2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中核心考點(diǎn)專題06全等三角形的判定含解析新人教版

PAGEPAGE1專題06全等三角形的判定重點(diǎn)突破學(xué)問點(diǎn)一全等三角形的判定（重點(diǎn)）一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等備注：1.判定兩個(gè)三角形全等必需有一組邊對(duì)應(yīng)相等。2.全等三角形周長(zhǎng)、面積相等。學(xué)問點(diǎn)二證題的思路（難點(diǎn)）考查題型一利用SAS推斷兩個(gè)三角形全等典例1（2024惠州市期末）如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點(diǎn)，且DF＝BE.求證：AF=CE.【答案】證明見解析【分析】由SAS證明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．變式1-1（2024·丹江口市期末）如圖，點(diǎn)E,F在AB上，.求證：.【答案】詳見解析【分析】先將轉(zhuǎn)化為AF＝BE，再利用證明兩個(gè)三角形全等.【詳解】證明：因?yàn)锳E＝BF，所以，AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE，在△ADF和△BCE中，所以，變式1-2（2024·武漢市期中）已知：如圖，點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，CD=BE，CD∥BE.求證:△ACD≌△CBE.【答案】證明見解析.【解析】證明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..∵點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，∴AC=CB.又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）變式1-3（2024·蘭州市期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，BE=CF，點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上，AD=AC，（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，則∠ADC=°．【答案】（1）證明見解析；（2）75．【分析】（1）依據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS證明△ABE≌△ACF即可；（2）依據(jù)△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再依據(jù)AD=AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠ADC的度數(shù).【詳解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案為75．考查題型二利用ASA推斷兩個(gè)三角形全等典例2（2024·玉林市期中）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．求證：△AEC≌△BED；【答案】見解析【分析】依據(jù)全等三角形的判定即可推斷△AEC≌△BED；【詳解】∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED（ASA）．變式2-1（2024·楚雄州期末）如圖，完成下列推理過程：如圖所示，點(diǎn)E在△ABC外部，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求證：△ABC≌△ADE.證明：∵∠E＝∠C（已知），∠AFE＝∠DFC（）,∴∠2=∠3（）,又∵∠1＝∠3（）,∴∠1=∠2（等量代換），∴__________+∠DAC=__________+∠DAC（）,即∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中∵∴△ABC≌△ADE（）.【答案】對(duì)頂角相等；三角形內(nèi)角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性質(zhì)；ASA【詳解】解：∵∠E=∠C（已知），∠AFE=∠DFC（對(duì)頂角相等），∴∠2=∠3（三角形內(nèi)角和定理）．又∵∠1=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代換），∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性質(zhì)），即∠BAC=∠DAE．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（ASA）．變式2-2（2024·德州市期末）如圖，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求證：BD＝CE.【答案】見解析.【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA證明△ABD≌△ACE，即可解答【詳解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.考查題型三利用AAS推斷兩個(gè)三角形全等典例3（2024·黃石市期中）如圖，在ABCD中，經(jīng)過A，C兩點(diǎn)分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F(xiàn)為垂足．（1）求證：△AED≌△CFB；（2）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．【答案】（1）見解析;（2）見解析.【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再依據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠CFB＝∠AED＝90°，再依據(jù)全等三角形的判定（角角邊）來證明即可；（2）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可證明.【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠CFB＝∠AED＝90°，∴△AED≌△CFB（AAS）．（2）證明：∵△AED≌△CFB，∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．變式3-1（2024·興義市期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）112.5°．【分析】依據(jù)同角的余角相等可得到結(jié)合條件，再加上可證得結(jié)論；依據(jù)得到依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到由平角的定義得到【詳解】證明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．變式3-2（2024·溫州市期中）如圖，已知，，，在同始終線上，，，.試說明：.【答案】見解析；【分析】由AB∥CD可得∠BAC=∠DCA，由AF=CE可得AE=CF，由AAS可得△ABE≌△CDF．【詳解】證明∵，∴∵，∴，即.在和中，，∴（AAS）考查題型四利用SSS推斷兩個(gè)三角形全等典例4（2024·德州市期中）已知：如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F．求證：DE＝DF．【答案】見解析【分析】連接AD，利用“邊邊邊”證明△ABD和△ACD全等，再依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等證明．【詳解】證明：如圖，連接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）．變式4-1（2024·陽泉市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，求證：∠1＝∠2.【答案】證明見詳解【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可證得△ABD≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再證明△ABE≌△ACE,即可得到結(jié)論.【詳解】證明:∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,在△ABD和△ACD中,△ABD≌△ACD,∠BAE=∠CAE,在△ABE和△ACE中,△ABE≌△ACE∠1=∠2.變式4-2（2024·鄂州市期中）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求證：ΔABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）37°【解析】（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°變式4-3（2024·石家莊市期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上（F，C之間不能干脆測(cè)量），點(diǎn)A，D在l異側(cè)，測(cè)得AB=DE，AC=DF，BF=EC．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）指出圖中全部平行的線段，并說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由見解析.【解析】（1）證明：∵BF=EC，∴BF+CF=CF+CE，∴BC="EF"∵AB=DE，AC="DF"∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.考查題型五利用HL推斷兩個(gè)直角三角形全等典例5（2024·云龍縣期中）已知：如圖，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求證：AD=BC【答案】見解析【分析】連接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD進(jìn)而得出答案．【詳解】證明：如圖，連接CD，∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），∴AD=BC．變式5-1（2024·開封市期中）已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）依據(jù)垂直的定義得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.（2）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠C=∠A，依據(jù)平行線的判定即可得到AB∥CD.【詳解】證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠DEC=∠BFA=90°在Rt△DEC和Rt△BFA中AB=CDDE=BF∴Rt△DCE≌Rt△BFA（HL）∴AF=CE∴∠C=∠A∴AB∥CD變式5-2（2024·開封市期末）如圖，、、、四點(diǎn)在一條直線上，，，，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）由垂直的定義，結(jié)合題目已知條件可利用HL證得結(jié)論；（2）由（1）中結(jié)論可得到∠D＝∠B，則可證得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵，，∴和為直角三角形，∵，∴，即，在和中，，∴；（2）由（1）可知，∴，∴．考查題型六三角形全等判定的綜合典例6（2024·保定市期末）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，則甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙【答案】B【解析】乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和圖乙的三角形中，滿意三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和圖丙的三角形中，滿意三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲與△ABC全等；故選B．變式6-1（2024·武漢市期中）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【答案】C【解析】試題分析：依據(jù)全等三角形的判定方法分別進(jìn)行判定：A、已知AB=DE，加上條件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)不合題意；B、已知AB=DE，加上條件BC=EC，AC=DC可利用SSS證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)不合題意；C、已知AB=DE，加上條件BC=DC，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)符合題意；D、已知AB=DE，加上條件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)不合題意．故選C．變式6-2（2024·杭州市期末）如圖所示，在下列條件中，不能推斷△ABD≌△BAC的條件是（）A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BACC．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC【答案】C【解析】解：A、符合AAS，能推斷△ABD≌△BAC；B、符合ASA，能推斷△ABD≌△BAC；C、符合SSA，不能推斷△ABD≌△BAC；D、符合SSS，能推斷△ABD≌△BAC．所以依據(jù)全等三角形的判定方C、滿意SSA不能推斷兩個(gè)三角形全等．故選C．變式6-3（2024·虹橋區(qū)期中）如圖，在下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（）.A．BD=DC，AB=AC B．