重難點03 新定義型問題（解析版）-命題趨勢與限時檢測AB卷

重難點03新定義類型問題新定義類問題是今年倆新出現(xiàn)的一類問題，也逐漸在成為中考數(shù)學(xué)的一個熱點考題，又因為其出題形式比較新穎，通常不會單獨考察，而是要結(jié)合初中數(shù)學(xué)中某個知識點進行命題，進而考察學(xué)生對這個結(jié)合知識點的掌握情況和遷移能力，所以難度也在逐漸上升。題目類型上，多數(shù)為選擇題，個別為填空題，但是，當(dāng)新定義問題出成解答題時，一般和函數(shù)、幾何綜合等結(jié)合，難度就會變的很難，需要考生綜合考慮的點比較多，考生在復(fù)習(xí)這類問題時，一定要注意讀懂“新定義”中蘊含的意義，以及可能具有的性質(zhì)等。讀懂題目，理解定義，確定結(jié)合考點如：定義新運算時，常常會給一個新的“計算公式”，審題中，一定要理解對公式，還有注意公式伴隨的計算是什么類型的，如是一元一次方程，還是分式方程等。首先確定與之結(jié)合的考點類型。多注意新定義問題中與之結(jié)合的初中考點的應(yīng)用當(dāng)確定新定義結(jié)合的考點之后，就需要對結(jié)合的考點的性質(zhì)做一個調(diào)取，再根據(jù)題目中的要求，選擇結(jié)合考點不同的性質(zhì)來做題。熟練掌握和運用初中數(shù)學(xué)中常用的思想方法當(dāng)新定義類問題比較綜合時，可能不是簡單的讀懂題目就可以完成解題的，題目綜合性較強時，需要同步應(yīng)用如：分類討論、整體思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想等來分析問題。新定義問題?？疾鞜狳c有：定義新運算，定義初高中知識點銜接“新知識”，定義新概念，新定義與函數(shù)結(jié)合，新定義與幾何圖形結(jié)合，新定義綜合問題等A卷（建議用時：50分鐘）1．（2021?永州·中考真題）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為（）A．5 B．2 C．1 D．0【分析】根據(jù)題意，按照題目的運算法則計算即可．【解答】解：∵101＝10，∴l(xiāng)g10＝1，∴原式＝（lg2）2+lg2?lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2×lg10+lg5＝lg2+lg5＝lg10＝1．故選：C．2．（2021?達(dá)州·中考真題）生活中常用的十進制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用0~F來表示0~15，滿十六進一，它與十進制對應(yīng)的數(shù)如表：十進制012…891011121314151617…十六進制012…89ABCDEF1011…例：十六進制2B對應(yīng)十進制的數(shù)為2×16+11＝43，10C對應(yīng)十進制的數(shù)為1×16×16+0×16+12＝268，那么十六進制中14E對應(yīng)十進制的數(shù)為（）A．28 B．62 C．238 D．334【分析】根據(jù)題干十六進制與十進制的運算方法求解．【解答】解：由題意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故選：D．3．（2021?南京·中考真題）一般地，如果xn＝a（n為正整數(shù)，且n＞1），那么x叫做a的n次方根．下列結(jié)論中正確的是（）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2 C．當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小 D．當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而增大【分析】根據(jù)n次方根的定義判定即可．【解答】解：A、∵（±2）4＝16，∴16的4次方根是±2，故A不正確；B、32的5次方根是2，故B不正確；C、設(shè)x＝，y＝，則x15＝25＝32，y15＝23＝8，∵x15＞y15且x＞1，y＞1，∴x＞y，∴當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小，故C選項正確；D、當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小，故D不選項正確；故選：C．4．（2021?呼和浩特·中考真題）若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是．【分析】根據(jù)“伴生數(shù)列”的定義取n＝4，依次求出x0，x1，......x5，再求出對應(yīng)的yn即可．【解答】解：x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，∵x1≠x3，∴y2＝1，∵x2＝x4，∴y3＝0，∵x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生數(shù)列”B是：0，1，0，1，故答案為0，1，0，1．5．（2021?嘉峪關(guān)·中考真題）對于任意的有理數(shù)a，b，如果滿足+＝，那么我們稱這一對數(shù)a，b為“相隨數(shù)對”，記為（a，b）．若（m，n）是“相隨數(shù)對”，則3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【分析】根據(jù)（m，n）是“相隨數(shù)對”得出9m+4n＝0，再將原式化成9m+4n﹣2，最后整體代入求值即可．【解答】解：∵（m，n）是“相隨數(shù)對”，∴+＝，∴＝，即9m+4n＝0，∴3m+2[3m+（2n﹣1）]＝3m+2[3m+2n﹣1]＝3m+6m+4n﹣2＝9m+4n﹣2＝0﹣2＝﹣2，故選：A．6．（2021?樂山·中考真題）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，如圖1所示.19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（）A．3 B． C．2 D．【分析】分別求出陰影部分平行四邊形，三角形的面積可得結(jié)論．【解答】解：由題意，如圖2中，陰影部分的平行四邊形的面積＝2×1＝2，陰影部分的三角形的面積＝×2×1＝1，∴陰影部分的面積＝2+1＝3，故選：A．7．（2021?包頭·中考真題）定義新運算“?”，規(guī)定：a?b＝a﹣2b．若關(guān)于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【分析】根據(jù)定義新運算的法則得出不等式，解不等式；根據(jù)解集列方程即可．【解答】解∵a?b＝a﹣2b，∴x?m＝x﹣2m．∵x?m＞3，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵關(guān)于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，∴2m+3＝﹣1，∴m＝﹣2．故選：B．8．（2021?遵義·中考真題）數(shù)經(jīng)歷了從自然數(shù)到有理數(shù)，到實數(shù)，再到復(fù)數(shù)的發(fā)展過程，數(shù)學(xué)中把形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，用z＝a+bi表示，任何一個復(fù)數(shù)z＝a+bi在平面直角坐標(biāo)系中都可以用有序數(shù)對Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示為Z（1，2），則z＝2﹣i可表示為（）A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．Z（﹣1，2）【分析】根據(jù)題中的新定義解答即可．【解答】解：由題意，得z＝2﹣i可表示為Z（2，﹣1）．故選：B．9．（2021?杭州·中考真題）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P．以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【分析】根據(jù)題干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，則具有性質(zhì)P，若無解，則不具有性質(zhì)P．【解答】解：A．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P，符合題意；B．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；C．令y1+y2＝0，則﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；D．令y1+y2＝0，則﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；故選：A．10．（2021?岳陽·中考真題）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是（）A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1【分析】畫出圖象，從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運動時，當(dāng)跟正方形有交點時，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．【解答】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m的頂點（m，﹣m）在直線y＝﹣x上運動，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），∴B（2，2），從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運動時，若拋物線與正方形有交點，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，∴只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過點A（0，2）時，m＝2或m＝﹣1；當(dāng)互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過點B（2，2）時，m＝或m＝．∴互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是，﹣1．故選：D．11．（2021?濟南·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（m，n）和點P′（m，n′），若滿足m≥0時，n′＝n﹣4；m＜0時，n′＝﹣n，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點．例如：點P1（2，5）的限變點是P1′（2，1），點P2（﹣2，3）的限變點是P2′（﹣2，﹣3）．若點P（m，n）在二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（）A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3時，得到﹣2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0時，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是﹣2≤n′≤3．【解答】解：由題意可知，當(dāng)m≥0時，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，∴當(dāng)0≤m≤3時，﹣2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，∴當(dāng)﹣1≤m＜0時，﹣2＜n′≤3，綜上，當(dāng)﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是﹣2≤n′≤3，故選：D．12．（2021?廣東·中考真題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（）A． B．4 C．2 D．5【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，當(dāng)b＝3時，S有最大值為＝2．故選：C．13．（2021?重慶·中考真題）如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10，則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，并把數(shù)M分解成M＝A×B的過程，稱為“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10，∴609是“合和數(shù)”．又如∵234＝18×13，18和13的十位數(shù)字相同，但個位數(shù)字之和不等于10，∴234不是“合和數(shù)”．（1）判斷168，621是否是“合和數(shù)”？并說明理由；（2）把一個四位“合和數(shù)”M進行“合分解”，即M＝A×B．A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為P（M）；A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為Q（M）．令G（M）＝，當(dāng)G（M）能被4整除時，求出所有滿足條件的M．【分析】（1）根據(jù)“合和數(shù)”的定義直接判定即可；（2）設(shè)A的十位數(shù)字為m，個位數(shù)字為n，則A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，得出P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|，當(dāng)G（M）能被4整除時，設(shè)值為4k，對m+5＝8或12進行討論．【解答】解：（1）∵168＝12×14，∵12和14十位數(shù)字相同，但個位數(shù)字2+4≠10，∴168不是“合和數(shù)”．∵621＝23×27，23和27十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字3+7＝10，∴621是“合和數(shù)”．（2）設(shè)A的十位數(shù)字為m，個位數(shù)字為n，∵M的個位數(shù)字不為0，且M是一個四位“和合數(shù)”，∴3≤m≤9，1≤n≤9，則A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整數(shù)）．∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整數(shù)，∴m+5＝8或m+5＝12，①當(dāng)m+5＝8時，或，∴當(dāng)m＝3時，n＝6或4，當(dāng)m＝3時，n＝7或3，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝36×34＝1224或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝37×33＝1221，②當(dāng)m+5＝12時，或，∴當(dāng)m＝7時，n＝6或4，當(dāng)m＝7時，n＝8或2，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝76×74＝5624或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝78×72＝5616．綜上，滿足條件的M有：1224，1221，5624，5616．14．（2021?長沙·中考真題）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“T函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”．根據(jù)該約定，完成下列各題．（1）若點A（1，r）與點B（s，4）是關(guān)于x的“T函數(shù)”y＝的圖象上的一對“T點”，則r＝，s＝，t＝（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）；（2）關(guān)于x的函數(shù)y＝kx+p（k，p是常數(shù)）是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對“T點”如果不是，請說明理由；（3）若關(guān)于x的“T函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點O，且與直線l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常數(shù)）交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，當(dāng)x1，x2滿足（1﹣x1）﹣1+x2＝1時，直線l是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標(biāo)；否則，請說明理由．【分析】（1）由A，B關(guān)于y軸對稱求出r，s，由“T函數(shù)”的定義求出t；（2）分k＝0和k≠0兩種情況考慮即可；（3）先根據(jù)過原點得出c＝0，再由“T函數(shù)”得出b的值，確定二次函數(shù)解析式后，和直線聯(lián)立求出交點的橫坐標(biāo)，寫出l的解析式，確定經(jīng)過的定點即可．【解答】解：（1）∵A，B關(guān)于y軸對稱，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐標(biāo)為（1，4），把A（1，4）代入是關(guān)于x的“T函數(shù)”中，得：t＝4，故答案為r＝4，s＝﹣1，t＝4；（2）當(dāng)k＝0時，有y＝p，此時存在關(guān)于y軸對稱的點，∴y＝kx+p是“T函數(shù)”，且有無數(shù)對“T”點，當(dāng)k≠0時，不存在關(guān)于y軸對稱的點，∴y＝kx+p不是“T函數(shù)”；（3）∵y＝ax2+bx+c過原點，∴c＝0，∵y＝ax2+bx+c是“T函數(shù)”，∴b＝0，∴y＝ax2，聯(lián)立直線l和拋物線得：，即：ax2﹣mx﹣n＝0，，，又∵，化簡得：x1+x2＝x1x2，∴，即m＝﹣n，∴y＝mx+n＝mx﹣m，當(dāng)x＝1時，y＝0，∴直線l必過定點（1，0）．15．（2021?北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分別是B，C的對應(yīng)點），則稱線段BC是⊙O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；（2）△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及點A到圓上一點距離的范圍，結(jié)合圖形判斷，即可求出答案．（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，“關(guān)聯(lián)線段”的定義以及等邊三角形的性質(zhì)，求出B′C′的位置，從而求出t的值．（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及“關(guān)聯(lián)線段”的定義，可知四邊形AB′OC′的各邊長，利用四邊形的不穩(wěn)定性，畫出OA最小和最大時的圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出答案．【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，由圖可知點A到圓上一點的距離d的范圍為﹣1≤d≤+1，∵AC1＝3＞d，∴點C1′不可能在圓上，∴B1C1不是⊙O的以A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，∵AC2＝1，AB2＝，∴C2′（0，1），B2′（1，0），∴B2C2是⊙O的以A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，∵AC3＝2，AB3＝，當(dāng)B3′在圓上時，B3′（1，0）或（0，﹣1），由圖可知此時C3′不在圓上，∴B3C3不是⊙O的以A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．