專項44定角定高

專項44定角定高1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類問題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC外一點A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則AD有最小值。又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型?！镜淅?】輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請求出AB最小值；若不存在，請說明理由；（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，點E、F分別為AB、AD上的點，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求．（2）如圖②中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．設(shè)OA＝OC＝2x．∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，∴OE＝OA＝x，AE＝x，∵OC+OE≥CD，∴3x≥4，∴x≥，∴x的最小值為，∵AB＝2x，∴AB的最小值為．（3）如圖③中，連接AC，延長BC交AD的延長線于G，將△CDF順時針旋轉(zhuǎn)得到△CBH，作△CEH的外接圓⊙O．∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴S△ACD＝S△ACB，∵∠DAB＝45°，∴∠DCB＝135°，∴∠DCG＝45°，∵∠CDG＝90°，∴CD＝DG＝6，∴CG＝CD＝12，∴AB＝GB＝12+6，由（2）可知，當(dāng)△CEH的外接圓的圓心O在線段BC上時，△ECH的面積最小，此時四邊形AFCE的面積最大，設(shè)OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，∴r+r＝6，∴r＝6（2﹣），∴EH＝r＝12（2﹣），∴四邊形AFCE的面積的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．【變式11】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．【答案】【解答】解：作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面積的最小值為，故答案為：．【變式12】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊上的高AD＝6，則△ABC周長的最小值為．【答案】12+12【解答】解：如圖，延長CB到E，使得BE＝BA，延長BC到F，使得CD＝CA，連接AE，AF，作△AEF的外接圓⊙O，連接OE，OF，過點O作OJ⊥EF于點J，交⊙O于點T．∵BA＝BE，CA＝CF，∴∠BAE＝∠BEA，∠CAF＝∠CAF，∵∠ABC＝∠BAE+∠BEA，∠ACB＝∠CAF+∠CFA，∴∠AEF+∠AFE＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∴∠EAF＝135°，∴∠EOF＝90°，∵OJ⊥EF，∴EJ＝JF，∴OJ＝EF，設(shè)OE＝OF＝r，則EF＝r，OJ＝r，∵AB+BC+AC＝EB+BC+CF＝EF，∴EF最小時，△ABC的周長最小，∵AD⊥BC，∴AD+OJ≤OT，∴6+r≤r，∴r≥12+6，∴EF≥12+12，∴AB+BC+AC≥12+12，∴△ABC的周長的最小值為12+12，故答案為：12+12．【變式13】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，且∠EAF＝45°，則△AEF面積的最小值為．【答案】36﹣36【解答】解：如圖，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，∴∠FAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴FH＝EF，∴S△AEF＝S△AFH，設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)，則BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝6﹣x，CF＝6﹣y，在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，∴（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，化簡得：y＝＝﹣6+，∴S△AEF＝S△AFH＝FH?AB＝×6（x+y）＝3[x+（﹣6+）]＝3[（x+6）+﹣12]＝3[（﹣）2+12﹣12]，∴當(dāng)＝時，x＝6﹣6，S△AEF的最小值為36﹣36．故答案為：36﹣36．【變式14】（2019?新城區(qū)校級一模）問題提出：如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點且∠EAF＝45°，請問線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．問題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點E、F分別是射線CB、CD上的動點，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值．若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，作出△ABC的外接圓⊙O，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝10，∴OB＝sin45°×BC＝，故答案為：5．（2）EF＝BE+DF，理由如下：如圖2，延長EB，使BG＝DF，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE＝DF+BE，（3）存在最小值，如圖3，延長CB，使BG＝DF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABG＝135°，∴∠ABG＝∠ADF，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，∴∠BAD＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠GAE＝60°，∴△GAE≌△FAE（SAS），在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，∴EF邊上的高AK＝4，畫△AEF的外接圓⊙O，作OM⊥EF于M，∵∠EAF＝60°，∴∠EOM＝60°，設(shè)OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，∵OM+OA≥AK，∴x+2x≥4，∴x≥，∴EF的最小值為2×，∴S△AEF的最小值為．1．（2020?雁塔區(qū)校級二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點E、F分別為邊BC、CD上的兩個動點，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．