專題6.9母子型相似三角形綜合問題大題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典【蘇科版】專題6.9母子型相似三角形綜合問題大題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________一、解答題（共24題）1．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級期中）如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿邊AB運動，速度為2cm/s，點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s，如果點P、Q兩動點同時運動，何時△QBP與△ABC相似？【答案】經(jīng)過4秒或1.6秒時，△QBC與△ABC相似【分析】由題意可得，AP=2t，BP=8-2t，【詳解】解：由題意可得，AP∵∠PBQ=∠ABC，當(dāng)BPAB=BQ即8-t8=當(dāng)BPBC=BQ即8-t16=即經(jīng)過4秒或1.6秒時，△QBC與△ABC相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析題意列出方程求解．2．（2021·吉林·長春市第五十二中學(xué)九年級階段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD=163【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BFBC∴BF2=BE?BC，∴BC=BF2BE=42∴AD=163【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．3．（2020·江蘇·泰興市實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知，如圖，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D為BC邊上一點，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出圖中的一對相似三角形并證明；（2）求AC長．【答案】（1）△BAD∽△BCA，理由見詳解；（2）16【分析】（1）由題意易得BDAB=AB（2）由（1）可得ADAC=12，再由AD【詳解】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，∴BDAB∴BDAB又∵∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA；（2）由（1）得：ADAC=1∵AD+AC=8，∴AD+2AD=8∴AC=【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·江蘇揚州·九年級）如圖，在ΔABC中，CD⊥AB于D，BE⊥（1）△（2）AD【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AEAD=ABAC，進而證明△【詳解】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠ADC=90°，在△ABE和△ACD中∠∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴AEAD在△ADE和△ACB中，AE∴△ADE∽△ACB∴AD∴AD·BC=DE·AC．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·廣西賀州·九年級期末）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)AC=26，CD＝4，BD＝2，可得ACBC=CDAC，根據(jù)【詳解】解：∵AC=26，CD＝4，BD＝∴ACBC=∴AC∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識點是解題關(guān)鍵．6．（2020·甘肅酒泉·九年級期末）已知：如圖，在△ABC中，D是AC上一點，聯(lián)結(jié)BD，且∠ABD=∠ACB（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的長.【答案】(1)見詳解；（2）49【詳解】（1）證明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴ABAC∴7AC∴AC7．（2022·浙江·九年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且ADAC＝AC（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出△（2）由△ACD～△ABC得∠ADC=∠ACB=90°，∠【詳解】（1）∵ADAC=ACAB∴△ACD（2）∵△ACD∴∠ADC=∠ACB∴∠CDB∴△ACD∴CDAD=BD∴CD=【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求證：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得ADBD=AE（2）由（1）及題意可知ADBD=AFEF=【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴ADBD∵AFFE∴AFFE∴DF∥BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，ADBD=AFEF∵AB＝63，∴AD=∴AEAB∴AEAB∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．