第四章三角形（A卷知識(shí)通關(guān)練）

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)第四章三角形（A卷·知識(shí)通關(guān)練）考點(diǎn)1三角形的邊角關(guān)系【方法點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵是了解三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．（2022秋?利通區(qū)期末）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是A．3，4，5 B．4，6，10 C．1，1，3 D．3，4，9【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行分析即可．【解答】解：、，能組成三角形，故此選項(xiàng)正確；、，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．（2022春?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考）圖中共有三角形A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【分析】觀察圖形先找出圖中基本的三角形，，，再找出復(fù)合組成的三角形即可．【解答】解，，，共3個(gè)；②，，2個(gè)；綜上，圖中共有共5個(gè)三角形．故選：．（2022秋?玉州區(qū)期中）如圖所示的圖形中，三角形共有A．5個(gè) B．6個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的概念數(shù)出個(gè)數(shù)解答即可．【解答】解：三角形的個(gè)數(shù)有，，，，，共5個(gè)，故選：．（2022春?綏棱縣期末）三角形按照角可以分成銳角三角形，鈍角三角形，．【分析】根據(jù)三角形的分類進(jìn)行解答．【解答】解：按三角形內(nèi)角的大小把三角形分為三類：銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形．故答案為：直角三角形．（2021秋?高陽(yáng)縣期末）如圖，圖中以為邊的三角形的個(gè)數(shù)為．【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：以為公共邊的三角形有，，，，以為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故答案為：4．（2022春?織金縣期末）在中，是邊上的中線，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多，已知，則的長(zhǎng)為．【分析】利用三角形的中線定義可得，再根據(jù)的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多可得，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．【解答】解：是邊上的中線，，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多，，，，，故答案為：7．考點(diǎn)2巧用三角形中線求面積【方法點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線把三角形的面積分成了相等的兩部分．（2022春?阜新縣期末）如圖，三角形中，為上的一點(diǎn)，且，則為A．高 B．角平分線 C．中線 D．不能確定【分析】三角形和三角形共用一條高，再根據(jù)，列出面積公式，可得出．【解答】解：設(shè)邊上的高為，，，故選：．如圖，三邊的中線、、的公共點(diǎn)為，若，則圖中陰影部分的面積是．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知的面積即為陰影部分的面積的3倍．【解答】方法1解：的三條中線、，交于點(diǎn)，，，，，，．故答案為4．方法2設(shè)，，，，，的面積分別為，，，，，，根據(jù)中線平分三角形面積可得：，，，①，②由①②可得，所以，故陰影部分的面積為4．故答案為：4．（2020秋?連山區(qū)期末）如圖，已知為的中線，，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為．【分析】利用中線定義可得，進(jìn)而可得，然后再求的周長(zhǎng)即可．【解答】解：的周長(zhǎng)為，，，，為的中線，，，，，的周長(zhǎng)為，故答案為：30，（2021秋?鎮(zhèn)安縣期末）如圖所示，在三角形中，已知的中點(diǎn)是，的中點(diǎn)是，的中點(diǎn)是．若三角形的面積是12平方厘米，則三角形的面積是平方厘米．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答．【解答】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，的面積是12平方厘米，（平方厘米），（平方厘米），點(diǎn)是的中點(diǎn)，（平方厘米）．故答案為：3．考點(diǎn)3三角形內(nèi)角和之折疊變換【方法點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．如圖，在△ABC中，∠B＝32°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．32° B．45° C．60° D．64°【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【答案】解：如圖所示：由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠B＝32°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故選：D．如圖，將△ABC沿MN折疊，使MN∥BC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，則∠A'NC的度數(shù)是（）A．114° B．112° C．110° D．108°【分析】由MN∥BC，可得出∠MNC與∠C互補(bǔ)，由三角形的內(nèi)角和為180°可求出∠C的度數(shù)，從而得出∠MNC的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)可知∠A′NM與∠MNC互補(bǔ)，而∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，套入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【答案】解：∵M(jìn)N∥BC，∴∠MNC+∠C＝180°，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠A′＝32°，∠B＝112°，∴∠C＝36°，∠MNC＝144°．由折疊的性質(zhì)可知：∠A′NM+∠MNC＝180°，∴∠A′NM＝36°，∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故選：D．