專(zhuān)題06相似三角形的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（10大題型）（原卷版）2

專(zhuān)題06相似三角形的判定與性質(zhì)（10大題型）【題型目錄】題型一證明兩三角形相似題型二選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似題型三重心的有關(guān)性質(zhì)題型四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合題型五利用相似三角形的性質(zhì)求解題型六證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例題型七利用相似求坐標(biāo)題型八在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形題型九相似三角形——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題題型十相似三角形的綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、相似三角形的判定預(yù)備定理平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．判定1有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．判定2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．判定3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似直角三角形的特殊判定若一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．知識(shí)點(diǎn)二、相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。性質(zhì)2相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比?！?，則由比例性質(zhì)可得：類(lèi)似地，我們還可以得到：相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比。性質(zhì)3相似三角形的面積比等于相似比的平方?！祝瑒t分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋?zhuān)合嗨迫切蔚男再|(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的。如果把兩個(gè)相似多邊形分成若干個(gè)相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。性質(zhì)4相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線之比等于相似比。要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂貏e注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段?！窘?jīng)典例題一證明兩三角形相似】1．（2023上·北京石景山·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，若，則一定有（

）．A． B． C． D．2．（2023上·上海閔行·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知是中的邊上的一點(diǎn)，，的平分線交邊于，交于，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）（a）；（b）；（c）；（d）．A．0 B．1 C．2 D．33．（2023下·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，不等長(zhǎng)的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形．若，則甲、乙、丙、丁這4個(gè)三角形中，一定相似的有．4．（2023下·河北衡水·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，，與相交于點(diǎn)O，與相交于點(diǎn)F．

（1）若平分，則與是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）圖中與相似的三角形有（寫(xiě)出兩個(gè)即可）5．（2023上·河北滄州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題二選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似】1．（2023上·北京延慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，要使得與相似，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A． B．C． D．2．（2023上·山東濱州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，是上一點(diǎn)，連接，添加下列條件中的一個(gè)，不能判斷的是（）A． B． C． D．3．（2022上·黑龍江雞西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，連接，要使與相似，應(yīng)添加的條件是．

4．（2023上·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，直角邊上有一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．過(guò)點(diǎn)作直線截，使截得的三角形與相似，則滿足這樣條件的直線共有條．

5．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在①，②，③這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，使命題正確，并證明．問(wèn)題：如圖，四邊形的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，若（填序號(hào)）求證：．【經(jīng)典例題三重心的有關(guān)性質(zhì)】1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是的重心，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若四邊形的面積為6，則的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．362．（2022上·上海徐匯·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，中線相交于點(diǎn)G，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．點(diǎn)G為的重心 B．C．當(dāng)為等邊三角形時(shí)， D．3．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)及點(diǎn)，點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹匦腉落在拋物線上時(shí)，則點(diǎn)G的坐標(biāo)是．4．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)F是的重心，，則．5．（2023上·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D在的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中分別按下列要求畫(huà)圖．（請(qǐng)保留畫(huà)圖痕跡，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示）

(1)在圖1中，畫(huà)出的重心G；(2)在圖2中，畫(huà)線段，點(diǎn)E在上，使得；(3)圖3中，在內(nèi)尋找一格點(diǎn)N，使，并標(biāo)注點(diǎn)N的位置．【經(jīng)典例題四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合】1．（2023上·遼寧朝陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，，（

）cmA．10 B．8 C．9 D．122．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在正方形的對(duì)角線上，于點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)M，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，使．當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為．

4．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，并按以下步驟作圖：分別以和為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．5．（2023上·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，．求證：．（2）探究如圖，在四邊形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題如圖3，在中，，，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)出發(fā)，沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且滿足．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），當(dāng)以為圓心，為半徑的圓與相切時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所滿足的等量關(guān)系式．【經(jīng)典例題五利用相似三角形的性質(zhì)求解】1．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在紙片中，，分別在上，連結(jié)，將沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，若平分，則(

)A． B． C． D．2．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張三角形彩紙按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊上，記為點(diǎn)F，折痕為．已知，，若以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長(zhǎng)是（）

A． B． C．或4 D．或43．（2011·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為．若兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．4．（2023上·浙江紹興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上．連接，將沿直線翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，交邊于點(diǎn)F．已知，若為直角三角形，則的面積為．5．（2023上·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，把沿翻折，使點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題六證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】1．（2023下·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）《笛卡爾幾何學(xué)》一書(shū)中引入單位線段1來(lái)表示線段的乘除．如圖，已知，則，若規(guī)定為單位線段1，則，若規(guī)定為單位線段1，則為（

）

A． B． C． D．2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在中，AC和BC上分別有一點(diǎn)E和點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)H分別作BC和AC的平行線交于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)G，DH交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．3．（2015·山東棗莊·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，在中，若，，，則的長(zhǎng)為.

