專題復習勾股定理章末重難點題型（原卷版）

《講亮點》20222023學年八年級數(shù)學上冊教材同步配套講練《蘇科版》專題復習勾股定理章末重難點題型【題型目錄】考點一勾股定理的證明方法考點二勾股樹問題考點三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題考點四勾股定理的折疊問題考點五勾股定理的逆定理考點六最短路徑問題考點七勾股定理的其他應(yīng)用【考點一勾股定理的證明方法】【例題1】我們在學習勾股定理的第二課時時，以下圖形可以用來驗證勾股定理的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【變式11】我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是(

)A． B．C． D．【變式12】如圖，把長、寬、對角線的長分別是a、b、c的矩形沿對角線剪開，與一個直角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補法能夠得到的一個等式是__．【變式13】我國古代用勾、股和弦分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊．如圖，由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，數(shù)學家鄒元治利用該圖證明了勾股定理，當大正方形面積為9，小正方形面積為5，則直角三角形中股和勾的差值為________．

【變式14】勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理．（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)①如圖4，5，6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有___________個．②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請寫出，，的數(shù)量關(guān)系：___________．(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形的邊長為定值，四個小正方形，，，的邊長分別為，，，d，則___________．【考點二勾股樹問題】【例題2】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別為4，6，3，4，則最大正方形E的面積是（

）A．17 B．34 C．77 D．86【變式21】在學習“勾股數(shù)”的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．則當時，的值為（

）A． B． C． D．【變式22】如圖是一株美麗的勾股數(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的邊長是_________．【變式23】我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：________；（2）若第一個數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為________．【變式24】我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是（9﹣1），（9＋1）；勾是五時，股和弦的算式分別是（25﹣1），（25＋1）．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時，股和弦的算式；(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，請用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來表示股和弦．【考點三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【例題3】如圖，有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．若把這根蘆葦拉向水池一邊，頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（

）尺．A．6 B．5 C．13 D．12【變式31】如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學生站在C處時，感應(yīng)門自動打開了，此時這名學生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學生身高CD為（）米．A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6【變式32】如圖有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行________m．【變式33】如圖，八年級一班的同學準備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿AB豎直插到水底，此時竹竿AB離岸邊點C處的距離米．竹竿高處水面的部分AD長0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為______．【變式34】如圖，牧童在河邊A處放牛，家在河邊B處，時近傍晚，牧童驅(qū)趕牛群先到河邊飲水，然后在天黑前趕回家，已知點A到河邊C的距離為500m，點B到河邊D的距離為700m，且CD＝500m．(1)請在圖中畫出牧童回家的最短路線；(2)求出牧童回家最短路線的長度．【考點四勾股定理的折疊問題】【例題4】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6，BC＝8．現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式41】如圖，在中，，按圖中所示方法將沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點處，那么線段AD的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式42】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點處，那么DC＝__________cm．【變式43】如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，將沿折疊到，連接，當是直角三角形時，的長為___________．【變式44】如圖，在長方形中，，，點為上一點，將沿折疊，使點落在長方形內(nèi)點處，連接，且．(1)求證：．(2)求的長．【考點五勾股定理的逆定理】【例題5】下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內(nèi)角之比為 B．在中，C．三邊長的平方之比為 D．三邊長分別為a，b，c，且．【變式51】甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是，甲客輪15min到達A，乙客輪用20min到達B點，若A、B兩點的直線距離為1000m，甲客輪沿北偏東30°的方向航行，則乙客輪的航行方向是（

）A．南偏西30° B．南偏東60° C．北偏西30°或南偏東30° D．南偏東60°或北偏西60°【變式52】如圖，在四邊形ABCD中，，，，．則的度數(shù)為_______．【變式53】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交邊BC于點DE，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的點，連接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，則CE＋EF的最小值是________．【變式54】如圖所示，已知AD，AE分別是的高和中線，；試求：(1)的長；(2)的面積；(3)和的周長的差．【考點六最短路徑問題】【例題6】如圖，長方體的高為，底面是正方形，邊長為，現(xiàn)有一蒼蠅從A點出發(fā)，沿長方體的表面到達C點處，則蒼蠅所經(jīng)過的最短距離為（

）A． B． C． D．【變式61】一只螞蟻從長為2cm，寬為1cm，高是4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【變式62】如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是_____．【變式63】如圖所示，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米．在圓柱的底面A點處有一只小螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的C點處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是_______．（取3）【變式64】如圖，長方體的透明玻璃魚缸，假設(shè)其長，高，水深為，在水面上緊貼內(nèi)壁處有一魚餌，在水面線上，且；一小蟲想從魚缸外的點沿壁爬進魚缸內(nèi)處吃魚餌，求小動物爬行的最短距離．（魚缸厚度忽略不計）【考點七勾股定理的其他應(yīng)用】【例題7】如圖是一個長為12cm，寬為5cm，高為8cm的長方體，一只蜘蛛從一條側(cè)棱的中點A沿著長方體表面爬行到頂點B去捕捉螞蟻，此時蜘蛛爬行的最短距離是（

）A．13cm B．15cm C．21cm D．25cm【變式71】放學后，貝貝和京京從學校分手，分別沿西南方向和東南方向回家，已知兩人行走的速度都是40m/min．貝貝用15min到家，京京用20min到家，那么貝貝家與京京家的距離是（

）A．600m B．800m C．1000m D．無法計算【變式72】如圖，將長為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動2m，則梯子底端B向左滑動________m．【變式73】如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點80米的A處有一所希望小學，當拖拉機沿ON方向行駛時，路兩旁50米內(nèi)會受到噪音影響，已知有兩臺相距30米的拖拉機正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩臺拖拉機沿ON方向行駛時給小學帶來噪音影響的時間是_____秒．【變式74】“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？【亮點訓練】1．下面幾組數(shù)：①，，；②，，；③，，（均為正整數(shù)，）；④，，．其中能組成直角三角形三邊長的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．③④2．三個正方形的面積如圖，正方形A的邊長為（

）A．8 B．36 C．64 D．63．直角三角形有一條直角邊的長是11，另外兩邊的長都是自然數(shù)，那么它的周長是（

）A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不對4．如圖，在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠處有一棵大樹．在一次強風中，這棵大樹從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長是10米．出門在外的張大爺擔心自己的房子被倒下的大樹砸到．大樹倒下時能砸到張大爺?shù)姆孔訂幔空埬阃ㄟ^計算、分析后給出正確的回答（

）A．一定不會 B．可能會 C．一定會 D．以上答案都不對5．如圖，在中，，的平分線交于點D，點E，F(xiàn)分別是上的動點，則AE+EF的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5 D．66．如圖是“趙爽弦圖”，由個全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，設(shè)直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A． B． C． D．7．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形，對角線交于點，若，則______．8．如圖，七個正方形如此排列，相鄰兩個正方形都有公共頂點，數(shù)字字母代表各自正方形面積．則_______．9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直線AC上一點，把△CDP沿DP所在的直線翻折后，點C落在直線DE上的點H處，CP的長是_____．10．動手操作：如圖，在中，，，，點為邊上一動點，交于點，將沿直線折疊，點A的對應(yīng)點為F，當是直角三角形時，的長為______．11．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長．(2)求斜邊邊上的高．12．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向左運動．設(shè)點P的運動時間為t．連接AP．(1)當t＝4.5秒時，求；(2)當△ABP為等腰三角形時，求t的值．13．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．(1)當t＝2秒時，求的長；(2)求出發(fā)時間為幾秒時，△PQB