專題02解直角三角形（六大類型）（題型專練）

專題02解直角三角形（六大類型）1．（2023?青島三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均是1，△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過點(diǎn)D作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得，AC＝5，∴sin∠BAC＝，故選：B．2．（2023?樊城區(qū)模擬）如圖，在正方形組成的網(wǎng)格中，∠BAC的余弦值等于（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：如圖，在Rt△ACD中，AD＝CD＝3，∴AC＝＝＝3，∴cos∠BAC＝＝＝，故選：B．3．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中點(diǎn)，BC＝4，tan，則AD的長為（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∵tan∠CAB＝＝，∴AC＝2BC＝2×4＝8，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝AC＝×8＝4，故選：C．4．（2023?增城區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，AB＝10，，則AC的長是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA＝＝，∴AC＝AB＝×10＝6，故選：A．5．（2023?集寧區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，，則AC的長為（）A．9 B．15 C．18 D．12【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB＝，∵AB＝25，，∴＝，∴AC＝AB＝×25＝15，故選：B．6．（2022秋?薛城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，則BC＝（）A．8 B． C．7 D．【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∵tanC＝＝，∴CD＝3，∴BC＝BD+CD＝7；故選：C．7．（2021秋?惠安縣期末）如圖中的每個(gè)小正方形的邊長均相等，則sin∠BAC的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：連接BC，由題意得：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴sin∠BAC＝sin45°＝，故選：B．8．（2022秋?電白區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，BC＝，AC＝3，則sin∠ACD＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD是斜邊AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故選：C．9．（2022?市中區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，分別以點(diǎn)A，B為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)的連線交BC與點(diǎn)E，BE：EC＝2：1，則?ABCD的面積為（）A．12 B． C． D．【答案】C【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，在?ABCD中，∵CD＝4，∴AB＝CD＝4，由作法得EM垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，∵∠B＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝4，∵BE：EC＝2：1，∴EC＝2，BC＝BE+EC＝4+2＝6；又∵AF⊥BC，∠B＝60°，∴sin∠ABF＝，∴AF＝AB?sin∠ABF＝4×＝2，∴S?ABCD＝BC?AF＝6×2＝12．故選：C．10．（2022?南山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，則tan∠ACD的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，tanB＝，∴tanB＝，∴tan∠ACD＝，故選：A．11．（2022?青秀區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，則AB長為（）A．4 B．8 C． D．12【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，∴AB＝＝＝8，故選：B．12．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），那么tanα的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖：過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），∴OB＝3，AB＝4，在Rt△AOB中，tanα＝＝，故選：B．13．（2022秋?張店區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，則線段AD的長為（）A．6 B．12 C．6 D．6【答案】B【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝6，∴CE＝BC?sin45°＝6×＝6，在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，∴AC＝＝＝12，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°，∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝12，故選：B．14．（2022?泗水縣二模）如圖，在Rt△BAD中，延長斜邊BD到點(diǎn)C，使，連接AC，若，則tan∠CAD的值（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過點(diǎn)C作CE垂直AD的延長線于E，在Rt△BAD中，，∴，設(shè)AB＝3a，AD＝4a，則BD＝＝5a，∵CE⊥AE，BA⊥AD，∴△BAD∽△CED，∴，∵DC＝BD，∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝＝．故選：B．15．（2021秋?安居區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝60°，在Rt△ACD中，AC＝2，∴AD＝ACcos60°＝2×＝1，CD＝ACsin60°＝2×＝，∵AB＝4，∴BD＝AB+AD＝4+1＝5，在Rt△BDC中，BC＝＝＝2，∴sinB＝＝＝，故選：D．16．（2023?海陵區(qū)一模）如圖，在4×3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A、B、C、D都在小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APC的值是3．?【答案】3．【解答】解：連接AC．∵CB∥AD，∴△CBP∽△DAP．∴＝＝．∴＝，即＝3．∵AC＝CD＝＝，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2．∴∠ACD＝90°．在Rt△ACP中，tan∠APC＝＝＝3．故答案為：3．17．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為45°，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝．【答案】．【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)D，∵，∴設(shè)BC＝2a，AC＝3a，∵∠A，∠B互為半余角，∴∠A+∠B＝45°，∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°，在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a?＝2a，CD＝BCcos45°＝2a?＝2a，∵AC＝3a，∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，故答案為：．18．（2023?