2024年新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)六十七列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)含解析

PAGEPAGE7課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(六十七)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)A級(jí)——基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．想要檢驗(yàn)是否喜愛(ài)參與體育活動(dòng)與性別有關(guān)，應(yīng)當(dāng)檢驗(yàn)()A．零假設(shè)H0：男性喜愛(ài)參與體育活動(dòng)B．零假設(shè)H0：女性不喜愛(ài)參與體育活動(dòng)C．零假設(shè)H0：喜愛(ài)參與體育活動(dòng)與性別有關(guān)D．零假設(shè)H0：喜愛(ài)參與體育活動(dòng)與性別無(wú)關(guān)解析：D獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)有反證法的意味，應(yīng)假設(shè)兩類(lèi)變量(而非變量的屬性)無(wú)關(guān)，這時(shí)的χ2應(yīng)當(dāng)很小，假如χ2很大，則可以否定假設(shè)，假如χ2很小，則不能夠確定或者否定假設(shè)．2．為了探討中學(xué)學(xué)生對(duì)鄉(xiāng)村音樂(lè)的看法(喜愛(ài)和不喜愛(ài)兩種看法)與性別的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得χ2＝7．01，則認(rèn)為“喜愛(ài)鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)系”的把握約為()A．0．1% B．1%C．99% D．99．9%解析：C易知χ2＝7．01>6．635＝x0．01，比照臨界值表知，有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)系．3．(2024·湖北四校聯(lián)考)兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于97．5%，則c等于()A．3 B．4C．5 D．6附：α0．050．025xα3．8415．024解析：A列2×2列聯(lián)表如下：XY合計(jì)y1y2x1102131x2cd35合計(jì)10＋c21＋d66故χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥5．024．把選項(xiàng)A、B、C、D代入驗(yàn)證可知選A．4．針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,2)，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(1,6)，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(2,3)，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則調(diào)查樣本中男生至少有()參考數(shù)據(jù)及公式如下：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828A．12人 B．11人C．10人 D．18人解析：A設(shè)男生人數(shù)為x，依題意可得列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝诵詣e追星合計(jì)喜愛(ài)追星不喜愛(ài)追星男生eq\f(x,6)eq\f(5x,6)x女生eq\f(x,3)eq\f(x,6)eq\f(x,2)合計(jì)eq\f(x,2)xeq\f(3x,2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為是否喜愛(ài)追星和性別有關(guān)，則χ2>3．841，由χ2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,\f(x,2)·x·x·\f(x,2))＝eq\f(3,8)x>3．841，解得x>10．24，因?yàn)閑q\f(x,2)，eq\f(x,6)為整數(shù)，所以若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為是否喜愛(ài)追星和性別有關(guān)，則男生至少有12人．故選A．5．(多選)有兩個(gè)分類(lèi)變量X，Y，其列聯(lián)表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均為大于5的整數(shù)，依據(jù)小概率值α＝0．05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值可能為()A．8 B．9C．7 D．6解析：AB依據(jù)公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)>3．841＝x0．05，依據(jù)a>5且15－a>5，a∈Z，求得當(dāng)a＝8或9時(shí)滿意題意．6．(多選)下列關(guān)于χ2的說(shuō)法正確的是()A．依據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系B．χ2越大，認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的把握性就越大C．χ2是用來(lái)推斷兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可信程度的隨機(jī)變量D．χ2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量解析：ABCD選項(xiàng)的公式中分子應(yīng)當(dāng)是n(ad－bc)2．故選A、B、C．7．世界杯期間，某一電視臺(tái)對(duì)年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜愛(ài)西班牙隊(duì)進(jìn)行調(diào)查，對(duì)高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝四挲g是否喜愛(ài)西班牙隊(duì)合計(jì)不喜愛(ài)西班牙隊(duì)喜愛(ài)西班牙隊(duì)高于40歲pq50不高于40歲153550合計(jì)ab100若工作人員從全部統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個(gè)，取到喜愛(ài)西班牙隊(duì)的人的概率為eq\f(3,5)，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________下認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜愛(ài)程度有關(guān)．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．α0．150．100．050．0250．0100．0050．001xα2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828解析：設(shè)“從全部人中隨意抽取一個(gè)，取到喜愛(ài)西班牙隊(duì)的人”為事務(wù)A，由已知得P(A)＝eq\f(q＋35,100)＝eq\f(3,5)，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60．χ2＝eq\f(100×25×35－25×152,40×60×50×50)＝eq\f(25,6)≈4．167>3．841＝x0．05．依據(jù)小概率值α＝0．05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)5%下認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜愛(ài)程度有關(guān)．答案：5%8．探討人員選取170名青年男女高校生的樣本，對(duì)他們進(jìn)行一種心理測(cè)驗(yàn)，發(fā)覺(jué)有60名女生對(duì)該心理測(cè)驗(yàn)中的最終一個(gè)題目的反應(yīng)是：作確定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的項(xiàng)目上作確定的有22名，否定的有88名．問(wèn)：性別與看法之間是否存在某種關(guān)系？分別用下面兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)：(1)用等高積累條形圖；(2)依據(jù)小概率值α＝0．025的獨(dú)立性檢驗(yàn)．解：建立性別與看法的2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝诵詣e看法合計(jì)確定否定男生2288110女生223860合計(jì)44126170依據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，可求出男生中作確定看法的頻率為eq\f(22,110)＝0．2，女生中作確定看法的頻率為eq\f(22,60)≈0．37．