4．（2021·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt中，，，，以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為．5．（2023·吉林四平·校聯(lián)考三模）在中，，分別為，上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫(xiě)出的值．【經(jīng)典例題七利用相似求坐標(biāo)】1．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）平面直角坐標(biāo)系中有一直線，先將其向右平移3個(gè)單位得到，再將作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，最后將繞與y軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則直線的解析式為（

）.A． B． C． D．2．（2022·海南·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，平移的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，連接．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在折線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，是線段上一點(diǎn)，連接，若與相似，則的長(zhǎng)為．5．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是軸上一點(diǎn)．

(1)上求作點(diǎn)，使得∽要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡；(2)在（1）的條件下，，是的中線，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題八在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形】1．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有個(gè)斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，與①相似的三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022秋·河南周口·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在5×6的方格紙中，畫(huà)有格點(diǎn)△EFG，下列選項(xiàng)中的格點(diǎn)，與E，G兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形中和△EFG相似的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D3．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)相等的正方形網(wǎng)格中，A、B、C為小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC=．4．（2021春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形．如圖，請(qǐng)?jiān)谶呴L(zhǎng)為1個(gè)單位的2×3的方格紙中，找出一個(gè)格點(diǎn)三角形DEF．如果△DEF與△ABC相似（相似比不為1），那么△DEF的面積為．5．（2023秋·北京通州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，

(1)如圖1，P是上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線截，使截得的三角形與相似．例如：過(guò)點(diǎn)P作交于D，則截得的與相似．請(qǐng)你在圖中畫(huà)出所有滿足條件的直線．(2)如圖2，Q是上異于點(diǎn)B，C的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作直線截，使截得的三角形與相似，直接寫(xiě)出滿足條件的直線的條數(shù)．（不要求畫(huà)出具體的直線）【經(jīng)典例題九相似三角形——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題】1．（2023春·重慶渝中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，t的值為（

）

A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.52．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），的長(zhǎng)度為（），與的函數(shù)圖像如圖2所示．當(dāng)恰好平分時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形，長(zhǎng)，寬，P、Q分別是、上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)．若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．

4．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，如果兩點(diǎn)同時(shí)移動(dòng)，經(jīng)過(guò)秒時(shí)，與相似．

5．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求線段的長(zhǎng)；(2)設(shè)的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題十相似三角形的綜合問(wèn)題】1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形，分別以、為邊向內(nèi)作等邊三角形（圖1）；分別以、為邊向內(nèi)作等邊三角形（圖2），兩個(gè)等邊三角形的重疊部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿對(duì)角線AC剪開(kāi)（如圖①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖②），當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積最大時(shí)，移動(dòng)的距離AA′等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.23．（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)AE，將△ABE沿直線AE翻折得到△AFE，EF與AC相交于點(diǎn)M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，則點(diǎn)F到直線AD的距離為．4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）在邊長(zhǎng)為4的正方形中，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，將沿翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，直線交于點(diǎn)F，連接，，分別與AC交于點(diǎn)P、Q，連接，．則以下結(jié)論中正確的有________

(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))．①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若連接，則的最小值為．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）【問(wèn)題探究】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，同學(xué)們正在解決如下問(wèn)題：如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，且于點(diǎn)，若，，求的值．

(1)請(qǐng)你幫助同學(xué)們解決上述問(wèn)題，并說(shuō)明理由．【初步運(yùn)用】(2)如圖2，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．【靈活運(yùn)用】(3)如圖3，在四邊形中，，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，垂足為，則__________________．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023上·浙江紹興·九年級(jí)校考期中）如圖，C是半圓上一點(diǎn)，是直徑，將弓形沿翻折交于點(diǎn)D，若，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2023上·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，則直線的解析式為（

）A． B． C． D．3．（2023上·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，是斜邊的中點(diǎn)，是線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（2023上·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長(zhǎng)度為（

）A．3 B． C．或4 D．4或5．（2023上·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)，，與相交于點(diǎn)F，若，則（

）

A． B． C． D．6．（2023上·山東青島·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，P為邊中點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③若，為等邊三角形：④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④7．（2023上·上海松江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，則與的面積之比為．

8．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，若，，的面積是8，則的面積為．

9．（2023上·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，D，E分別是邊上的點(diǎn)，，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，，則．10．（2023上·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰三角形中，，底邊，點(diǎn)O為的中點(diǎn)．將線段繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為．11．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中校考期中）如圖，在中，．是中線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是．

12．（2021上·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，以為腰向正方形內(nèi)部作等腰（），