，顯然，因此等腰梯形內(nèi)的最大圓為正的內(nèi)切圓，此圓即為圓臺內(nèi)部放置的半徑最大的球被平面所截的大圓，則在圓臺內(nèi)部放置半徑最大的球的半徑為，表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某企業(yè)進入中學參與學校舉辦的模擬招聘會，設(shè)置了筆試、面試兩個環(huán)節(jié)，先筆試后面試，筆試通過了才可以進入面試，面試通過后即可錄用，李明參加該企業(yè)的模擬招聘.筆試關(guān)：有4道題，應(yīng)聘者隨機從中選擇2道，兩道題均答對即可通過筆試，否則淘汰不予錄用.已知李明能答對其中的3道題；面試關(guān)：有2道題，面試者答對第一道題，則面試通過被企業(yè)錄用，否則就繼續(xù)答第二道題，答對第二道題則面試通過被企業(yè)錄用，否則淘汰不予錄用.已知李明答對每道面試題的概率都是，兩道題能否答對相互獨立.（1）李明筆試關(guān)中能答對的3道題記為，，，不能答對的題記為，請寫出李明參加筆試關(guān)所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間，并求出李明通過筆試關(guān)的概率；（2）求李明被錄用的概率.解：（1）樣本空間，有6個樣本點，李明通過筆試關(guān)的事件，共3個樣本點，所以李明通過筆試關(guān)的概率.（2）依題意，李明通過面試關(guān)的事件為，則，李明被錄用的事件為，，所以李明被錄用的概率為.16.已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，為線段的中點，且，求的面積.解：（1）因為，且，則，即，又因為，則，因為，所以.（2）因為為線段的中點，所以，則，即，解得或(舍)，因為，且，則，所以.17.為推動新時代中國特色社會主義思想深入人心，促進全社會形成愛讀書、讀好書、善讀書的新風尚，培育有堅定理想信念、愛黨愛國、堪當民族復(fù)興大任的有為青年，某學校舉辦了讀書節(jié)活動.現(xiàn)從該校的2000名學生中發(fā)放調(diào)查問卷，隨機調(diào)查了100名學生一周的課外閱讀時間，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照，，…，組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單位：分鐘，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.（1）求的值，若每周課外閱讀時間60分鐘以上（含60分鐘）視為達標，試估計該校達標的人數(shù)；（2）估計該校學生每周課外閱讀的平均時間；（3）若樣本數(shù)據(jù)在與內(nèi)的方差分別為，，計樣本數(shù)據(jù)在內(nèi)的方差.解：（1）由頻率分布直方圖，得，所以；閱讀時間達標的頻率為，估計該校閱讀時間達標的人數(shù)為.（2）一周的課外閱讀時間在內(nèi)的頻率依次為：，，所以估計該校學生每周課外閱讀的平均時間為68分鐘.（3）樣本數(shù)據(jù)在與內(nèi)的平均數(shù)分別為，則樣本數(shù)據(jù)在內(nèi)的平均數(shù)為，所以樣本數(shù)據(jù)在內(nèi)的方差.18.如圖，已知三棱臺，底面是以為直角頂點的等腰直角三角形，體積為，平面平面，且.（1）證明：平面；（2）求點到面的距離；（3）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.解：（1）在三棱臺中，平面平面，，而平面平面，平面，所以平面.（2）由棱臺性質(zhì)知：延長交于一點，由，得，點到平面的距離為到平面距離的2倍，則，于是，由平面，得為點到平面的距離，又，則是的中點，，即為正三角形，為正三角形，設(shè)，則，，解得，，由平面，得，，，設(shè)點到平面的距離為，由，得，解得：.即點到平面的距離為.（3）由平面，平面，得平面平面，取中點，連接，在正中，，而平面平面，則平面，而平面，則，又平面，則平面平面，作于，平面平面，則平面，，而平面，則，作于，連接，，平面，則平面，而平面，于是，即二面角的平面角，設(shè)，由（2）知：，，由，得，，由，得，若存在使得二面角的大小為，則，解得，，所以存在滿足題意的點，.19.如圖，已知，，且點是的重心.過點的直線與線段、分別交于點、.設(shè)，（，）.（1）求的值，并判斷是否為定值，若是則求出定值，若不是請說明理由；（2）若的周長為，的周長為.設(shè)，記，求的取值范圍.解：（1）已知，，所以，所以，因為，，則，，因為點是的重心，所以，因為在直線上，所以.（2），所以，設(shè)，由（1）得，所以所以，因為，，又因為，則，因為，所以，因為，所以當時，的最小值為：，當或時，的最大值為：，所以，因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，又因為在上也是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，所以的取值范圍為.廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024學年學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，向量，，若，則（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗向量，，由，得，解得.故選：A.2.已知一個矩形較長邊長為2用斜二測畫法畫出矩形的直觀圖是菱形，則直觀圖的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，是矩形的直觀圖，則，，，所以的高為，則直觀圖的面積為.故選：A.3.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，與函數(shù)的圖象重合，則的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗將的圖象向左平移個單位長度，得，其圖象與的圖象重合，則，解得，值不可能為1，3，4，可以為2.故選：B.4.已知兩條不同的直線，及三個不同的平面，，則下列推理正確的是（）A.， B.C.，， D.，〖答案〗C〖解析〗對于A，由，得，則在內(nèi)存在直線垂直于直線，又，于是可以在內(nèi)，A錯誤；對于B，，則與可以平行，也可以相交，B錯誤；對于C，由于，則存在過直線的平面分別與相交，令交線分別為，于是，，則，又，，因此，所以，C正確；對于D，，，則或，D錯誤.故選：C.5.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，事件“兩枚硬幣都正面朝上”，事件“至少一枚硬幣反面朝上”則（）A.與獨立 B.與互斥C. D.〖答案〗D〖解析〗樣本空間{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，事件{(正，正)，(正，反)}，事件{(正，反)，(反，反)}，事件{(正，正)}，事件{(正，反)，(反，正)，(反，反)}，對于A，，而，，與不獨立，A錯誤；對于B，事件可以同時發(fā)生，與不互斥，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，{(正，正)，(正，反)，(反，反)}，，D正確.故選：D.6.已知樣本數(shù)據(jù)都為正數(shù)，其方差，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗令樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，而，因此，又樣本數(shù)據(jù)均為正數(shù)，所以.故選：C.7.的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，若三角形有唯一解，則整數(shù)構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理，得，則，由于有唯一解，則或，解得或，所以整數(shù)構(gòu)成的集合為.故選：C.8.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在秒時相對于平衡位置的高度厘米由關(guān)系式確定，其中，，.小球從最低點出發(fā)，經(jīng)過2秒后，第一次回到最低點，則下列說法中正確的是（）A.B.秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為2C.當時，若小球有且只有三次到達最高點，則D.當時，若時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，則〖答案〗B〖解析〗由題可知小球運動的周期，又，所以，解得，當時，，即，，所以，則，故A錯誤；因為，，所以秒與秒時小球偏離于平衡位置的距離之比為，故B正確；若，則，又當時，小球有且只有三次到達最高點，所以，解得，即，故C錯誤；因為，令，，則，，滿足且時刻小球偏離于平衡位置的距離相同，此時，故D錯誤.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知一組數(shù)據(jù)6，13，14，15，18，13，則特征量為13的是（）A.極差 B.眾數(shù) C.中位數(shù) D.第40百分位數(shù)〖答案〗BD〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列為、、、、、，所以極差為，眾數(shù)為，中位數(shù)為，故A、C錯誤，B正確；又，所以第40百分位數(shù)為，故D正確.故選：BD.10.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）A.的虛部為B.若是復(fù)數(shù)，滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限C.若、是非零復(fù)數(shù)，且，則D.若、是非零復(fù)數(shù)，且，則〖答案〗AD〖解析〗對于A，依題意，，的虛部為，A正確；對于B，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第二象限，B錯誤；對于C，取，，滿足，而，，C錯誤；對于D，由，得，而，則，D正確.故選：AD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，則下列說法中正確的是（）A.若點為的中點，則平面B.連接，則直線與平面成角正弦值為C.若點為線段上的動點（包含端點），則的最小值為D.若點在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界），且，則點的軌跡長度為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，四邊形是正方體的對角面，則四邊形是矩形，，由點、分別為、的中點，得，平面，平面，因此平面，A正確；對于B，連接，則，由平面，平面，得，又平面，則平面，過作交于，連接，于是平面，是直線與平面所成的角，，，，B錯誤；對于C，把正方形與正方形置于同一平面內(nèi)，且在直線兩側(cè)，連接，則的最小值為，C正確；對于D，延長與的延長線交于，由，得為平行四邊形，，取中點，連接交于，連接，由，得四邊形是平行四邊形，，為的中點，由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，則，同理，因此，而，平面，于是平面，又，則平面，又平面，因此點的軌跡是平面與正方形相交所得線段，而，所以點的軌跡長度為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的一個根為，則______.〖答案〗〖解析〗在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的一個根為，所以，則.故〖答案〗為：.13.在中，已知，則向量在向量上的投影向量為______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知一個圓臺的上、下底面直徑分別為2、8，母線長為6，則在圓臺內(nèi)部放置半徑最大的球的表面積為______.〖答案〗〖解析〗圓臺軸截面等腰梯形的兩腰延長線交于點，等腰即為圓臺母線延長線交點為頂點，圓臺下底面為底的圓錐的軸截面，由，而，解得，則，即為正三角形，正的高為，正的高為，因此等腰梯形的高為，正的內(nèi)切圓半徑，顯然，因此等腰梯形內(nèi)的最大圓為正的內(nèi)切圓，此圓即為圓臺內(nèi)部放置的半徑最大的球被平面所截的大圓，則在圓臺內(nèi)部放置半徑最大的球的半徑為，表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某企業(yè)進入中學參與學校舉辦的模擬招聘會，設(shè)置了筆試、面試兩個環(huán)節(jié)，先筆試后面試，筆試通過了才可以進入面試，面試通過后即可錄用，李明參加該企業(yè)的模擬招聘.筆試關(guān)：有4道題，應(yīng)聘者隨機從中選擇2道，兩道題均答對即可通過筆試，否則淘汰不予錄用.已知李明能答對其中的3道題；面試關(guān)：有2道題，面試者答對第一道題，則面試通過被企業(yè)錄用，否則就繼續(xù)答第二道題，答對第二道題則面試通過被企業(yè)錄用，否則淘汰不予錄用.已知李明答對每道面試題的概率都是，兩道題能否答對相互獨立.（1）李明筆試關(guān)中能答對的3道題記為，，，不能答對的題記為，請寫出李明參加筆試關(guān)所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間，并求出李明通過筆試關(guān)的概率；（2）求李明被錄用的概率.解：（1）樣本空間，有6個樣本點，李明通過筆試關(guān)的事件，共3個樣本點，所以李明通過筆試關(guān)的概率.（2）依題意，李明通過面試關(guān)的事件為，則，李明被錄用的事件為，，所以李明被錄用的概率為.16.已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，為線段的中點，且，求的面積.解：（1）因為，且，則，即，又因為，則，因為，所以.（2）因為為線段的中點，所以，則，即，解得或(舍)，因為，且，則，所以.17.為推動新時代中國特色社會主義思想深入人心，促進全社會形成愛讀書、讀好書、善讀書的新風尚，培育有堅定理想信念、愛黨愛國、堪當民族復(fù)興大任的有為青年，某學校舉辦了讀書節(jié)活動.現(xiàn)從該校的2000名學生中發(fā)放調(diào)查問卷，隨機調(diào)查了100名學生一周的課外閱讀時間，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照，，…，組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單位：分鐘，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.（1）求的值，若每周課外閱讀時間60分鐘以上（含60分鐘）視為達標，試估計該校達標的人數(shù)；（2）估