故答案為：B2C2．（2）∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AB′C′也是邊長為1的等邊三角形，∵A（0，t），∴B′C′⊥y軸，且B′C′＝1，∴AO為B′C′邊上的高的2倍，且此高的長為，∴t＝或﹣．（3）OA的最小值為1時，此時BC的長為，OA的最大值為2，此時BC的長為．理由：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“關(guān)聯(lián)線段”的定義，可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如圖1，利用四邊形的不穩(wěn)定性可知，當(dāng)A，O，C′在同一直線上時，OA最小，最小值為1，如圖2，此時OA＝OB′＝OC′，∴∠AB′C＝90°，∴B′C′＝＝＝．當(dāng)A，B′，O在同一直線上時，OA最大，如圖3，此時OA＝2，過點A作AE⊥OC′于E，過點C′作C′F⊥OA于F．∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，∴OE＝EC′＝，∴AE＝＝＝，∵S△AOC′＝?AO?C′F＝?OC′?AE，∴C′F＝，∴OF＝＝＝，∴FB′＝OB′﹣OF＝，∴B′C′＝＝＝．綜上OA的最小值為1，此時BC的長為，OA的最大值為2，此時BC的長為．B卷（建議用時：50分鐘）1．（2021?日照·中考真題）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對于任意一個小于7×1011的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對任意正整數(shù)m，按照上述規(guī)則，恰好實施5次運算結(jié)果為1的m所有可能取值的個數(shù)為（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】利用第5次運算結(jié)果為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項計算即可求出m的所有可能的取值．【解答】解：如果實施5次運算結(jié)果為1，則變換中的第6項一定是1，則變換中的第5項一定是2，則變換中的第4項一定是4，則變換中的第3項可能是1，也可能是8．此處第3項若是1，則計算結(jié)束，所以1不符合條件，第三項只能是8．則變換中的第2項只能是16．第1項是32或5，則m的所有可能取值為32或5，一共2個，故選：D．2．（2021?江西·中考真題）如圖在我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角，請你根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補全表第四行空缺的數(shù)字是．【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)的變化特點，可以發(fā)現(xiàn)：每一行中間的數(shù)字都等于這個數(shù)字上一行左上角和右上角的數(shù)字之和，然后即可寫出第四行空缺的數(shù)字．【解答】解：由表可知，每一行中間的數(shù)字都等于這個數(shù)字上一行左上角和右上角的數(shù)字之和，故第四行空缺的數(shù)字是1+2＝3，故答案為：3．4．（2021?常德·中考真題）閱讀理解：如果一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)．依次正確的是（）A．②④ B．①②④ C．①② D．①④【分析】根據(jù)廣義勾股數(shù)的定義進行判斷即可．【解答】解：①∵7不能表示為兩個正整數(shù)的平方和，∴7不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論正確；②∵13＝22+32，∴13是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確；③兩個廣義勾股數(shù)的和不一定是廣義勾股數(shù)，如5和10是廣義勾股數(shù)，但是它們的和不是廣義勾股數(shù)，故③結(jié)論錯誤；④設(shè)，，則＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd時，兩個廣義勾股數(shù)的積不是廣義勾股數(shù)，如2和2都是廣義勾股數(shù)，但2×2＝4，4不是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論錯誤，∴依次正確的是①②．故選：C．5．（2021?上海·中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)有一個正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點P，OP＝2，當(dāng)正方形繞著點O旋轉(zhuǎn)時，則點P到正方形的最短距離d的取值范圍為．【分析】由題意以及正方形的性質(zhì)得OP過正方形ABCD各邊的中點時，d最大，OP過正方形ABCD的頂點時，d最小，分別求出d的值即可得出答案．【解答】解：如圖：設(shè)AB的中點是E，OP過點E時，點O與邊AB上所有點的連線中，OE最小，此時d＝PE最大，OP過頂點A時，點O與邊AB上所有點的連線中，OA最大，此時d＝PA最小，如圖①：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如圖②：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA＝，∵OP＝2，∴d＝PA＝2﹣；∴d的取值范圍為2﹣≤d≤1．故答案為：2﹣≤d≤1．6．（2021?婁底·中考真題）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行．如圖，用平行四邊形ABCD表示一個“魚骨”，AB平行于車輛前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，過B作AD的垂線，垂足為A′（A點的視覺錯覺點），若sinα＝0.05，AB＝300mm，則AA′＝mm．【分析】由平行線的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)可得∠A'BC＝∠ABE＝90°，可求∠ABA'＝∠CBE＝α，利用銳角三角函數(shù)可求解．【解答】解：∵BA'⊥AD，AD∥BC，∴A'B⊥BC，∴∠A'BC＝∠ABE＝90°，∴∠ABA'＝∠CBE＝α，∵sin∠A'BA＝sinα＝＝0.05，∴AA'＝300×0.05＝15（mm），故答案為：15．7．（2021?成都·中考真題）我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：從任意頂點出發(fā)，沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘，再把三個乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和或逆序旋轉(zhuǎn)和．如圖1，ar+cq+bp是該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和，ap+bq+cr是該三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和．已知某三角形的特征值如圖2，若從1，2，3中任取一個數(shù)作為x，從1，2，3，4中任取一個數(shù)作為y，則對任意正整數(shù)k，此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率是．【分析】先根據(jù)題意計算出該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差為x+y﹣2k，再畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，找出此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差為（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k，畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的結(jié)果數(shù)為9，所以三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率＝＝．故答案為．8．（2021?貴港·中考真題）我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是．【分析】根據(jù)平面向量的新定義運算法則，列出關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可．【解答】解：根據(jù)題意知：?＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．因為﹣2≤x≤3，所以當(dāng)x＝3時，?＝（3+1）2﹣8＝8．即?的最大值是8．故答案是：8．9．（2021?重慶·中考真題）對于任意一個四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)m為“共生數(shù)”．例如：m＝3507，因為3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生數(shù)”；m＝4135，因為4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生數(shù)”．（1）判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”？并說明理由；（2）對于“共生數(shù)”n，當(dāng)十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被9整除時，記F（n）＝．求滿足F（n）各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有n．【分析】（1）根據(jù)題目中的定義，可直接判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”；（2）根據(jù)定義，先用兩個未知數(shù)表示F（n），然后列出含有n的式子，找出滿足要求的結(jié)果即可．【解答】解：（1）5313是“共生數(shù)”，6437不是“共生數(shù)”，∵5+3＝2×（3+1），∴5313是“共生數(shù)”，∵6+7≠2×（3+4），∴6437不是“共生數(shù)”；（2）∵n是“共生數(shù)”，根據(jù)題意，個位上的數(shù)字要大于百位上的數(shù)字，設(shè)n的千位上的數(shù)字為a，則十位上的數(shù)字為2a，（1≤a≤4），設(shè)n的百位上的數(shù)字為b，∵個位和百位都是0﹣9的數(shù)字，∴個位上的數(shù)字為9﹣b，且9﹣b＞b，∴0≤b≤4，∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b，∴F（n）＝＝340a+33b+3，由于n是“共生數(shù)”，∴a+9﹣b＝2×（2a+b），即a+b＝3，可能的情況有：，當(dāng)a＝1，b＝2時，n的值為1227，則F（n）的值為409，各數(shù)位上數(shù)字之和不是偶數(shù)，舍去，當(dāng)a＝2，b＝1時，n的值為2148，則F（n）的值為716，各數(shù)位上數(shù)字之和是偶數(shù)，當(dāng)a＝3，b＝0時，n的值為3069，則F（n）的值為1023，各數(shù)位上數(shù)字之和是偶數(shù)，∴n的值是2148或3069．10．（2021?赤峰·中考真題）閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，點M的坐標(biāo)為（x1，y1），點N的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N為某矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關(guān)矩形”．如圖1中的矩形為點M、N的“相關(guān)矩形”．（1）已知點A的坐標(biāo)為（2，0）．①若點B的坐標(biāo)為（4，4），則點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為；②若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的解析式；（2）已知點P的坐標(biāo)為（3，﹣4），點Q的坐標(biāo)為（6，﹣2）若使函數(shù)y＝的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個公共點，直接寫出k的取值．【分析】（1）①由A（2，0），B（4，4）坐標(biāo)得出“相關(guān)矩形”的長為2，寬為4，求出周長即可；②得到相關(guān)正方形邊長為2，從而C（4，2）或（4，﹣2），待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式即可；（2）設(shè)點P、Q的“相關(guān)矩形”為矩形MPNQ，求出M、N的坐標(biāo)，根據(jù)圖形可知過M、N為兩個臨界狀態(tài)，求出相應(yīng)的k，可得到k的范圍．