如圖，△ABC中，∠A＝20°，沿BE將此三角形對(duì)折，又沿BA′再一次對(duì)折，點(diǎn)C落在BE上的C′處，此時(shí)∠C′DB＝74°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．27° B．59° C．69° D．79°【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，則∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，則20°+2∠3+106°＝180°，可計(jì)算出∠3＝27°，即可得出結(jié)果．【答案】解如圖，∵△ABC沿BE將此三角形對(duì)折，又沿BA′再一次對(duì)折，點(diǎn)C落在BE上的C′處，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠ABC＝3∠3＝81°，∠C＝106°﹣27°＝79°，故選：D．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，這個(gè)規(guī)律是（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°以及四邊形的內(nèi)角和為360°得到幾個(gè)角之間的等量關(guān)系，整理化簡(jiǎn)即可得到所求角之間的關(guān)系．【答案】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；在四邊形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．故選：B．考點(diǎn)4三角形內(nèi)角和之角平分線如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的角平分線和高線，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的關(guān)系正確的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠C C．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），∵AE是高，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C），故選：A．如圖，BD是∠ABC的角平分線，CD是∠ACB的角平分線，∠BDC＝120°，則∠A的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．75°【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和計(jì)算即可．【答案】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故選：C．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．18° B．28° C．36° D．38°【分析】根據(jù)∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解決問題．【答案】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BFA＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故選：B．如圖，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，設(shè)∠BDC＝β，那么∠A等于（）A．180°﹣ B．180°﹣2β C．90°﹣β D．90°﹣【分析】在△BCD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度數(shù)，由角平分線的定理可得出∠CBE+∠BCF的度數(shù)，由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A的度數(shù)．【答案】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D＝180°，∠D＝β，∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣β．∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∴∠CBE+∠BCF＝2（∠BCD+∠CBD）＝360°﹣2β，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）＝2β．又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣2β．故選：B．考點(diǎn)5全等三角形的判定【方法點(diǎn)撥】全等三角形的判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．（2022春?阜新縣期末）如圖所示，已知，要使，還需條件A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)求出，根據(jù)全等三角形的判定定理有，，，，看看題目給的兩邊是否是夾和的兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊即可，注意：和不能判斷兩三角形全等．【解答】解：，，，由于全等三角形的判定定理有，，，，則、不是夾和的兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、不是夾和的兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、根據(jù)三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、是夾和的兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊，故本選項(xiàng)正確．故選：．（2022秋?銀海區(qū)期中）如圖，已知，平分，那么就可以證明，理由是A． B． C． D．【分析】根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)推出即可．【解答】證明：理由是：平分，，在和中，故選：．（2022?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，，，是高和的交點(diǎn)，則線段長(zhǎng)為．【分析】由，是高，得出后，根據(jù)，可證，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得答案．【解答】解：，，，，．，，，（等角的余角相等）在和中，，，，故答案是：5．（2022秋?樂清市期中）如圖，已知，，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得可以用“”來(lái)判定．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：添加，理由如下：，，在和中，，，故答案為：（答案不唯一）．考點(diǎn)6尺規(guī)作圖（2020秋?婁底期末）如圖，用直尺和圓規(guī)作的平分線的過程中，?、偈茿．