2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 第七講 立體幾何中的向量方法配套課件

第七講立體幾何中的向量方法2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第六章

立體幾何1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2

所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則

2.直線與平面所成的角

如圖6-7-1，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則圖6-7-13.平面與平面的夾角

如圖6-7-2，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.圖6-7-2

若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1

和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則

【常用結(jié)論】

(1)線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.(2)二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是4.利用空間向量求距離(1)點(diǎn)到直線的距離圖6-7-3

(2)點(diǎn)到平面的距離

如圖6-7-4，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，且n是直線l的方向向量，則點(diǎn)圖6-7-4

(3)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解.注意體積法在求點(diǎn)到平面距離時(shí)的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】

(3)如圖6-7-5，若兩個(gè)法向量指向二面角的同側(cè)，則二面角的余弦值是cos〈m，n〉的相反數(shù)；若兩個(gè)法向量指向二面角的異側(cè)，則二面角的余弦值與cos〈m，n〉相等.圖6-7-5

考點(diǎn)一利用向量求空間的角考向1向量法求異面直線所成的角圖6-7-6答案：C

(2)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為________.

解析：設(shè)等邊三角形的邊長為2.取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD.因?yàn)榈冗吶切蜛BC和BCD所在平面互相垂直，所以O(shè)A，OC，OD兩兩垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖6-7-7所示的空間直角坐標(biāo)系.圖6-7-7【題后反思】(1)求異面直線所成角的思路：①選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩直線的方向向量v1，v2；(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)：兩異面直線所成角的范圍是

，兩向量的夾角的范圍是[0，π]，兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.考向2向量法求線面角

[例2](2023年廣州市校級(jí)期末)如圖6-7-8，△PAC和△ABC是等腰直角三角形，PA＝PC，AC＝BC.平面PAC⊥平面ABC，M為AB中點(diǎn).圖6-7-8(1)求證：AC⊥PM.(2)求PC與平面PAB所成角的正弦值.(3)在線段PB上是否存滿足平面CNM⊥平面PAB的點(diǎn)N？若(1)證明：取

AC中點(diǎn)D，連接MD，PD，如圖6-7-9.圖6-7-9∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴MD∥BC.又AC⊥BC，∴MD⊥AC.∵PA＝PC，D為AC中點(diǎn)，∴PD⊥AC.又MD∩PD＝D，MD?平面PMD，PD?平面PMD，∴AC⊥平面PMD.又PM?平面PMD，∴AC⊥PM.(2)解：由(1)知，PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD?平面PAC，∴PD⊥平面ABC.以D為原點(diǎn)，DA，DM，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖6-7-10所示的空間直角坐標(biāo)系.圖6-7-10

令z＝1，得x＝1，y＝1，即n＝(1，1，1)為平面PAB的一個(gè)法向量.設(shè)PC與平面PAB所成角為θ，【題后反思】(1)求線面角的思路①求出直線的方向向量a與平面的法向量b；

③線面角θ的正弦值sinθ＝|cos〈a，b〉|.(2)求線面角的關(guān)注點(diǎn)考向3向量法求二面角[例3](2023年全國乙卷理科)如圖6-7-11，在三棱錐P-ABC中，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，點(diǎn)F在AC上，BF⊥AO. (1)證明：EF∥平面ADO； (2)證明：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D-AO-C的正弦值.

圖6-7-11∴EF∥PC.又D，O分別為BP，BC中點(diǎn)，∴DO∥PC.∴EF∥DO.∵DO?平面ADO，EF

平面ADO，∴EF∥平面ADO. ∵AD2＝AO2＋DO2，∴AO⊥DO，AO⊥EF. ∵BF⊥AO，BF?平面BEF，EF?平面BEF，BF∩EF＝F， ∴AO⊥平面BEF. ∵AO?平面ADO， ∴平面ADO⊥平面BEF.【題后反思】利用向量法確定二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

(3)將二面角轉(zhuǎn)化為線面角求解.如圖6-7-12所示，要求二面角P-AB-C，可作PH⊥AB，垂足為H，則二面角P-AB-C的大小即為PH與平面ABC所成角θ的大小，可用體積法求P到平面ABC的距離h，則sinθ＝圖6-7-12【考法全練】

1.(考向1)在正三棱柱ABC-A1B1C1

中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)，則異面直線BP與AC1

所成角的余弦值為________.解析：如圖D57，在正三棱柱ABC-A1B1C1

中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，圖D57則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，

2.(考向2)已知三棱柱ABC-A1B1C1

的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1

在底面ABC上的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為__________.

解析：由題知△ABC為正三角形，A1在底面ABC上的射影為點(diǎn)E，D為BC中點(diǎn)，AE＝y(tǒng)軸、z軸的正方向，建立如圖D58所示的空間直角坐標(biāo)系.圖D58

3.(考向3)(2023年全國Ⅱ卷)如圖6-7-13，在三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC中點(diǎn).(1)證明BC⊥DA；圖6-7-13(1)證明：連接

AE，DE，如圖D59.圖D59∵DB＝DC，E為BC中點(diǎn)，∴DE⊥BC.又DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ACD與△ABD均為等邊三角形.∴AC＝AB，AE⊥BC.∵DE?平面ADE，AE?平面ADE，AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE.∵AD?平面ADE，∴BC⊥DA.(2)解：設(shè)

DA＝DB＝DC＝2. ∵AE2＋DE2＝DA2，∴AE⊥DE.

以E為原點(diǎn)，ED，EB，EA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖D59所示空間直角坐標(biāo)系.考點(diǎn)二求空間距離[例4]如圖6-7-14，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1

的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)N到直線AB的距離；(2)求點(diǎn)C1

到平面ABN的距離.圖6-7-14解：建立如圖6-7-15所示的空間直角坐標(biāo)系，圖6-7-15則A(0，0，0)，B(2

，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，∵N是CC1

的中點(diǎn)，∴N(0，4，2).【題后反思】求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

(1)直接法：過P點(diǎn)作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個(gè)三角形中，用解三角形方法求出的PQ的長度就是點(diǎn)P到平面α的距離.(2)轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線l平行于平面α，則可轉(zhuǎn)化為求直線l上某一個(gè)點(diǎn)到平面α的距離.

(3)等體積法：把點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為某個(gè)三棱錐的高，先利用其他方法求出該三棱錐的體積與底面積，進(jìn)而求得三棱錐的高. (4)向量法：設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n，A是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝【變式訓(xùn)練】

1.如圖6-7-16，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，則點(diǎn)P到直線BD的距離為________.圖6-7-16

解析：如圖D60，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，圖D60

2.(2023年天津卷)如圖6-7-17，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1

中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1

＝2，A1C1

＝1，M，N分別為BC，AB的中點(diǎn).(1)求證：A1N∥平面C1MA；(2)求平面C1MA與平面ACC1A1所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)C到平面C1MA的距離.圖6-7-17(1)證明：如圖

D61，連接MN，可得MN為△ABC的中位線.

又A1C1＝1，AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，MN＝A1C1.∴四邊形MNA1C1為平行四邊形.圖D61∴A1N∥C1M.而A1N

平面C1MA，C1