【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），∴點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為（4﹣2+4）×2＝12，故答案為：12；②∵若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，∴C（4，2）或（4，﹣2），設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y＝kx+b將（2，0）、（4，2）代入解得：k＝1，b＝﹣2，∴y＝x﹣2，將（2，0）、（4，﹣2）代入解得：k＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x+2，∴直線AC的解析式為：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；（2）∵點P的坐標(biāo)為（3，﹣4），點Q的坐標(biāo)為（6，﹣2），設(shè)點P、Q的“相關(guān)矩形”為矩形MPNQ，則M（3，﹣2），N（6，﹣4），當(dāng)函數(shù)y＝的圖象過M時，k＝﹣6，當(dāng)函數(shù)y＝的圖象過N時，k＝﹣24，若使函數(shù)y＝的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個公共點，則﹣24＜k＜﹣6．11．（2021?衡陽·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點為“雁點”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點”．（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點”坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數(shù)；（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點，連接BP，以點P為直角頂點，構(gòu)造等腰Rt△BPC，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，則ax2+5x+c＝x，則△＝16﹣4ac＝0，即ac＝4，而a＞1，0＜c＜4；由M、N的存在，則△＝25﹣4ac＞0，而a＞1，則c＜，即可求解；②求出點M的坐標(biāo)為（﹣，0）、點E的坐標(biāo)為（﹣，﹣），即可求解；（3）分兩種情形：點C在PB的下方或上方，分別根據(jù)全等三角形解決問題．【解答】解：（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，當(dāng)x＝±2時，y＝＝±2，故“雁點”坐標(biāo)為（2，2）或（﹣2，﹣2）；（2）①∵“雁點”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，故“雁點”的函數(shù)表達(dá)式為y＝x，∵拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，則ax2+5x+c＝x，則△＝16﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故0＜c＜4；∵M、N的存在，則△＝25﹣4ac＞0，而a＞1，則c＜，綜上所述，c的取值范圍為0＜c＜4；②∵ac＝4，則ax2+5x+c＝0為ax2+5x+＝0，解得x＝﹣或﹣，即點M的坐標(biāo)為（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即點E的坐標(biāo)為（﹣，﹣），過點E作EH⊥x軸于點H，則HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，故∠EMN的度數(shù)為45°；（3）存在點P，使點C恰好為“雁點”，理由：當(dāng)點C在PB的下方時，由題意知，點C在直線y＝x上，故設(shè)點C的坐標(biāo)為（t，t），過點P作x軸的平行線交過點C與y軸的平行線于點M，交過點B與y軸的平行線于點N，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則BN＝﹣m2+2m+3，PN＝3﹣m，PM＝m﹣t，CM＝﹣m2+2m+3﹣t，∵∠NPB+∠MPC＝90°，∠MCP+∠CPM＝90°，∴∠NPB＝∠PCM，∵∠CMP＝∠PNB＝90°，PC＝PB，∴△CMP≌△PNB（AAS），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+或1﹣，當(dāng)點C在PB的上方時，過點P作PK⊥OB于K，CH⊥KP交KP的延長線于H．同法可證，△CHP≌△PKB，可得CH＝PK，HP＝BK，t﹣m＝﹣m2+2m+3，t﹣（﹣m2+2m+3）＝3﹣m，∴m＝，n＝，∴P（，），故點P的坐標(biāo)為（，）或（1+，）或（，）．12．（2021?東營·中考真題）已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗證]如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是．（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若∠COD＝60°，請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）猜想：OC＝OD．證明Rt△AOC≌△BOD（AAS），可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立．過點O作直線EF∥CD，交AC的延長線點E，證明△COE≌DOF（SAS），可得結(jié)論．（3）①結(jié)論成立．如圖3中，延長CO交BD于點E，證明CO＝OE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可．②結(jié)論：AC+BD＝OC．利用等邊三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】解：（1）猜想：OC＝OD．理由：如圖1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°在△AOC與△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD，故答案為：OC＝OD；（2）數(shù)量關(guān)系依然成立．理由：過點O作直線EF∥CD，交