廣東省深圳市寶安區(qū)2024-2025學年高三上學期第一次調研測試數學試卷

寶安區(qū)2024-2025學年第一學期調研測試卷高三數學2024.10注意事項：1．答題前，請將姓名、班級和學校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置上，并正確粘貼條形碼．2．作答選擇題時，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號的信息點框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題時，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆把答案寫在答題卡指定區(qū)域內，寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效．3．本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試時間120分鐘．4．考試結束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1．樣本數據1，6，7，8，8，9，10，11，12，13的第30百分位數為（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.52．已知集合，則（）A． B． C． D．3．若，則（）A． B．I C． D．-i4．已知向量，，若，則（）A．2 B．0 C．1 D．-25．已知，，則（）A．m B． C． D．6．一個正四面體邊長為3，則一個與該正四面體體積相等、高也相等的正三棱柱的側面積為（）A． B． C． D．7．已知函數為，在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．函數在上的零點個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，當變大時，則（）A．變大 B．變小C．正態(tài)分布曲線的最高點上移 D．正態(tài)分布曲線的最高點下移10．對于正數a，b，，使，則（）A． B． C． D．11．已知函數的定義域為R，若，且，則（）A． B．無最小值C． D．的圖象關于點中心對稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數與函數在公共點處的切線相同，則實數m的值為______．13．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，M為AB的中點，則線段CM的長為______．14．為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設計出了一種游戲活動，顧客需投擲一枚骰子兩次，若兩次投擲的數字都是偶數，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有2次終極抽獎機會（2次抽獎結果互不影響）；若兩次投擲的數字之和是5或9，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有1次終極抽獎機會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費團操券3張，不具有終極抽獎機會．已知每次在終極抽獎活動中的獎品和對應的概率如下表所示．獎品一個健身背包一盒蛋白粉概率則一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率為______．三、解答題15．（本題13分）如圖，在直角中，，，將繞邊PO旋轉到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為上的點，且．（1）求點O到平面PAB的距離；（2）設直線OC與平面PAB所成的角為，求的值．16．（本題15分）已知橢圓C：，，離心率，且點在橢圓上．（1）求該橢圓的方程；（2）直線l交橢圓C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0，且，求的面積．17．（本題15分）函數，．（1）若，求函數的最大值；（2）若在上恒成立，求實數m的取值范圍．18．（本題17分）甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機抽題作答，答對積1分且對方不得分，答錯不得分且對方積1分；然后換對方抽題作答，直到有領先2分者晉級，比賽結束．已知甲答對題目的概率為，乙答對題目的概率為p，答對與否相互獨立，抽簽決定首次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積1分的概率為．記甲乙兩人的答題總次數為．（1）求p；（2）當時，求甲得分X的分布列及數學期望；（3）若答題的總次數為n時，甲晉級的概率為，證明：．19．（本題17分）定義：任取數列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為3，則稱數列具有“性質3”．已知項數為n的數列的所有項的和為，且數列具有“性質3”．（1）若，且，，寫出所有可能的的值；（2）若，，證明：“”是“”的充要條件；（3）若，，，證明：或，（）．

寶安區(qū)2025屆高三畢業(yè)班第一次調研考試數學參考答案一、單項選擇題題號12345678答案BCBACADC二、多項選擇題題號91011答案BDBCBCD三、填空題：12．013．14．四、解答題：15．【解答】（1）證明：由題意知：，，，平面AOB，平面AOB∴平面AOB，又，所，，所以，設點O到平面PAB的距離為d，由得，解得；（2）以O為原點，OC，OB，OP的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意知，則，則，，，所以，，．設平面PAB的法向量為，則，不妨取平面PAB的一個法向量為，所以．（利用幾何解法相對簡單，酌情給分）16．【解答】（1）解：由題解得：故橢圓C：（2）設直線AP的傾斜角為，由，，得，，（或）即AP：，AQ：聯立，及得，（舍），故，聯立，及得，（舍），故，故，，而，，故．17．【解答】（1）因為，可知的定義域為，且，由，解得；由，解得．可知在內單調遞增，在內單調遞減，所以函數的最大值為．（2）因為在恒成立，等價于在恒成立．設，，則，當時，則，且，，可得，所以；當時，則，設，，則，可知在遞增，且，．則，使得．當時，；當時，．當時，；當時，．可知函數在遞增，在遞減，在遞增．由，得，且．可得，且，則，又因為，可知當時，，所以m的取值范圍是．18．【解答】（1）記“第i次答題時為甲”，“甲積1分”，則，，，，，，則，解得；（2）由題意可知當時，X可能的取值為0，1，2，則由（1）可知，，，X的分布列為：X012P隨機變量X的數學期望為．（3）由答題總次數為n時甲晉級，不妨設此時甲的積分為，乙的積分為，則，且，所以甲晉級時n必為偶數，令，當n為奇數時，，則又∵時，隨著m的增大而增大，∴19．【解答】（1）解：依題意，若：0，3，0，3，此時若：0，-3，0，3，此時若：0，3，6，3，此時（2）證明：必要性：因為，故數列為等差數列，所以，，公差為-3，所以，必要性得證充分性：由于，，…，，累加可得，，即，因為，故上述不