專題07圖形旋轉(zhuǎn)之費馬點最值模型全

專題07圖形旋轉(zhuǎn)之費馬點最值模型全攻略如何找一點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最?。慨?dāng)B、P、Q、E四點共線時取得最小值費馬點的定義：數(shù)學(xué)上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣確定的：1.如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；2.如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。費馬點的性質(zhì)：費馬點有如下主要性質(zhì)：1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。費馬點最小值快速求解：費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換．秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值類型一、基本費馬點模型例題1.如圖，是邊長為1的等邊內(nèi)的任意一點，求的取值范圍.解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，易知為等邊三角形.從而，（兩點之間線段最短），從而.過作的平行線分別交于點，易知.因為在和中，①，②。又，所以③.①+②+③可得，即.綜上，的取值范圍為.【變式訓(xùn)練1】已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求正方形的邊長．【解析】如圖2，連接AC，把△AEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GFC，連接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，則EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG．∵點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°所得）．∴線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上．設(shè)正方形的邊長為，那么BO=CO=，GC=,GO=．∴BG=BO+GO=+．∵點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為．∴+=，解得=2．【變式訓(xùn)練2】如圖，ABCD為矩形，AB＝，AD＝4，EF為ABCD內(nèi)兩點，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．【詳解】解：如圖所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°于，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°于，連接，，作交BA的延長線于點G，作交AB的延長線于點H，∴，，∴，，，，又∵旋轉(zhuǎn)角等于60°，∴，，∴和都是等邊三角形，∴，，∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE，∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值為的長度．∵，，∴，，又∵，，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，，∴．∴．∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值為．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF，∴ME+MA+MD=ME+EG+GF過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值．【變式訓(xùn)練4】如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為（）A．+ B．+ C．4 D．3【解答】解：如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，當(dāng)E、F、P、C共線時，PA+PB+PC最?。碛桑骸逜P＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等邊三角形，∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，∴當(dāng)E、F、P、C共線時，PA+PB+PC最小，作EM⊥DA交DA的延長線于M，ME的延長線交CB的延長線于N，則四邊形ABNM是矩形，在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，∴EC＝＝＝＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值為+．故選：B．類型二、加權(quán)費馬點模型例：如圖，在中，，在內(nèi)部有一點P，連接、、．（加權(quán)費馬點）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值【詳解】解：（1）如圖32，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點共線時，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖34，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點共線時，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖36，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，