9．（2021·安徽合肥·九年級期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點E為BD的中點，連接AE并延長交BC于點F，且有AF=CF（1）求證：△ADE（2）求證：AE=（3）若FH=3，求【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得∠ADE=∠CDB（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得ADCD=DEDB=（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得DEFH=AEAF，從而可得DE,BD的長，再根據(jù)相似三角形的判定可得【詳解】證明：（1）∵BD∴∠ADE∵AF∴∠DAE在△ADE和△CDB中，∴△ADE（2）∵點E為BD的中點，∴DE由（1）已證：△ADE∴AD設(shè)AD=a(a>0)∵FH∴AH∴DH又∵BD∴AE即AE=2（3）由（2）已證：AE=2∴AE∵BD∴△ADE∴DEFH=解得DE=∴BD∵∠ABC∴∠BAC∴∠ABD在△ABD和△BCD中，∴△ABD∴AD由（2）可知，設(shè)AD=b(∴b解得b=26∴CD則在Rt△BCD中，【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2021·福建東盛集團股份九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且ABAC=ADCE，∠BAD（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求CEAC【答案】（1）證明見解析；（2）2【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE△，得∠（2）由△BAD∽△ACE可證∠CDE=∠CED，進而得出CD=【詳解】（1）證明：∵ABAC=AD∴ΔBAD∴∠B∵∠ACB∴△ABC∴ACCD∴A（2）解：∵△BAD∴∠BDA∴∠CDE∴CD∵AD是△ABC的中線，∴BC∴AC2∴CEAC【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△BAD11．（2021·浙江·杭州外國語學(xué)校九年級期中）如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，過點A作AG⊥BD分別交BD、BC于點G、（1）求證：EB（2）連接CG，若BE=CE．求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）易證△BEG∽△AEB，利用對應(yīng)邊成比例即可解決；（2）由（1）的結(jié)論及BE=CE，易證明△CEG∽△AEC，從而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得∠CGE【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形∴∠ABE=90°∴∠ABG+∠EBG=90°∵AG∴∠ABG+∠BAG=90°∴∠EBG=∠BAG∴Rt△BEG∽Rt△AEB∴EBEA∴EB（2）由（1）有：E∵BE=CE∴C∴CE∵∠CEG=∠AEC∴△CEG∽△AEC∴∠CGE=∠ACE∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD∴OB=OC∴∠DBC=∠ACE∴∠【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2020·浙江·九年級期末）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC是⊙O的直徑，AD=BD．延長（1）證明：∠ACD（2）當(dāng)AB=8,①求AD的長度．②如圖2，作BF平分∠ABC交⊙O于點F，連結(jié)DF,【答案】（1）見詳解；（2）①AD=203【分析】（1）由題意易得∠BAD=∠ACD，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得∠ECD=∠BAD，然后問題可求解；（2）①由（1）及題意易得△CDE∽△ABE，則有CDAB=CEAE=②連接CF，過點F作FH⊥AE于點H，由題意易得∠ABF=∠ACF=∠ADF=45°，由①可得CE=253，AD=203，則有AC=253，進而可得AF【詳解】（1）證明：∵AD=∴∠BAD=∠ACD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠ECD=∠BAD，∴∠ACD（2）解：①由（1）得：∠ACD∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠CDE=90°，∵CD=CD，∴△ADC≌△EDC（ASA），∴AD=DE，AC=CE，∵∠E=∠E，∴△CDE∽△ABE，∵AB=8,∴CDAB∴CDAB∴CEDE設(shè)CE=5x,DE=4∴25x2=16∴AD=②連接CF，過點F作FH⊥AE于點H，如圖所示：由①得：AD=DE=∵BF平分∠ABC，∠ABC=90°∴∠ABF=45°，∴∠ACF=∠ADF=45°，∵AC是是⊙O的直徑，∴∠AFC=90°，∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形，∴AF=FC，F(xiàn)H=DH，∴AF=設(shè)DH=FH=x，則AH=∴在Rt△AHF中，203解得：x1∴FH=∴S△【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2021·陜西·西安濱河學(xué)校三模）如圖，小華和同班秋游時，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡的點E處有一棵小樹．