【答案】4【解答】解：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°到△ABM，由旋轉(zhuǎn)得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共線，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，過A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB?sin60°＝2，作△AEF的外接圓⊙O，連接OA、OE、OF，過O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，設(shè)EF＝2x，則NF＝x，Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，∴S△AEF＝EF?AK＝＝2x≥4，∴△AEF面積的最小值是4．2．（2020春?和平區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分別為邊BC及射線CD上的動點，∠EAF＝45°，△AEF面積的最小值．【答案】【解答】解：如圖，過點A作AM⊥BC于M，過點E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延長線于N，∵∠B＝60°，AM⊥BC，∴∠BAM＝30°，∴BM＝3，AM＝3，∵∠ADC＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝AD＝，AN＝，∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，∴∠MAE+∠DAF＝60°，又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠MAE＝∠AFD，又∵∠AME＝∠N＝90°，∴△AFN∽△EAM，∴，設(shè)ME＝x，則AE＝＝，∴AF＝＝，∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，∴HE＝AE＝×，∴△AEF面積＝×AF×HE＝×（）＝×（），∵當(dāng)a，b為正數(shù)時，（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，∴△AEF面積＝×（）≥×2×，∴△AEF面積的最小值為，故答案為．3．【問題提出】（1）如圖①，已知點A是直線l外一點，點B，C均在直線l上，AD⊥l于點D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，點E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點，且CE⊥CF，求四邊形AECF面積的最大值；【問題解決】（3）如圖③，某園林對一塊矩形花圃ABCD進行區(qū)域劃分，點K為BC的中點，點M，N分別為AB，DC上的點，且∠MKN＝120°，MK，KN將花圃分為三個區(qū)域．已知AB＝7m，BC＝12m，現(xiàn)計劃在△BMK和△CNK中種植甲花，在其余區(qū)域種植乙花，試求種植乙花面積的最大值．【解答】解：（1）如圖①中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點O作OE⊥BC于點E，則∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°設(shè)OA＝OB＝OC＝r，則OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝4，∴r+r≥4，解得：r≥8+4，∴BC＝r≥8+8，∴BC最小值為8+8∵S△ABC＝BC?AD，∴△ABC面積的最小值為：×（8+8）×4＝16+16；（3）分別延長AB、DC交于點M，如圖②所示：則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，∵CB＝CD＝2，∴BM＝2，CM＝2，AD＝DM＝2+2，∴S四邊形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（2+2）2﹣×22＝4+4，∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∴將△CBE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′，則A、D、E′三點共線，∴S四邊形AECF＝S四邊形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四邊形ABCD﹣S△CE′F，∵S四邊形ABCD為定值，∴當(dāng)S△CE′F取得最小值時，S四邊形AECF取得最大值，∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，則△CE′F的外接圓是以點O為圓心，OF長為半徑的圓，過點O作OJ⊥DF于點J．設(shè)△CE′F的外接圓半徑為rm，則E′F＝r，又∵OJ+OC≥CD，∴r+r≥2，∴r≥4﹣2，當(dāng)點O在CD上時，E′F最短，此時E′F＝r＝4﹣4，∴S△CE′F最?。健粒?﹣4）×2＝4﹣4，∴S四邊形AECF最大＝S四邊形ABCD﹣S△CE′F最?。?+4﹣（4﹣4）＝8．（3）如圖③中，將△BKM繞點K順時針旋轉(zhuǎn)得到△KCM′，此時N，C，M′共線，作△KNM′的外接圓⊙O，連接OK，ON，OM′，過點O作OH⊥NM′于點H．設(shè)OK＝ON＝OM′＝r，則NM′＝r，OH＝r，∵OK+OH≥KC，∴r+r≥6，∴r≥4，∴NM′≥r＝4，∴△KNM′的面積的最小值為×4×6＝12（m2），∴△BMK的面積+△KCN的面積的最小值為12，∴五邊形AMKND的面積的最大值＝7×12﹣12＝（84﹣12）（m2），∴種植乙花面積的最大值為（84﹣12）（m2）．4．（2020?渭濱區(qū)二模）問題提出（1）如圖①，已知線段AB，請以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；（2）如圖②，已知點A是直線l外一點，點B、C均在直線l上，AD⊥l且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面積的最小值；問題解決（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，點E、F分別為AB、AD上的點，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）以AB為直徑作圓，在圓上任取一點（不與點A、B重合）C，連接AC、BC，如圖①所示：則∠ACB＝90°，∴Rt△ACB即為所求；（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點O作OE⊥BC于點E，如圖②所示：則∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，設(shè)OA＝OB＝OC＝r，則OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝3，∴r+r