以為圓心，以長(zhǎng)為半徑的弧 B．以為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑的弧 C．以為圓心，以長(zhǎng)為半徑的弧 D．以為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑的弧【分析】利用作角的平分線的畫法進(jìn)行判斷．【解答】解：由作圖可知，?、偈且詾閳A心，以大于長(zhǎng)為半徑的?。蔬x：．（2022春?蓮湖區(qū)期中）如圖，若，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為．【分析】利用基本作圖得到．【解答】解：由作法得．故答案為：．（2022春?藍(lán)田縣期末）如圖，已知，利用尺規(guī)作圖法作的平分線，交于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】利用基本作圖，作的平分線即可．【解答】解：如圖，為所作．（2022春?武功縣期末）如圖，已知，利用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】利用尺規(guī)作出的角平分線即可．【解答】解：如圖所示：射線即為所求．考點(diǎn)7全等三角形的證明如圖，在線段BC上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，在線段CB的異側(cè)有兩點(diǎn)A，D，且滿足AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF，連接AF；（1）∠B與∠C相等嗎？請(qǐng)說明理由．（2）若∠B＝40°，∠DFC＝20°，若AF平分∠BAE時(shí)，求∠BAF的度數(shù)．【分析】（1）由“SSS”可證△AEB≌△DFC，可得結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分線的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）∠B＝∠C，理由如下：∵CE＝BF，∴BE＝CF，在△AEB和△DFC中，AB=CDAE=DF∴△AEB≌△DFC（SSS），∴∠B＝∠C；（2）∵△AEB≌△DFC，∴∠AEB＝∠DFC＝20°，∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝120°，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF=12∠BAE＝60如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．BE⊥AC，垂足為G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求證：AE＝AF；（2）求∠EAF的度數(shù)．【分析】（1）利用SAS證明△AEB≌△FAC可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠CAF，由余角的定義可求得∠EAF的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△FAC中，AB=FC∠EBA=∠ACF∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝FA；（2）解：∵△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求證：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度數(shù)．【分析】（1）由“ASA”可證△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BD＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∴△ABD≌△ECB（ASA）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．如圖，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在AC上，連接BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，垂足為D，使DE＝BC，連接BE，若∠C＝∠E．（1）求證：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A＝∠DBE，再根據(jù)AAS證出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根據(jù)已知條件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根據(jù)∠DBC＝34°，求出∠FBE的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠A=∠DBE∠C=∠E∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．考點(diǎn)8全等三角形的應(yīng)用（2022秋?魏縣期中）為測(cè)量一池塘兩端，間的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了兩種不同的方案．甲：如圖1，先過點(diǎn)作的垂線，再在射線上取，兩點(diǎn)，使，接著過點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．則測(cè)出的長(zhǎng)即為，間的距離；乙：如圖2，先確定直線，過點(diǎn)作射線，在射線上找可直接到達(dá)點(diǎn)的點(diǎn)，連接，作，交直線于點(diǎn)，則測(cè)出的長(zhǎng)即為間的距離，則下列判斷正確的是A．只有甲同學(xué)的方案可行 B．只有乙同學(xué)的方案可行 C．甲、乙同學(xué)的方案均可行 D．甲、乙同學(xué)的方案均不可行【分析】利用證明，得，可知甲正確；利用等腰三角形三線合一可知乙正確．【解答】解：甲：，，，在和中，，，，故甲正確；乙：，，，故乙正確，故選：．（2022春?皇姑區(qū)期末）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，可以在的垂線上取兩點(diǎn)、，使，再作出的垂線，使、、三點(diǎn)在一條直線上，這時(shí)測(cè)得的長(zhǎng)就等于的長(zhǎng)．【分析】由對(duì)頂角相等，兩個(gè)直角相等及，可以判斷兩個(gè)三角形全等；所以．【解答】解：根據(jù)題意可知：，，，即，．故答案為：．（2022春?沂源縣期末）如圖：要測(cè)量河岸相對(duì)兩點(diǎn)、間的距離，先從點(diǎn)出發(fā)與成角方向，向前走25米到點(diǎn)處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走25米到點(diǎn)處，在點(diǎn)處轉(zhuǎn)沿方向走17米，到達(dá)處，使、與在同一直線上，那么測(cè)得、之間的距離為米．【分析】根據(jù)題意可得條件米，米，，再加上對(duì)頂角可利用判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：由題意得：米，米，，在和中，，米，故答案為：17．