他們想利用皮尺、傾角器和平面鏡測量小樹到山腳下的距離（即DE的長度），小華站在點B處，讓同班移動平面鏡至點C處，此時小華在平面鏡內(nèi)可以看到點E．且測得BC=2米，CD=59米，∠CDE=120°．已知小華的身高AB【答案】DE的長度為403【分析】過E作EF⊥BC于【詳解】解：過E作EF⊥BC于∵∠CDE∴∠EDF設(shè)EF為x米，DF=33∵∠B∵∠ACB∴△ABC∴AB即1.6x解得：x=60+16∴DE答：DE的長度為403【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確表示出DF，DE的長是解題關(guān)鍵．14．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）直線y=-13x+1分別交x軸、y（1）求出點A、B的坐標(biāo)；（2）已知點G的坐標(biāo)為（2，7），過點G和B作直線BG，連接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的條件下，在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A(3,0)，B(0,1)；（2）tan∠AGB=12；（3）存在，【分析】（1）對于y=-13x+1，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即-13（2）證明AG2＝AB2＋BG2，則△ABG為直角三角形，即可求解；（3）分△ABQ∽△AOB、△ABQ∽△BOA兩種情況，利用三角形相似邊的比例關(guān)系，即可求解．【詳解】解：（1）對于y=-13x+1，令x＝0，則y＝1，令y＝0，即-13故點A、B的坐標(biāo)分別（3，0）、（0，1）；（2）由A、B、G的坐標(biāo)知，BG2＝22＋（7?1）2＝40，同理AB2＝10，AG2＝50，故AG2＝AB2＋BG2，故△ABG為直角三角形，則tan∠AGB＝ABBG（3）設(shè)直線BG的表達(dá)式為y＝kx＋b，則{7=2解得{故直線BG的表達(dá)式為y＝3x＋1，設(shè)點Q（m，3m＋1），①當(dāng)△ABQ∽△AOB時，則ABAO=BQ解得m＝±13∴Q1(②當(dāng)△ABQ∽△BOA時，ABOB=解得：m＝±3，∴Q3(3,10)故點P的坐標(biāo)為（13，2）或（?13，0）或（3，10）或（?3，?【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．15．（2021·陜西師大附中二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD與⊙O相切與點D，AE=2BE，連接（1）求證：∠ADC（2）若sinC=13，【答案】（1）見解析；（2）9【分析】（1）連接OD，由圓周角定理和切線的性質(zhì)可得∠ODC=∠ADB（2）連接BE，OE，由角的正弦值得到sinC=ODOC=13，設(shè)OD=x，則OC=3x，AC=2x，BC=4x，證明△ACD∽△【詳解】解：（1）連接OD∵AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD與⊙O相切與點∴∠∴∠又∵OD=OA，∠∴∠∴∠（2）連接BE，OE由題意，在Rt△COD中，sin設(shè)OD=x，則OC=3x，AC=2x，BC=4x∴CD=O∵∠ADC=∠∴∠ADC=∠∴△∴ADBD=CDBC∴在Rt△ABD中，AB∵AE=2BE，∴∠BOE=∴在Rt△ABE中，AE【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．16．（2022·江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，結(jié)合∠DAE=∠CAD即可證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長，再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長．【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴ADAC=AE∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長．17．（2020·浙江紹興·九年級期末）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果△DEF與△ABC互為母子三角形，則DEABA．2

B．12