作等高條形圖如圖，其中兩個(gè)深色條形的高分別表示男生和女生中作確定看法的頻率，比較圖中深色條形的高可以發(fā)覺(jué)，女生中作確定看法的頻率明顯高于男生中作確定看法的頻率，因此可以認(rèn)為性別與看法有關(guān)系．零假設(shè)為H0：性別和看法沒(méi)有關(guān)系．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到χ2＝eq\f(170×22×38－22×882,110×60×44×126)≈5．622>5．024＝x0．025．依據(jù)小概率值α＝0．025的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為性別和看法有關(guān)系，此推斷認(rèn)為犯錯(cuò)誤的概率不大于0．025．B級(jí)——綜合應(yīng)用9．某校對(duì)學(xué)生進(jìn)行心理障礙測(cè)試，得到的數(shù)據(jù)如下表：焦慮說(shuō)謊懶散總計(jì)女生5101530男生20105080總計(jì)252065110依據(jù)以上數(shù)據(jù)可推斷在這三種心理障礙中，與性別關(guān)系最大的是()A．焦慮 B．說(shuō)謊C．懶散 D．以上都不對(duì)解析：B對(duì)于焦慮，說(shuō)謊，懶散三種心理障礙，設(shè)它們觀測(cè)值分別為χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中數(shù)據(jù)可得：χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0．863，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6．366，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1．410，因?yàn)棣謊q\o\al(2,2)的值最大，所以說(shuō)謊與性別關(guān)系最大．故選B．10．某旅行社為調(diào)查市民喜愛(ài)“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)抽取了55名市民，得到數(shù)據(jù)如下表所示：喜愛(ài)不喜愛(ài)合計(jì)大于40歲2052520歲至40歲102030合計(jì)302555依據(jù)小概率值α＝0．005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，________推斷出在犯錯(cuò)誤的概率不大于0．005的狀況下認(rèn)為喜愛(ài)“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)(填“能”或“不能”)．解析：零假設(shè)為H0：喜愛(ài)“人文景觀”景點(diǎn)與年齡無(wú)關(guān)．由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2≈11．978>7．879＝x0．005，依據(jù)小概率值α＝0．005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為喜愛(ài)“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)，此推斷認(rèn)為犯錯(cuò)誤的概率不大于0．005．答案：能11．為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，探討這一社區(qū)居民在20：00～22：00時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e休閑方式合計(jì)看電視看書(shū)男105060女101020合計(jì)206080(1)依據(jù)小概率值α＝0．01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“在20：00～22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？(2)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，在該社區(qū)的全部男性中隨機(jī)調(diào)查3人，設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．解：(1)零假設(shè)為H0：在20：00～22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別無(wú)關(guān)系，依據(jù)2×2列聯(lián)表得，χ2＝eq\f(80×10×10－10×502,60×20×20×60)＝eq\f(80,9)≈8．889>6．635＝x0．01，依據(jù)小概率值α＝0．01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“在20：00～22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”，此推斷認(rèn)為犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．01．(2)由題意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,6)))，且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3－k，k＝0,1,2,3，故E(X)＝np＝3×eq\f(5,6)＝eq\f(5,2)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(5,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)．C級(jí)——遷移創(chuàng)新12．國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)是反映一個(gè)國(guó)家科學(xué)技術(shù)和創(chuàng)新競(jìng)爭(zhēng)力的綜合指數(shù)．對(duì)國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分排名前40的國(guó)家的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分信息：①國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分的頻率分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．②國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分在60≤x<70這一組的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．③40個(gè)國(guó)家的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(萬(wàn)美元)和國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分狀況統(tǒng)計(jì)圖：④中國(guó)的國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分為69．5，人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值9960美元．(以上數(shù)據(jù)來(lái)源于《國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)報(bào)告(2024)》)依據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)中國(guó)的國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分排名世界第幾？(2)是否有99．9%的把握認(rèn)為“人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值影響國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分”？(3)用(1)(2)得到的結(jié)論，結(jié)合所學(xué)學(xué)問(wèn)，合理說(shuō)明④中客觀存在的數(shù)據(jù)．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828解：(1)由國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分的頻率分布直方圖可得，“國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分”在70≤x≤100的頻率為(0．03＋0．005＋0．005)×10＝0．4．因此，中國(guó)的國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分排名為0．4×40＋1＝17．(2)由40個(gè)國(guó)家的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分狀況統(tǒng)計(jì)圖可得2×2列聯(lián)表如下：國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值合計(jì)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值≤