錫山區(qū)模擬）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則的值是．【答案】．【解答】解：如圖：由題意得：AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴AC＝，AB＝5，∵BE＝EF，DE∥AF，∴BD＝AD，∴CD＝BD＝AB，∴∠CBD＝∠BCD，∵∠CDA＝∠BCD+∠CBD，∴∠CDA＝2∠CBD，∴＝sin∠CBD＝＝，故答案為：．19．（2022秋?河北期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，BC＝12，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作線段CD的垂線，垂足為點(diǎn)E．（1）線段CD的長為；（2）cos∠DBE的值為．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，cosA＝＝，∴設(shè)AC＝3x則AB＝5x，∴BC＝＝＝4x，∵BC＝12，∴4x＝12，∴x＝3，∴AB＝5x＝15，AC＝3x＝9，∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝BD＝AB＝，故答案為：；（2）∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴△CBD的面積＝△ABC的面積，∵BE⊥CE，∴CD?BE＝×AC?BC，∴BE＝×9×12∴BE＝，在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，故答案為：．20．（2022秋?徐州期末）如圖，在△ABC中，已知AD是BC邊上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，則AB的值為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵在△ABC中，已知AD是BC邊上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴，AC＝，∴，解得，AD＝，∴AB＝，故答案為：．21．（2022?江陰市校級(jí)一模）如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聰明的小強(qiáng)想求tan2α的值，于是他在AB上取點(diǎn)D，使得CD＝AD，則tan2α的值為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，在Rt△CDB中，設(shè)BD為x，則AD＝CD＝5﹣x，∵BC2+BD2＝CD2，∴32+x2＝（5﹣x）2，∴x＝1.6，∴BD＝1.6，∴tan∠CDB＝＝＝，∴tan2α＝，故答案為：．22．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)一模）如圖為兩個(gè)邊長為1的正方形組成的2×1格點(diǎn)圖，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，AB，CD交于點(diǎn)P，則tan∠BPD＝3．【答案】3．【解答】解：如圖，連接BE交CD于點(diǎn)O，∵四邊形BCED是邊長為1的正方形，∴BE⊥CD，OB＝OC＝OD＝OE＝×1＝，∵BC∥AD，∴△BCP∽△ADP，∴＝＝，∴CP＝CD＝，∴OP＝OC﹣CP＝﹣＝，在Rt△BOP中，tan∠BPD＝＝＝3，故答案為：3．23．（2022秋?昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，sinB＝，∠C＝45°，則AC的長為2．【答案】2．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，AB＝3，sinB＝，∵AD＝AB?sinB＝3×＝2，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AC＝＝＝2，故答案為：2．24．（2022秋?楊浦區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作AF⊥CD，AF分別與CD、CB相交于點(diǎn)E、F，如果tanB＝，那么的值是．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠ACD+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠DCB，∴∠CAE＝∠DCB＝∠B，∴tanB＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝，設(shè)CE＝2x，則AE＝3x，在Rt△CEF中，EF＝CE?tan∠DCB＝2x?＝，∴＝＝，故答案為：．25．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，則S△ABC＝10．【答案】10．【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案為：10．26．（2022秋?東平縣校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點(diǎn)，AB＝5，BD＝1，tanB＝．則sinα＝．【答案】．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，在Rt△ABC中，tanB＝＝，∴設(shè)AC＝3a，則BC＝4a，∴AB＝＝＝5a，∵AB＝5，∴5a＝5，∴a＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝BC＝BD＝3，∴AD＝＝＝3，在Rt△BDE中，tanB＝＝，∴設(shè)DE＝3k，則BE＝4k，∴BD＝＝＝5k，∵BD＝1，∴5k＝1，∴k＝，∴DE＝，在Rt△ADE中，sinα＝＝＝，故答案為：．27．（2022秋?杭州月考）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA＝2cos∠BCD．（1）求證：BC＝2AD．（2）若cosB＝，AB＝10，求△ABC的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）△ABC的面積為10．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，tanA＝，在Rt△CDB中，cos∠BCD＝，∵tanA＝2cos∠BCD，∴＝，∴BC＝2AD；（2）解：在Rt△CDB中，cosB＝＝，∵BC＝2AD，∴＝，∵AB＝10，∴BD＝AB＝6，∴BC＝＝＝8，∴CD＝＝＝2，∴△ABC的面積＝AB?CD＝×10×2＝10，∴△ABC的面積為10．28．（2021秋?東臺(tái)市期末）如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，AB＝2，BC＝1，∠A＝45°，DF＝2．（1）求∠BCD度數(shù)；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）150°；（2）4+2．【解答】解：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∵sinA＝，∴BE＝AB?sinA＝2×sin45°＝2×＝2，∵BC∥AD，BE⊥AD，CF⊥AD，∴四邊形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝2，∠BCF＝90°，∴tan∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝60°，∴∠BCD＝90°+60°＝150°；（2）∵cosA＝，∴AE＝AB?cosA＝2×cos45°＝2×＝2，∵EF＝BC＝1，∴四邊形ABCD的面積為：（BC+AD）?BE＝×（1+2+1+2）×2＝4+2．29．（2023春?上思縣月考）已知：如圖，AC是△ABD的高，BC＝15cm，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，求AD．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝15cm，∠BAC＝30°，∴AC＝cot30°?BC＝15cm，設(shè)BD＝x，則有AB＝2x，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝45°，∴cos45°＝，∴AD＝＝＝15（cm）．30．（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．（1）求AE的長；（2）求tan∠DBC的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．∵，AB＝13，∴BE＝5．∵在Rt△BEA中，BE2+AE2＝AB2，