（2022秋?沙河口區(qū)期末）如圖，是路段的中點(diǎn)，兩人從同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到達(dá)，兩地，，，，到路段的距離相等嗎？為什么？【分析】首先根據(jù)題意可知，，再根據(jù)定理證明，可得到．【解答】解：，與路段的距離相等，理由：點(diǎn)是路段的中點(diǎn)，，兩人從同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，，，，，在和中，，．（2022秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期中）兩車從南北方向的路段的端出發(fā)，分別向東、向西行進(jìn)相同的距離，到達(dá)、兩地．此時(shí)、到的距離相等嗎？請(qǐng)說明理由．【分析】作出圖形，然后求出，，再利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，從而得解．【解答】解：、到的距離相等．理由如下：如圖，由題意得，，，在和中，，，，故、到的距離相等．考點(diǎn)9全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，，分別為線段和射線上的一點(diǎn)，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，二者速度之比為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在射線上取一點(diǎn)，使與全等，則的長(zhǎng)為．【分析】設(shè)，則，使與全等，由可知，分兩種情況：情況一：當(dāng)，時(shí)，列方程解得，可得；情況二：當(dāng)，時(shí)，列方程解得，可得．【解答】解：設(shè)，則，因?yàn)?，使與全等，可分兩種情況：情況一：當(dāng)，時(shí)，，，，解得：，；情況二：當(dāng)，時(shí)，，，，解得：，，綜上所述，或．故答案為：24或45．（2022春?金牛區(qū)校級(jí)期中）在學(xué)習(xí)完“探索全等三角形全等的條件”一節(jié)后，一同學(xué)總結(jié)出很多全等三角形的模型，他設(shè)計(jì)了以下問題給同桌解決：如圖，做一個(gè)“”字形框架，其中，，足夠長(zhǎng)，于點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的速度之比為，當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線上取點(diǎn)，使與全等，則線段的長(zhǎng)為．【分析】設(shè)，則，使與全等，由可知，分兩種情況：情況一：當(dāng)，時(shí)，列方程解得，可得；情況二：當(dāng)，時(shí)，列方程解得，可得．【解答】解：設(shè)，則，因?yàn)?，使與全等，可分兩種情況：情況一：當(dāng)，時(shí)，，，，解得：，；情況二：當(dāng)，時(shí)，，，，解得：，，綜上所述，或．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？【分析】（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．（2）可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等，則可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC時(shí)兩三角形全等，求x的解即可．【答案】解：（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時(shí)，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，兩三角形全等；①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時(shí)，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情況；②BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代數(shù)式表示）．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的v值，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用速度公式，用t表示出BP，從而可用t表示出PC；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時(shí)，則根據(jù)“SAS”判斷△ABP≌△PCQ，則BP﹣10﹣6＝4，即2t＝4．解得t＝2，所以CQ＝BP＝4，即v×2＝4；②當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時(shí)，利用“SAS”判斷△ABP≌△QCP，則BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5．解得t＝2.5，所以v×2.5＝6，然后分別求出對(duì)應(yīng)的v的值．【答案】解：（1）BP＝2t，則PC＝10﹣2t；故答案為（10﹣2t）；（2）存在．分兩種情況討論：①當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時(shí)，△ABP≌△PCQ．因?yàn)锳B＝6，所以PC＝6．所以BP﹣10﹣6＝4，即2t＝4．解得t＝2．因?yàn)镃Q＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．②當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時(shí)，△ABP≌△QCP．因?yàn)镻B＝PC，所以BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5．解得t＝2.5．因?yàn)镃Q＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．綜上所述，當(dāng)v＝2.4或2時(shí)，△ABP與△PQC全等．考點(diǎn)10全等三角形判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用（2022秋?蒼溪縣期末）如圖，已知，，要使，添加的條件可以是A． B． C． D．【分析】根據(jù)，可得，又，所以添加，根據(jù)可證．【解答】解：應(yīng)添加，理由如下：，．在和中，，，故選：．（2021秋?海安市校級(jí)月考）如圖，和中，，，，且點(diǎn)，，在同一條直線上，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求解即可．【解答】解：，，在和中，，，，，，，，故選：．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝AC，連接CD．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF