2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 第四講 數(shù)列求和配套課件

第四講數(shù)列求和2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第四章

數(shù)列1.公式法2.幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減.(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消(注意消項(xiàng)規(guī)律)，從而求得前n項(xiàng)和.(3)錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解.(4)倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.(5)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an＝(－1)n

f(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.

考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和解：(1)依題意，Sn＝2an－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1－1，得a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn＝2an－1，得Sn－1＝2an－1－1，兩式作差可得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1(n≥2)，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n-1(n∈N*).

【題后反思】

【變式訓(xùn)練】

(2023遼陽(yáng)市期末)記正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝3.可得Sn＝n2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，上式對(duì)n＝1和n＝2也成立，所以an＝2n－1.考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和【題后反思】裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的基本步驟【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和

[例3](2023年信陽(yáng)市期末)我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中研究過(guò)高階等差數(shù)列問(wèn)題，如數(shù)列{an}滿足{an＋1－an}為等差數(shù)列，稱{an}為二階等差數(shù)列.已知二階等差數(shù)列1，2，4，7，… (1)求{an}的通項(xiàng)公式；解：(1)已知數(shù)列{an}滿足{an＋1－an}為等差數(shù)列，又a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，則a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3.即數(shù)列{an＋1－an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.∴an＋1－an＝1＋(n－1)×1＝n.∴an－an－1＝n－1，【題后反思】錯(cuò)位相減求和方法(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn.(2)基本步驟(3)注意事項(xiàng)：①在寫(xiě)出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出Sn－qSn；②作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間n－1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；③運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項(xiàng)和看成n項(xiàng)和，把－anbn＋1寫(xiě)成＋anbn＋1導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)四并項(xiàng)法求和

[例4]已知等差數(shù)列{an}中，a3＝3，a2＋2，a4，a6－2成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2＋2，a4，a6－2成等比數(shù)列，所以a＝(a2＋2)(a6－2).所以(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－2).又因?yàn)閍3＝3，所以(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)，化簡(jiǎn)得d2－2d＋1＝0，解得d＝1.所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n.

【題后反思】(1)用并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和一般是指把數(shù)列的一些項(xiàng)合并組成我們熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求和.可用并項(xiàng)求和法的常見(jiàn)類型：一是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值符號(hào)；二是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有符號(hào)因子“(－1)n”；三是數(shù)列{an}是周期數(shù)列.(2)運(yùn)用并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的突破口是會(huì)觀察數(shù)列的各項(xiàng)的特征，如本題，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為易知數(shù)列{bn}是擺動(dòng)數(shù)列，所以求和時(shí)可以將各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)合并.(3)能求出an＋an＋1的表達(dá)式時(shí)，宜采用并項(xiàng)求和法.若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，并項(xiàng)方式為(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)；若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，并項(xiàng)方式為a1＋(a2＋a3)＋…＋(an－1＋an).【變式訓(xùn)練】則2Sn＋1＝an＋1＋2(n＋1)2＋2.兩式相減得2an＋1＝an＋1－an＋4n＋