第三章可靠性概率分布

第三章可靠性概率分布主要內容

離散型隨機變量得幾種常見分布兩點分布二項分布泊松分布幾何分布和負二項分布超幾何分布連續(xù)型隨機變量得幾種常見分布正態(tài)分布截尾正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布伽瑪分布威布爾分布可靠性得概率分布

可靠性工程以產品得壽命特征為主要研究對象。產品得壽命特征一般就是連續(xù)得隨機變量,例如產品故障時間和維修時間等。處理這種問題可利用概率統(tǒng)計方法,找出她們得概率分布和概率密度函數(shù),有了確定得分布就可以求出該分布特征統(tǒng)計量,如正態(tài)分布得均值及標準差。即使不知道具體得分布函數(shù),也可以通過對分布得參數(shù)估計求得某些特征量得估計值。這些分布及概率密度函數(shù),不僅描述了壽命得內在規(guī)律,而且分布得參數(shù)還決定了產品得壽命特征。因此必須對失效分布作較深入得研究

離散型隨機變量得幾種常見分布

可靠性抽樣試驗以及產品質量保證等大量工程實際問題需要用到離散模型。主要有兩點分布二項分布泊松分布幾何分布與負二項分布超幾何分布兩點分布又稱(0,1)分布數(shù)學模型得隨機試驗只可能有兩種試驗結果兩點分布得分布列或分布律也可寫成:

也可表示為:兩點分布兩點分布數(shù)字特征:兩點分布可以作為描繪從一批產品中任意抽取一件得到得“合格品”或“不合格品”得概率分布模型

二項分布又稱貝努里分布。二項分布滿足以下基本假定:試驗次數(shù)n就是一定得;每次試驗得結果只有兩種,成功或失敗;每次試驗得成功概率和失敗概率相同,即p和q就是常數(shù);所有試驗就是獨立得。

所謂獨立試驗就是指將試驗A重復做n次,若各次試驗得結果互不影響,即每次試驗結果出現(xiàn)得概率都與其她各次試驗結果無關,則稱這n次試驗就是獨立得,并稱她們構成一個序列二項分布

在二項分布中,若一次試驗中,,則在n次獨立地重復試驗中,試驗A發(fā)生得概率為:上式為二項概率公式。若用X表示在n次重復試驗中事件A發(fā)生得次數(shù),顯然,X就是一個隨機變量,X得可能取值為0,1,2,…n,則隨機變量X得分布律為:此時,稱隨機變量X服從二項分布B(n,p)。當n=1時,二項分布簡化為兩點分布即:二項分布

9大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流隨機變量X取值不大于k得累積分布函數(shù)為:

X得數(shù)學期望與方差分別為:

二項分布用來計算冗余系統(tǒng)得可靠度,也可用于計算一次性使用裝置或系統(tǒng)得可靠度估計比如汽車上得雙管路制動系統(tǒng)二項分布在二項分布中,如果(常數(shù)),則二項分布可表示為:

此時,稱隨機變量X服從參數(shù)為λ得泊松分布。泊松分布可認為就是當n無限大時二項分布得推廣。當n很大、p很小時,可用泊松分布近似代替二項分布。一般地,當n≥20,p≤0、05時,近似程度較好。隨機變量X取值不大于k次得累積分布函數(shù)為:

X得期望與方差分別為:

泊松分布

泊松分布,經過適當?shù)锰幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定:在互不相交得時間區(qū)間內所發(fā)生得失效就是統(tǒng)計獨立得;單位時間內得平均失效次數(shù)為常數(shù),而與所考慮得時間區(qū)間無關。泊松過程有下面兩個重要性質:

(1)設t就是時間區(qū)間得長度,則在此區(qū)間內發(fā)生失效得次數(shù)X就是一個整數(shù)型得隨機變量,在此時間區(qū)間內,發(fā)生k次失效得概率服從一個均值為λt得泊松分布:

(2)在任意兩次相鄰得失效之間得時間T就是獨立得連續(xù)型得隨機變量,服從參數(shù)為λ得指數(shù)分布:

泊松分布

兩次失效得平均時間為,泊松過程適合于建模有較多得元件傾向于失效,而每個元件失效得概率比較小得情況泊松分布

例:有人打靶,每次命中率均為0、7,現(xiàn)獨立射擊5次,求恰好命中2次得概率？解:每次射擊有“擊中”和“未擊中”兩個可能,設,“恰好有兩次幾種”得情況有

二項分布實例如果要求命中不少于2次得概率？例:一架飛機有三個著陸輪胎,若不多于一個輪胎爆破,飛機便能安全著陸。試驗表明,每一千次著陸發(fā)生一次輪胎爆破。求飛機安全著陸得概率？解:

二項分布實例思考:假如只有兩個輪胎,安全著陸得概率？正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布伽瑪分布威布爾分布連續(xù)型隨機變量得幾種常見分布指數(shù)分布1、指數(shù)分布

在數(shù)學上易處理成直觀得曲線失效率反映了特征參數(shù)單參數(shù)分布最基本最常用得分布若產品得壽命或某一特征值t得故障密度為

則稱t服從參數(shù)λ得指數(shù)分布指數(shù)分布得特征量函數(shù):不可靠度(失效)函數(shù)可靠度函數(shù)平均壽命指數(shù)分布中位壽命:r=0、5特征壽命:壽命方差:標準差:

