重難點(diǎn)專項(xiàng)突破01二次函數(shù)綜合之“線段周長”問題（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破01二次函數(shù)綜合之“線段周長”問題【知識(shí)梳理】(1)線段的數(shù)量關(guān)系此類問題一般是求滿足線段數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，針對(duì)這種情況應(yīng)先在圖中找出對(duì)應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；最后表示出線段的長度，列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；(2)線段最值問題

此類問題通常有兩類：

①設(shè)出關(guān)鍵的點(diǎn)的未知數(shù)(通常是一個(gè)跟所求線段關(guān)系緊密的點(diǎn)的橫坐標(biāo))，通過題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出有關(guān)線段端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段的長，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；

②在求線段最小值的時(shí)候可以利用軸對(duì)稱模型.此類問題一般是要尋找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使其到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最小，通常是作一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)的線段即為所求的最小值；(3)周長最值問題

此類問題一般為所求圖形中有一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)其求周長最值，解決此類問題時(shí)應(yīng)利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長的最值轉(zhuǎn)化到求不定線段和的最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求線段最值問題，其方法同(2).【考點(diǎn)剖析】題型一：線段的數(shù)量關(guān)系1．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若、、三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)分別過點(diǎn)、向拋物線的對(duì)稱軸作垂線，交對(duì)稱軸于點(diǎn)、，矩形與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作，的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型二：線段最值問題2．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且軸．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求線段長度的最大值．3．（2023·內(nèi)蒙古·內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬學(xué)校?？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過點(diǎn)P的直線與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求的最大值；(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．當(dāng)是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．4．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？5．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型三：周長最值問題6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2020春·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）P是拋物線y＝x2－4x＋5上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別是M，N，則PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．52．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過，且有最小值，若A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B點(diǎn)，過B作y軸平行線交拋物線于點(diǎn)C，在的斜邊上有一動(dòng)點(diǎn)D，過D作于E，于F，則EF的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)后，再沿對(duì)稱軸l向下運(yùn)動(dòng)，給出下列說法：①：②拋物線的對(duì)稱軸為；③當(dāng)點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長取最小值時(shí)，；④在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)的過程中，當(dāng)時(shí)，的面積最大．其中，所有正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③4．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．5．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．6．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．二、填空題7．（2023·江蘇連云港·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為___________．

8．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)秦皇島市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線與該二次函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸的垂線交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)則線段的最大值為____________．9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)P為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，直線分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M、N．的值等于______________．10．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)、在線段上，且、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．連接，若，則線段的長為______．11．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧十四中?？奸_學(xué)考試）如圖拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為______．12．（2023春·福建泉州·九年級(jí)福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使的值最大時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____．13．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)交x軸于（點(diǎn)A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)，平面上有任意點(diǎn)P，使得，則面積的最大值為_________．（用含有a的代數(shù)式表示）14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）15．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題16．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點(diǎn)．軸交拋物線于點(diǎn)D．

(1)求b，c的值．(2)已知點(diǎn)E在拋物線上且位于x軸上方，過E作y軸的平行線分別交于點(diǎn)F，G，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．17．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）直線經(jīng)過點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其中和為實(shí)數(shù)．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，過作軸的平行線交直線于點(diǎn)．(1)求和的值；(2)當(dāng)拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值時(shí)，求線段的值；(3)求線段的最小值．18．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

(1)寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)______，B點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)若二次函數(shù)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最小？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說明理由．19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②若點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的圖像交于點(diǎn)Q，求線段的最大值；(2)過點(diǎn)M作的平行線，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M、N