C．2或（2）已知：如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，求證：△ABD與△（3）如圖2，△ABC中，AD是中線，過射線CA上點E作EG//BC，交射線DA于點G，連結(jié)BE，射線BE與射線DA交于點F，若△AGE與【答案】（1）C；（2）見解析；（3）AGGF=1【分析】（1）根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似得出△ABD∽△ADE（3）根據(jù)題意畫出圖形，分當(dāng)G,E分別在線段AD,AC上時和當(dāng)【詳解】（1）∵△DEF與△∴DEAB=故選：C（2）∵AD是∠∴∠BAD∵∠ADE∴△ABD∽△又∵AB∴△ABD與△ADE（3）如圖，當(dāng)G,E分別在線段∵△AGE與△∴CD∴AG∵AD∴BD又∵GE∴△GEF∴DF∴DG∴AGGF如圖，當(dāng)G,E分別在射線∵△AGE與△∴CD∴AG∵AD∴BD又∵GE∴△GEF∴DF∴DG∴AG綜上所述，AGGF=【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力．準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進行分類討論，避免漏解．18．（2021·遼寧葫蘆島·九年級期末）如圖：ΔABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，交AC于點E，點F在AC（1）求證：直線BF是⊙O（2）若FC=2，BF=6，求【答案】（1）見解析；（2）1.6【分析】（1）連接AD，根據(jù)直角所對圓周角是直角可得∠BAD與ABD的和是90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD是∠BAC的一半，結(jié)合已知條件即可得到結(jié)論；（2）連接BE，設(shè)AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的長，再證ΔABE～ΔAFB，得到AE的長，即可得到【詳解】（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O∴∠ADB∴∠BAD∵AB=∴∠BAD∵∠CBF∴∠CBF∴∠CBF∴∠ABF=90°，即∵OB是⊙O∴BF是⊙O（2）設(shè)AB=AC=在RtΔABF中，∵BF∴62+m∴AB=AC=8連接BE，∵AB是⊙O∴∠AEB∴∠AEB又∵∠BAE∴ΔABE～∴ABAF∴AE∴CE=【點睛】本題考查圓周角定理、切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．19．（2020·四川·川大附中九年級階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB邊上一點，EF⊥CE交AD于點F，過點E作∠AEH=∠BEC，交射線FD（1）如圖a，當(dāng)點H與點F重合時，求BE的長．（2）如圖b，當(dāng)點H在線段FD上時，設(shè)BE=x，DN=y，求（3）連接AC，當(dāng)△FHE與△AEC相似時，求線段【答案】（1）3；（2）y=2x-42≤x【分析】（1）由EF⊥EC，得∠AEF+∠BEC=90°，又（2）過點E作EG⊥CN，垂足為點G，四邊形BEGC是矩形，BE=CG，可證∠ENC=∠ECN，得EN（3）∠BAD=90°，EF⊥EC，推出∠HFE=∠AEC，當(dāng)△FHE與△AEC相似時，分類討論①若∠FHE=∠EAC，推出∠EAC=∠ECB，tan∠EAC=tan∠ECB，BCAB=BEBC，求得BE=94，②若∠FHE=∠【詳解】（1）∵EF⊥∴∠AEF∵∠AEF∴∠AEF∵∠B∴BE=∵BC=3∴BE=3（2）過點E作EG⊥CN，垂足為點∴四邊形BEGC是矩形，∴BE=∵AB∥∴∠AEH=∠ENC∵∠AEH∴∠ENC∴EN=∴CN=2∵BE=x，DN=∴2xy=4,當(dāng)點H在線段FD上時，y2x∴y=2（3）∵∠BAD∴∠AFE∵EF⊥∴∠AEF∴∠AFE∴∠HFE當(dāng)△FHE與△①若∠FHE∵∠BAD=∠B∴∠FHE∴∠EAC∴tan∠∴BCAB∵AB=4，BC∴BE=∵設(shè)BE=x，DN=∴DN=②若∠FHE=∠ECA，設(shè)EG與AC∵EN=EC，∴∠1=∠2，∵AH∥∴∠FHE∴∠FHE∴∠2=∠ECA∴EO=∵AB=4，BC=3，則AC=5，設(shè)EO=CO由EO∥BC∴△AEO∽△ABC∴AEAB=則AE=4k，∴AO+∴k=∴AE=52∴DN=綜上所述，線段DN的長為12或1時△FHE與【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．20．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)西校九年級期中）如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．（1）求證：△ACD∽△ABE；（2）若將點D，E連接起來，則△AED和△ABC能相似嗎？說說你的理由．【答案】（1）見詳解；（2）相似，理由見詳解；【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用相似三角形的判定方法AA進行證明即可得到結(jié)論；（2）連接DE，根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得對應(yīng)邊成比例，交換下比例項，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵CD，BE分別是AB，AC邊上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE（2）連接DE，∵△ACD∽△ABE,∴AD：AE＝AC：AB．∴AD：AC＝AE：AB．∵∠A＝∠A．∴△AED∽△ABC，【點睛】本題考查相似三角形的判定方法，正確連接輔助線，熟練運用相似三角形的判定進行證明是解題的關(guān)鍵．21．（2020·河北石家莊·九年級期中）已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D（BD>CD），在劣弧AD上取一點E使∠EBC＝∠DEC，延長BE依次交AC于點G，交⊙O于H．（1）求證：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直徑等于213，BC＝10，求CE【答案】（1）證明見解析；（2）2【分析】（1）連AD利用直徑所對圓周角是90°，可得∠DAC+∠DCA=90°，再由等量代換∠EBC+∠DCA=90°，則問題可解；（2）由已知，可得∠BAD=45°，再設(shè)AD=BD=x，在△ADC中利用勾股定理求DC，進而求BC，再證明△CDE∽△CEB，求CE即可．【詳解】（1）證明：連接AD∵AC是⊙O的直徑∴∠ADC=90°即∠DAC+∠DCA=90°∵∠EBC＝∠DEC，∠DAC＝∠DEC∴∠EBC＝∠DAC∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=90°∴AC⊥BH（2）解：∵∠ABC＝45°，∠ADB=90°∴∠BAD=45°∴∠BAD=∠ABD∴AD=BD設(shè)AD=BD=x，CD=10x，則xx1=4（舍），x2=6∴BD=6，CD=4∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD∴△CDE∽△CEB∴EC即EC4∴CE【點睛】本題考查了圓周角定理的推理、相似三角形的性質(zhì)與判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程求解．22．（2020·內(nèi)蒙古·烏拉特前旗第六中學(xué)九年級期中）已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見詳解；（2）75-183【分析】（1）證明△EAB∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H.在Rt△CDG中利用已知條件求得DG、OG的長，再根據(jù)△CDE的面積為6，可求得DE的長，在△ABH中求得BH、AH的長，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的長，由S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四邊形ABCD的面積．【詳解】解：（1）證明：∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴EBED∴ED·（2）過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H，∵CD＝5，cos∠ADC＝35∴DG＝3，CG＝4.∵S△CED＝6，∴ED＝3，∴EG＝6.∵AB＝12，∠ABC＝120°，則∠BAH＝30°，∴BH＝6，AH＝63由（1）得△ECG∽△EAH，∴EGEH∴EH＝93∴S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝12×63【點睛】本題考查的主要是解直角三角形知識和三角形相似問題，解直角三角形可以為我們提供三角形中邊的條件和角的條件，利用三角形相似可以建立方程，表達(dá)出變量之間的關(guān)系；這種類型的題目給出的條件中有三角函數(shù)和邊長，在解題時就應(yīng)該利用三角函數(shù)和已知的邊長求出另外的邊長，繼而進行解題；三角函數(shù)的計算要在直角三角形中進行，因此借助輔助線構(gòu)造直角三角形就是解決這種類型題目的關(guān)鍵．23．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)深大附中創(chuàng)新中學(xué)九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動點P以2cm/s的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1cm/s的速度從點C出發(fā)．沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點移動的過程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；（2）當(dāng)運動時間為多少秒時，△CPQ與△CAB相似．【答案】（1）能，t的值為2s或3s；（2）t為4013秒與257【分析】（1）在矩形ABCD中求出對角線AC的長度，然后表示出CQ、PC的長度，過點P作PH⊥BC于點H，然后表示出PH的長度，根據(jù)面積為3.6cm2，列方程求解．（2）分∠PQC＝90°與∠CPQ＝90°兩種情況進行討論即可．【詳解】解：（1）如圖1，過點P作PH⊥BC于點H，在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，當(dāng)運動ts（0＜t＜5）時，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC，∴△PHC∽△ABC，∴PH∴PH＝35（10﹣2t）cm根據(jù)題意，得12t?35（10﹣2t）＝解得：t1＝2，t2＝3．答：當(dāng)t的值為2s或3s時，△CQP的面積等于3.6cm2時．（2）如圖2，當(dāng)∠PQC＝90°時，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴PCAC＝CQ即10-2t10＝解得t＝4013如圖3，當(dāng)∠CPQ＝90°時，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴CPBC＝CQ即10-2t8＝解得t＝257綜上所述，t為4013秒與257秒時，△CPQ與△【點睛】本題考查的是相似三角形的判