指數(shù)分布性質

指數(shù)分布性質指數(shù)分布得一個重要性質就是無記憶性。無記憶性就是產品在經過一段時間t0工作之后得剩余壽命仍然具有原來工作壽命相同得分布,而與t無關。這個性質說明,壽命分布為指數(shù)分布得產品,過去工作了多久對現(xiàn)在和將來得壽命分布不發(fā)生影響在“浴盆曲線”中,她就是屬于偶發(fā)期這一時段得

指數(shù)分布得特點只含單一參數(shù),形式簡單平均壽命、特征壽命、標準離差相等,為故障率越小,平均壽命越大,但越大,分布越分散平均壽命大于中位壽命發(fā)動機中有四種故障得壽命概率分布屬于指數(shù)分布受隨機性沖擊時產生得故障:故障與使用時間無關,僅與外界超強度得沖擊力隨機到來和內部潛伏得隱患偶然爆發(fā)有關,她們就是隨機性偶然發(fā)生故障,如內燃機超載下工作或過熱造成得故障正常使用下得突發(fā)故障:常載下往復運動零件損傷,或人為失誤造成得故障,或偶然性操作不當浴盆曲線得Ⅱ階段(使用壽命期)發(fā)動機返復多次維修期間所發(fā)生得故障可考慮為指數(shù)分布故障例:內燃機增壓器處于使用壽命期中工作,根據(jù)以往經驗知,壽命服從指數(shù)分布,在100小時工作內有1%發(fā)生故障,求可靠度R(2000),得使用壽命？解:先求λF(100)=0、01

指數(shù)分布例題例:一元件壽命服從指數(shù)分布,其平均壽命(θ)為2000小時,求故障率λ及求可靠度R

(100)=?R(1000)=?解:

此元件在100小時時得可靠度為0、95,而在1000小時時得可靠度為0、60

正態(tài)分布

正態(tài)分布在機械可靠性設計中大量應用,如材料強度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強度以及難以判斷其分布得場合。屬于遞增型故障率得概率分布。她得分布曲線處于浴盆曲線得耗損階段若產品壽命或某特征值有故障密度

正態(tài)分布正態(tài)分布得特征量函數(shù):不可靠度

查附表2可靠度

故障率

平均壽命

E=μ可靠壽命

特征壽命

中位壽命

在柴油機或機械系統(tǒng)中,有些零件故障就是由幾種相對獨立得微小主導因素迭加而成得如氣缸、活塞、齒輪和軸類零件因磨損引起得故障,以及管、閥系統(tǒng)得腐蝕性故障,燃油傳給系統(tǒng)沉淀性故障都屬正態(tài)分布正態(tài)分布例:有兩種內燃機配套機構,A種壽命分布就是指數(shù)型,其平均壽命為1000h;B種壽命分布就是正態(tài)型,其平均壽命為900h,標準離差σ=400h,求:在100小時使用期內,盡量不發(fā)生故障,求哪種設計為好？

解：A：B：對數(shù)正態(tài)分布就是自變量取對數(shù)時,其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布得一種偏態(tài)性概率分布。她得故障率其本屬于遞增型得,但遞增得速度就是變化得,先快后慢然后趨于平穩(wěn)

μ—對數(shù)均值,σ—對數(shù)標準離差對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布得特征量不可靠度函數(shù)

可靠度函數(shù)

故障率函數(shù)

平均壽命E

特征壽命

對數(shù)變換可將較大得數(shù)縮小為較小得數(shù),且愈大得數(shù)縮小得愈多,這一特性可以使較為分散得數(shù)據(jù)通過對數(shù)變換相對得集中起來,所以常把跨幾個數(shù)量級得數(shù)據(jù)用對數(shù)正態(tài)分布去擬合。在機械零件及材料得疲勞壽命中,對數(shù)正態(tài)分布應用得較多。對數(shù)正態(tài)分布

例:一般氣動彈簧承載次后要更換,已知服從對數(shù)正態(tài)分布,系數(shù)μ=25,σ=1、4問:①更換彈簧前,故障得可能性多大？解:①內燃機在次后,氣動彈簧得不可靠度:

即次更換前,故障得可能性為7、9%。

威布爾分布應用比較廣泛,常用來描述材料疲勞失效、軸承失效等壽命分布得。分布包括了產品壽命周期三個階段得失效分布特征。威布爾分布就是遞增型、恒定型、遞減型多種故障概率分布,威布爾分布就是從考慮鏈式強度模型提出來得,當“鏈條”中“環(huán)”得強度低于隨機應力時,某一“環(huán)”便可能發(fā)生斷裂,只要某一薄弱環(huán)發(fā)生故障則會整體失效,因此最弱“環(huán)”得壽命即就是產品得壽命。威布爾分布就是用三個參數(shù)來描述,這三個參數(shù)分別就是尺度參數(shù)η,形狀參數(shù)m、位置參數(shù)γ,其概率密度函數(shù)為: