2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第九章 第五講 古典概型配套課件

第五講古典概型2025年高考一輪總復習第九章

計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布1.古典概型具有以下兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型(古典概率模型).(1)有限性：試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果；(2)等可能性：每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.試驗的所有可能結(jié)果數(shù)2.古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的可能結(jié)果數(shù) .考點一古典概型的判斷)1.下列關于古典概型的說法中正確的是(①試驗中樣本空間的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點發(fā)生的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，A.②④C.①④

B.③④D.①③④解析：由古典概型的特征知①③④正確，②錯誤.故選D.答案：D2.下列問題中是古典概型的是()

A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率 B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點的概率 C.在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個數(shù)大于1.5的概率 D.同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，求向上的總數(shù)之和是5的概率

解析：A，B兩項中的樣本點發(fā)生不是等可能的；C項中樣本點有無限多個；D項中樣本點的發(fā)生是等可能的，且個數(shù)有限，是古典概型.故選D.答案：D

考點二古典概型的概率

[例1](1)(2023年禪城區(qū)月考)已知m是1，2，3，4，5，6的第75百分位數(shù)，隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則點數(shù)小于m的概率為()A.12B.23C.45D.56

解析：因為6×75%＝4.5，所以1，2，3，4，5，6的第75百分位數(shù)m＝5，隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件個數(shù)是6，則點數(shù)小于m的基本事件共有4個，由古典概型的概率公式可答案：B

(2)(2023年南京市期中)現(xiàn)有7個大小相同、質(zhì)地均勻的小球，球上標有數(shù)字1，2，2，3，4，5，6.從這7個小球中隨機取出3個，則所取出的小球上數(shù)字的最小值為2的概率為()A.27B.1435

16C. 35

4D. 7答案：C【題后反思】求解事件A發(fā)生的概率P(A)的解題關鍵【變式訓練】1.(2022年全國Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()A.16B.13C.12D.23答案：D

2.(2023年內(nèi)江市校級月考)隨著北京冬奧會的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名運動員要與1個“冰墩墩”站成一排拍照留念，已知“冰墩墩”在最中間，甲、乙、丙、丁4名運動員隨機站于兩側(cè)，則甲、乙2名運動員站在“冰墩墩”同一側(cè)的概率為()答案：C

考點三古典概型的交匯問題考向1古典概型與平面向量的交匯[例2]設平面向量

a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，記“a⊥(a－b)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為()

解析：有序數(shù)對(m，n)的所有可能結(jié)果數(shù)為4×4＝16.由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的樣本點為(2，1)和(3，4)，共2個.所以所答案：A

考向2古典概型與函數(shù)的交匯答案：A考向3古典概型與解析幾何的交匯

[例4]將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________.

解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有6×6＝36(種)，其中滿足直線ax＋by＝0與圓【題后反思】求解古典概型交匯問題的思路【考法全練】1.(考向2)已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增的概率是()A.

512B.13C.14D.16解析：因為a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，所以樣本點總數(shù)n＝3×4＝12.函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù).①當a＝0時，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1.答案：A△ABC是直角三角形的概率是________.3.(考向3)若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意選取的一個元⊙古典概型與統(tǒng)計的綜合應用

[例5](2021年華南師大附中測試)某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其數(shù)學成績(均為整數(shù)，單位：分)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，畫出如下不完整的頻率分布直方圖(圖9-5-1)，觀察圖中的信息，回答下列問題：圖9-5-1(1)求第四小組的頻率，補全頻率分布直方圖，并估計該校高一年級的數(shù)學成績的中位數(shù)；(2)從被抽取的數(shù)學成績是70分及以上的學生中任選2人，求他們在同一分數(shù)段的概率.解：(1)因為各組的頻率之和等于1，故第四小組的頻率為f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.補全的頻率分布直方圖如圖9-5-2.圖9-5-2【高分訓練】

(2023年博羅縣期中)新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權.新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來學生是否選考歷史的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次歷史測試成績(滿分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5組，制成如圖9-5-3所示的頻率分布直方圖.圖9-5-3(1)求圖中a的值并估計高一年級本次歷史測試成績的中位數(shù)；

(2)據(jù)調(diào)查，本次歷史測試成績不低于60分的學生，高考將選考歷史科目；成績低于60分的學生，高考將不選考歷史科目.按分層抽樣的方法從測試成績在[0，20)，[80，100]的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考歷史科目的概率.解：(1)由圖知20×(0.005＋a＋0.01＋0.0125＋0.015)＝1，解得a＝0.0075.學生成績在[0，40)的頻率為20×(0.005＋0.01)＝0.3＜0.5，學生成績在[0，60)的頻率為0.3＋20×0.015＝0.6＞0.5.設本次歷史測試成績的中位數(shù)為x，則(x－40)×0.015＝0.2，

(2)由(1)知，學生成績在[0，20)的頻數(shù)為0.1×100＝10，學生成績在[80，100]的頻數(shù)為0.15×100＝15.按分層抽樣的方法從中從中任意選取2人，有a1a2，a1b1，a1b2，a1